Suites Et Séries De Fonctions 🍟🍿⚽️🏅🎺🌈🌅

Question 1

Définition - convergence simple sur A

Answer 1

On dit que la suite de fonction (fn) converge simplement vers une fonction f (de A dans E) si, pour tout x €A, la suite (fn(x)) converge vers f(x). On dit alors que f est limite simple de (fn).
(La convergence simple est donc une accumulation de convergence ponctuelles sans liens entre elles)
(Il y a unicité de la limite)

Question 2

2 exemples de convergence simple

Answer 2

• La suite (gn) de fonctions de [0;1] dans R qui a x associe x^n. Cette suite converge simplement vers g qui a x associe 0 si x€[0;1[ et 1 si x=1
• la suite (hn) de fonctiondef sur R qui a x associe nsin(x/n) converge simplement vers idR

Question 3

Il est naturel de se demander si certaines propriétés sont malgré tout conservé par passage a la limite simple ie

Answer 3

Si, lorsque chaque fonction fn verifie une propriété P, alors la limite simple de f verifie aussi cette propriété.

Question 4

4 exemples de propriétés qui se conservent par passage a la limite simple

Answer 4

• croissance, decroissance, monotonie
• positivité, le fait d’etre majoré (mino) par un reel donné (le meme pt n), d’avoir une image incluse ds une partie fermée donnée
• etre inferieur ou egale a une fonction donné
• la convexité, la concavité

Question 5

4 exemples de propriétés qui ne passent pas a la limite simple

Answer 5

• La continuité (ponctuelle ou globale),la derivabilité (p ou g)
• l’injectivité, la surjectivité
• la stricte monotonie, croissance, decroissance. (Plus generalement, les inégalité strictent deviennent larges par passage a la limite)
• le fait d’etre majo ou mino, ou borné et le fait de ne pas l’etre

Question 6

Est ce que la notion de convergence simple se conserve bien avec l’integrale sur un segment ?

Answer 6

Non: on peut trouver une suite (fn) de fonctions continues sur [0,1] convergeant simplement vers la fonction nulle, et verifiant integrale(0,1)fn = 1 pt n€N.

Question 7

Definition - Convergence uniforme sur A, sur une partie de A

Answer 7

On dit que la suite de fonction (fn) converge uniformement (sur A) vers une fonction f (de A dans E) si la suite ||f-fn||8 est definie a partir d’un certain rang et tend vers 0.
On dit alors que f est limite uniforme de (fn).
Plus generalement, si B est une partie de A, on dit que (fn) converge uniformement vers f sur B si la suite des restrictions des fn a B converge uniformement vers la restriction de f a B ie la suite (||f-fn||8B) est def apcr et tend vers 0

Question 8

Qu’est ce qui est important d’anoncer lorsqu’on parle d’une convergence uniforme
Rq

Answer 8

Il faut preciser sur quel domaine elle a lieu.

Bien sur si (fn) converge uniformement sur A alors elle converge uniformement sur toute partie de A

Question 9

Convergence uniforme et convergence simple (formalisation)

Answer 9

Le fait que (fn) converge simplement vers f s’ecrit :
Pt x€A, pt epsilon sup 0, il existe N€N tq pt n sup N, ||fn(x)-f(x)|| inf epsilon
Alors que le fait que (fn) converge uniformement vers f s’ecrit :
pt epsilon sup 0, il existe N€N tq pt n sup N, pt x €A ||fn(x)-f(x)|| inf epsilon
Clairement la covergence uniforme entraine convergence simple (vers la meme fonction f) mais recip fausse

Question 10

Dans le cas ou (fn) converge uniformement vers f, (equivalence)

Answer 10

Les fonctions fn sont bornées apcr ssi f est bornée

Question 11

Pour les fonctions bornées

Equivalence

Answer 11

(fn) converge uniformement vers f ssi (||fn-f||8) converge vers 0

Question 12

Donc que peut on dire de la convergence uniforme (par rapport aux evn)

Answer 12

Elle rentre ds le cadre general de la convergence d’une suite dans un EVN, voir ds une K-algebre de dimension finie.

Question 13

Quelle equivalence y a t-il a propos des fonctions fn et des fonctions coordonnées

Answer 13

(fn) converge uniformement vers f ssi pt i les fonction fn i converge uniformement vers fi la ieme composante de la fonction f dans une base donnée

Question 14

Si on suppose que (fn) et (gn) convergent uniformement vers f et g on a

Answer 14

• pt a, b €K, (afn +bgn) converge uniformement vers af+bg
• si les fonctions fn et gn sont en outre bornées (pt n, ou du moins apcr) et si E est une K algebre normée, alors (fngn) converge uniformement vers fg (sans l’hypothese Kalgebre, (fngn) ne converge pas tjrs uniformement)

Question 15

Comment montrer une non convergence uniforme

Answer 15

Pour montrer que (fn) ne converge pas uniformement vers f, et si le calcul ||f-fn||8 n’est pas evident, on pourra trouver une suite (xn) de points de A tq la suite de tg |f(xn)-fn(xn)| ne tends pas vers 0.
Ds le cas ou f est limite simple de (fn), les suites (xn) stationnaires ne permettrons pas de conclure: en general, les suites (xn) choisies tendront vers un point adherent a A mais pas ds A, ou vers +-8

Question 16

2 exemples de convergence uniforme

Answer 16

• Dans l’exemple de la suite (gn) qui a x de [0,1] associe x^n, la convergence n’est pas uniforme car pt n, ||g-gn||8 =1
• Dans l’exemple de (hn) sur R qui a x associe nsin(x/n), convergence n’est pas uniforme

Question 17

Convergence uniforme sur tout compact et convergence uniforme

Answer 17

Il est evident que si (fn) converge uniformement, alors elle coverge uniformement sur tout compact inclus dans A, mais la recip est fausse

Question 18

Quel est le contexte dans ce cours ? On etudie quoi?

Answer 18

On considere une suite (fn) de fonctions ou une serie de fonction sigmaUn ou les un et fn sont def sur une partie A d’un EVN H (dim finie) a valeurs ds un EVN E(dim finie)
On va introduire deux notions: convergence simple et convergence uniforme

Question 19

Continuité ponctuelle et convergence uniforme

Answer 19

Si les fn sont continues en a et si (fn) converge uniformement vers f sur un voisinage de a (relatif a A) alors f est continue en a ie
lim(n,8)lim(x,a) fn(x) =
lim(x,a)lim(n,8)fn(x)

Question 20

Limite uniforme de fonctions continues

Answer 20

Toute limite uniforme de fonctions continues sur A est continue sur A

Question 21

Convergence uniforme au voisinage de tout points et continuité

Answer 21

Considérons une suite (fn) de fonctions continues sur A, convergeant simplement vers f. Ns aimerions ns assurer de la continuité de f: CS ne suffit pas. CU suffit mais pas tjrs satisfaite. Grace caractere local de la continuité, pour prouver continuité de f, il suffit que pt a€A la suite (fn) CU vers f sur un voisinage relatif de a. Ex : si I un intervalle, et si il y a CU sur tt segment C I, alors f sera continue. Ne pas oublier que cette convergence sur tt segment C I n’entraine pas, en general, CU sur I

Question 22

A quelle point la CU conserve-t-elle la regularité ?

Answer 22

Ns venons de voir que la CU conservait continuité. On peut verifier qu’elle conserve aussi l’uniforme continuité

Question 23

Exemple de non conservation de la derivabilité par convergence uniforme

Answer 23

fn=(x^2-1/n) ^1/2 derivable sur ]-1;1[ mais pas f=|x|

Question 24

Théoreme de la double limite

Answer 24

Soit (fn) une suite de fonctions de A dans E, et soit a un point adhérent à A. On suppose que :
-(fn) converge uniformement vers f sur A
-pt n, fn admet une limite finie ln€E en a
La suite (ln) admet alors une limite l, f admet une limite en a, et ces limites sont égales lim(x,a) f(x) =l

Question 25

Rq a propos du Théoreme de la double limite (theoreme de la double limite)

Answer 25

Si les hypotheses sont veifiées :
Soit (fn) une suite de fonctions de A dans E, et soit a un point adhérent à A. On suppose que :
-(fn) converge uniformement vers f sur A
-pt n, fn admet une limite finie ln€E en a
Alors lim(n,8)lim(x,a)fn(x)=lim(x,a)lim(n,8)fn(x)
Le fait que (ln) et f admettent une limite
en n et en a fait partie des conclusions!

Question 26

Theoreme : Integration d’une limite uniforme sur un segment

Answer 26

Soit (fn) une suite de fonctions continues definies sur I de R a valeurs ds E. a un pt de I.
On suppose qu’il existe f:I ds E vers laquelle (fn) converge (simplement, et) uniformement sur tt segment de I.
Pt n€N,x€I, soit Fn(x)=int(a,x)fn et F(x)=int(a,x)f. Alors (Fn) converge uniformement vers F sur tt seg de I. E particulier: si (fn) CVU vers f sur le seg [a,b] alrs int[a,b]fn tend vers int[a,b]f

Question 27

Theoreme de derivation d’une suite de fonction

Answer 27

On suppose que A est un intervalle I de R et que :
-Chaque fn est de C1
-(fn) CVS sur I vers f
-(fn’) CVU sur tt seg de I vers g
Alors la suite (fn) CVU vers f sur tt seg de I, f est de C1 sur I et f’=g

Question 28

Remarque a propos du theoreme de derivation d’une suite de fonction

Answer 28

Ce theoreme est une csce assez direct du th sur l’integration d’une limite uniforme sur un seg : c’est le resultat integrale qui permet de deduire un resultat sur les derivees. Cela explique d’ailleurs pq on suppose la CVU sur tt seg. Il faut aussi noter que l’hypothese forte (celle de la CVU) porte sur la suite dérivée (fn’) et nn la suite (fn)

Question 29

Derivations successives d’une suite de fonctions

Answer 29

Ce resultat s’etend immediatement aux suites de Ck sous l’hypothese de CV simple de (f^(j)n) pour j€[0,k-1] et de CVU de (f^(k)n) sur tt seg de I
De meme on adaptera cet enoncé pour mq’une suite de fonctions est de C8

Question 30

Exemple de suite de fonctions continues sur [0,1] convergeant simplement vers la fonction nulle et verifiant int[0,1] fn =1 pt n

Answer 30

pt n ,
fn = 0 sur [0,1-1/2^n]
fn= 2^n+1 en 1-1/2^(n+1)
fn=0 en 1

fn affine sur [1-1/2^n, 1-1/2^(n+1)] et sur [1-1/2^(n+1), 1]

On augmente la hauteur par deux et on diminue la base par deux a chaques coups

Question 31

Approximation uniforme par des fonctions en escalier

Answer 31

Toute fonction continue par morceaux f sur un segment [a,b] est limite uniforme de fonction en escalier

Question 32

Theoreme de Weierstrass

Answer 32

Toute fonction continue sur un segment y est limite uniforme de fonctions polynomiales

Question 33

Series de fonctions

Contexte: c quoi?

Answer 33

On considère ici une suite de fonctions (un) de A dans E. La serie de foncion sigma Un de TG Un correspond a la suite de fonction (Sn) ou pt n: Sn=def=som(0,n)uk
Sn etant appelée somme partielle d’ordre (ou d’indice n) de la serie de fonction sigma uk

Question 34

Definition-Convergence simple, uniforme, d’une serie de fonctions

Answer 34

La convergence simple (U) de la serie de fonction Sigma Un est la convergence simple (U) de la suite (Sn) des sommes partielles. En cas de CS on def la somme S de cette serie de fonctions noté sigma(0,8)Un def par :
Pt x de A: (som(0,8)un)(x)=som(0,8)un(x) et Rn est le reste d’ordre (d’indice) n note sigma(n+1,8)uk def par Rn(x)=sigma(n+1,8)uk(x)

Question 35

En cas de CS on a :

Answer 35

Pt n : som(0,8)uk=Sn + Rn
Cette serie de fonction CU ssi la suite de ses reste converge vers la foncion nulle.
Si la serie som(Un) CS (U) alors le TG Un CS (U) vers la fonction nulle (cond necessaire inssufisante) elle sert plus a montrer une div grossiere

Question 36

Definition - Convergence normale

Answer 36

On dit que la serie de fonction som(Un) CN si la serie numerique som||Un||8 converge. Plus generalement : pour toute partie B de A, on dit que som(Un) converge normalement sur B si la serie numerique sigma||Un||8,B converge.
Bien sur CN entraine CAbsolue en tt pts et donc CS

Question 37

Commet montrer la CN en pratique ?

Answer 37

Pour mq Sigma (Un) est normalement convergente, il n’est pas necessaire de calculer explicitement les ||un||8, il suffit de trouver une suite majorante (an) de (||Un||8) ie tq ||Un||8 inf an pt n et tq Som(an) converge

Question 38

La convergence normale implique la CU

Answer 38

On suppose que sigma(Un) converge normalement. Cette serie de fonction converge alors uniformement.

Question 39

Il ne faut pas confondre la convergence absolue en tout points et la convergence normale: la CA en tt points veut dire :
La CN veut dire :

Answer 39

CA en tt pts :
Pt x€A, pt Epsilonsup0 il existe N€N tq som(N+1,8)||Un(x)) inf epsilon
CN :
Pt Epsilon sup 0, il existe N€N tq som(N+1,8)||Un||8 inf epsilon
D’une certaine facon: l’ecart entre la CN et CAbsolue en tt pts est encore plus grand qu’entre la CU et la CS

Question 40

Continuité ponctuelle et convergence uniforme pour une serie de fonction

Answer 40

Si les un sont continues sur A, et si la convergence de som(Un) est uniforme, alors la fonction som(0,8)uk est continue en a

Question 41

Limite uniforme d’une serie de fonctions continues

Answer 41

Si toutes les Un sont continues sur A, et si la convergence de sigma(Un) est uniforme, alrs la fonction somme som(0,8)uk est continue sur A

Question 42

Theoreme de la double limitepour les series de fonctions

Answer 42

Soit a un pt aderent de A. On suppose que :
- som(Un) CU vers S sur A
-pt n, un admet limite ln en a
Alors la serie som(ln) est convergente, S admet une limite en a, et ces limites sont egales : lim(x,a)S(x)=som(0,8)ln
Donc som(0,8)lim(x,a)Un(x)=lim(x,a)som(0,8)un(x) encore une double limite

Question 43

Theoreme : Integration d’une limite uniforme d’une serie de fonction sur un segment

Answer 43

Soit (Un) une suite de fonction continues def sur I de R a valeurs dans E. a un point de I. On suppose sigma(Un) CU sur tt seg de I vers une fonction S. Pt n€N: et x€I soit Un(x)=int(a,x)un, Ro(x)=int(a,x)S(x)
Alors som(Un) CU vers Ro sur tt seg de I. En particulier si som(Un) CU sur [a,b] alors som(0,8)int[a,b]un(t)dt = int[a,b]som(0,8)un(t)dt

Question 44

Theoreme de derivation d’une serie de fonctions

Answer 44

On suppose que A est un intervalle I de R et que :
-Chaque un est de C1
-som(un) CS sur I vers une fonction S
-som(un’) CU sur tt seg de I vers fonction T
Alors la serie som(un) CU vers S sur tt seg de I, S est de C1, sur I et S’=T

Question 45

Pour l’etude asymptotique d’une serie de fonction : on pourra utiliser

Answer 45

Le theoreme de la double limite, le CSSA, la comparaison serie integrale

Question 46

La convergence d’une suite de fonction (fn)de C1 implique-t-elle celle de la sute (fn’) ?

Answer 46

Soit fn de R ds R qui a x associe sin((n+1)x)/(n+1) alors fn est une suite d’application de C1 qui CVU vers 0 sur R (pt x,n de RxN, |fn(x)|inf 1/(n+1) )et fn’=cos((n+1)x) qui ne converge pas (meme pas simplement) (fn’(pi))