Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Maths > Groupe đŸ†đŸ‘­đŸ‘ŠđŸŒđŸŒŒđŸƒ > Flashcards

Groupe đŸ†đŸ‘­đŸ‘ŠđŸŒđŸŒŒđŸƒ Flashcards

1
Q

Soit * une loi de composition interne

Commutativité

A

ab=ba

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Soit * une loi de composition interne

ÉlĂ©ment neutre

A

ae = ea = a

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Soit * une loi de composition interne

Existence d’un symĂ©trique pour x (lorsque e existe)

A

Il existe y dans E tel que xy=yx = e

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

x simplifiable a gauche veut dire que si

xy = xz

A

y = z

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Un élément simplifiable (ou régulier) à droite ou a gauche est dit

A

Simplifiable, ou régulier

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Si la loi est associative, tout élément symétrisable est

A

Simplifiable

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q
  • distributive a gauche par rapport Ă  R si
A

a(bRc) = ab R a*c

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Il se peut que É soit muni d’une loi externe ie application de KxE dans E, K est appelĂ©

A

Domaine d’opĂ©rateur

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Une partie F de E est une sous structure de E si

A

F hérite de la structure de E ie

F stable par les opérations de E
Muni de ces lois induites et de ces éléments distingués F a la structure algébrique voulue

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

PrĂ©sence d’un Ă©lĂ©ment distinguĂ©

A

On peut souvent remplacer cette condition par le fait que la partie soit non vide a l’exception de l’élĂ©ment unitĂ© dans anneau (ou algĂšbre )

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Pourquoi N n’est pas un sous groupe de (Z+)

A

Les Ă©lĂ©ments n’ont pas d’opposĂ©es

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Pourquoi (x,y de R2 tq xy=0 ) n’est pas un sev de R2 ?

A

On prend les couple (1,0) et (0,1) et on le additionnes

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Pq {OA} n’est pas un sous anneau de A ?

A

1A n’est pas dedans (à moins que A={0A} )

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

L’intersection de sous structures (d’un mĂȘme ensemble structurĂ©) est

A

une sous structure

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

L’union de deux sous structure est

A

Pas une sous structure a moins que ACB ou BCA

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Si E et F possĂšdent la meme structure, ExF

A

Est naturellement muni d’une ou plusieurs mois qui lui confùre une structure sauf dans le cas de la structure de corps
(1k,0L)x(0k,1L) = (0k,0L) dc KxL pas intégre

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

DĂ©finition morphisme

A

Soit E et F deux ensembles structurés (pour la meme structure) un morphisme est une application de E dans F respectant les lois et les éléments distingués

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Ptés générales sur les morphisme
(Sous structure)
(Bijection)
(Injectivité)

A
  • L’image direct ou rĂ©ciproque d’une sous structure par un morphisme est une sous structure
  • Si morphisme bijectif, sa bijection rĂ©ciproque est aussi un iso-morphisme
  • L’injectivitĂ© d’un morphisme de groupe (donc d’ev, algebre, anneau) se teste sur le noyau
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

Propriété à propos de la surjectivité et des morphismes

A

SurjectivitĂ© d’un morphisme peut se tester sur une partie gĂ©nĂ©ratrice
(Si le morphisme permet d’atteindre tous les elts d’une partie gĂ©nĂ©ratrice de l’ens d’arrivĂ© alors il est surjectif)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

DĂ©finition groupe

A 
Un ensemble muni d'une lci (G,*) est un groupe si
* associative 
G admet elt neutre eG
Tout elts admet un symétrique dans G
(Si * commutative groupe abélien)
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Dans le cas de la notation multiplicative, pour n de N on def pour x de G
x^n x^m =
(x^m)^n=
(xy)^n !=

A

x^(n+m) =x^(m+n)
x^mn = (x^n)^m
x^n y^n sauf si x et y commutent

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

DĂ©finition produit direct de groupe

A

Étant donnĂ© des groupes G1,
,Gn on def une structure de groupe sur G1x
xGn en posant (a1,
,an)(b1,..,bn) = (a,b1, 
, anbn)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Exemple de groupes

A

(Se,o) groupe des permutations de E
Groupe additif ds anneau kev alg..
Les inversibles d’un anneau
L’ensemble des applications de X dans G pour la loi naturelle issue de celle de G

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

DĂ©finition sous groupe

A

Soit H une partie de G, H est un ss-g de G si
H stable par la loi de G
H possùde eG ou H n’est pas vide
Tout élément de H à son symétrique dans H

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

Caractérisation sous groupe

A

H sous groupe de G ssi
H possÚde eG, est stable par loi de G eG par passage au symétrique ssi
H possĂšde eG, et pt x,y, xy-1 dans H

26
Q

Opération sur les sous groupes

A

Une intersection quelconque de sous groupe de G est un ss-groupe de G

27
Q

Un groupe ayant plus d’un Ă©lĂ©ment admet au moins deux sous groupes

A

Lui meme et son élément neutre

28
Q

Exemple de groupe

A

Le centre d’un groupe est un ss-groupe commutatif
Le commutant C(g) d’un Ă©lĂ©ment g de G (C(g)= y de G tq yg = gy)
(Centre est l’intersection des commutants des elts deG)

29
Q

Sous groupe engendré par une partie

A

On appelle sous groupe de G engendré par A et on note <a> le plus petit sous groupe de G contenant A</a>

30
Q

Sous groupe engendré par une union

A

Soit H et F deus sous groupes du groupe (G+)
= H+F
Ou la somme désigne (h+f de HxF)

31
Q

DĂ©finition morphisme de groupe

A

Phi de (G,) dans (G’,đŸ”ș) une application
Phi est un morphisme de groupe si
Phi(eG) = eG’
Phi(ab) = phi(a)đŸ”șphi(b)

32
Q

La rĂ©ciproque d’un isomorphisme de groupe est

A

Un isomorphisme de groupe

33
Q

Propriétés conservées par un isomorphisme de G dans H

A 
Le fait que G soit de card fini
Le fait que G soit abélien
Le fait que G admette elts d'ordre p
Le fait que G admette centre tivial
Le fait que tt elts admette une moitier(pour+) et une racine carré (pourX)
34
Q

Aut(G) l’ensemble des automorphismes de G est

A

un groupe pour o

35
Q

Exemple morphismes de groupes

A

Signature E: Sn dans {-1,1}
Det : Gln(K) -) K*
Tte application linéaire est un morphisme du groupe additif sous jactent

36
Q

Soit phi : G dans G’ morphisme de groupe

Phi injectif ssi

A

Ker(phi) = {eG}

37
Q

Rang d’un groupe

A

On suppose que G est de type finie ie qu’il admet partie gĂ©nĂ©ratrice finie.
Rg G est le cardinal min d’une partie gĂ©nĂ©ratrice de G

38
Q

Groupe monogene, cyclique

A

G est monogene s’il est de rang 1

Si G monogene et fini alors G cyclique

39
Q

Exemple de groupe monogene

Exemple de groupe cyclique

A

(Z,+) est monogene

Un le groupe des racines n eme de l’unitĂ© est cyclique

40
Q

Soit n et a, a’, b, b’ tel que a đŸŽŒa’ [n] et

bđŸŽŒb’[n] alors

A

a+b đŸŽŒ a’ + b’ [n]

41
Q

Groupe des entiers modulo n

A

On note Z/nZ l’ensemble des classes d’équivalences de Z modulo n. La loi d’addition dans Z induit une application dans Z/nZ qui lui confĂšre une structure de groupe abĂ©lien

42
Q

Soit n de N*, k de Z, la classe de k dans Z/nZ engendre ce groupe ssi

43
Q

Def ordre d’un groupe

A

Le cardinal d’un groupe fini est aussi appelĂ© son ordre

44
Q

ÉlĂ©ment d’ordre fini d’un groupe, ordre d’un tel Ă©lĂ©ment

A

Soit g de G. On suppose qu’il existe N de N tq g^N=eG on appelle ordre de g l’entier o(g) = min k de N tq g^k=eG

45
Q

Exemple ordre d’un Ă©lĂ©ment

A

Le seul Ă©lĂ©ment d’ordre 1 de G est eG
Les transpositions sont d’ordre 2
Les symĂ©tries vectorielles de E distinctes de IdE sont d’ordre 2 dans Gl(E)
ei2pi/n est d’ordre n dans U

46
Q

Soit * une loi de composition interne

Associativité

A

(ab)c = a(bc)

47
Q

Classe d’équivalence dĂ©finition

A

Soit R une relation d’équivalence sur E

Cl(x) = _x = {y e E tq yRx}

48
Q

On appelle reprĂ©sentant d’une classe d’équivalence ♎ dans E

A

Tout Ă©lĂ©ment x de E tq ♎ = _x

49
Q

Un groupe monogĂšne infini est isomorphe a

50
Q

Un groupe cyclique de cardinal n est isomorphe a

51
Q

Si x est d’ordre fini d et si e dĂ©signe le neutre de G alors pour n dans Z on a

x^n = e ssi

52
Q

On dit que x de G est d’ordre fini lorsque

A

Le cardinal du sous-groupe de G engendrĂ© par x est fini; celui-ci est alors appelĂ© l’ordre de l’élĂ©ment x

53
Q

Si G est un groupe fini alors

A

Tout Ă©lĂ©ment de G est d’ordre fini, et son ordre divise Card(G)

54
Q

L’ordre de la matrice (2,2)

M=
0 2
(1 1)

A

Det M = -2 donc det (M^n) = (-2)^n diffĂ©rent de 1 pour tt n donc l’ordre de M est infinie

55
Q

E un EV

(L(E).o) est il un groupe ?

A

Non car les applications linĂ©aires ne sont pas tjrs bijective donc n’ont pas d’inverse

56
Q

Les groupes (R,+) et (R*,X) sont ils isomorphe ?

A

Non car dans le premier il n’y a pas d’élĂ©ment d’ordre 2 tandis que dans le deuxiĂšme il y a -1

(R,+) isomorphe a (R+*,X)

57
Q

Qu’est ce qu’u diviseur de 0

A

Un element non nul dont le produit avec un autre elemet non nul est egale a 0

58
Q

Une structure est dite integre lorsque

A

Il n’y a pas de diviseurs de 0

(Mn(K),+,X )n’est pas integre alors que
(Z,+,X) est integre

59
Q

Soit a et b d’ordre m et n tel que m^n=1. a et commutent.

Que vaut l’ordre de ab?

A

On montre que (a)inter(b)=eg

Soit k de N. (ab)^k= eg equivalent a a^k=b^-k appartient a (a)inter(b) =eg
Donc k multiple de mn
Puis on montre que k=mn en faisait (ab)^mn

60
Q

Comment montrer qu’une application est bijective ?

A

On exibe sa bijection reciproque

Ou Injectivite et surjectivite

Maths (28 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2025 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions