Convexité

Question 1

épigraphe de f

Answer 1

soit f de I dans R,

l’épitaphe de f est l’ensemble ♎️= (x,y de IxE tq y supérieur f(x))

Question 2

inégalité de Jensen discrète

Answer 2

soit f convexe sur I. alors pt entier n supérieur à 2, pt x1,…,xn de I, et pt réels positifs ou nul a1,…,an

f(som(1,n)aixi) inférieur som(1,n)aif(xi)

Question 3

lemme des 3 pentes

Answer 3

f convexe ssi pt x,y,z de I rangé en ordre croissant

f(y)-f(x)/y-x inf f(z)-f(x)/z-x inf f(z)-f(y)/z-y

Question 4

f est une fonction convexe ssi

Answer 4

son épigraphe est convexe

Question 5

La propriété de croissance d’une fonction est

Answer 5

Stable par somme, produit par un scalaire positif et par composition

Question 6

L’image continue d’un intervalle bornée n’est pas tjrs bornée : exemple

Answer 6

Tangente sur ]pi/2; 3pi/2[

Question 7

Si f dérivable en xo alors f admet un DL1 en xo et alors f(x)= (en xo)

Answer 7

f(x) = f(xo) + f’(x0)(x-x0) + o(x-x0)

Question 8

Théorème de Rolle

Answer 8

Soit f continue sur l’ouvert a,b, dérivable sur le fermer et tel que f(a) = f(b) alors il existe c dans a,b ouvert tq f’(c)=0

Question 9

Théorème des accroissements finis

Answer 9

Soit f continue sur l’ouvert a,b, dérivable sur le fermé a,b alors il existe c entre à et ouvert tel que f(b)-f(a)/(x-a) = f’(c)

Question 10

Theoreme du prolongement C1

f(x) (pour x dans ]a,b[)

Answer 10

Soit f de C1 sur ]a,b[, on suppose que f et f’ admettent des limites finis en a. Alors f se prolonge en une fonction de C1 sur [a,b[
f(x) = intégrale (c,x) f’(t)dt + f(c) ac c dans ]a,b[

Question 11

Dérivabilité et stricte monotonie

Answer 11

f est est croissante ssi

f’ supérieur ou égale a 0
Les seuls intervalles ou f’ = 0 sont de longueur nul (singleton)

Question 12

Technique de rétrécissement

Answer 12

Quand on travail avec un intervalle non bornée, on peut pour certaines questions se ramener à un intervalle borné en utilisant arctan définie de R dans ]-pi/2; pi/2[

Question 13

Définition segment

Answer 13

Soit A et B deux points de E. Le segment [AB] est l’ensemble des barycentre de ((A,x), (B,(1-x))) ou x décrit [0,1]

Question 14

Commet montrer que Sin (x^2) n’est pas uniformément continue ?

Answer 14

xn= (2pi n)^1/2 
yn= (2pi n + pi/2)^1/2 

xn-yn tend vers 0
f(xn) -f(yn) ne rend pas vers 0 (1)
Donc par contraposé f pas UC

Question 15

Proposition - Caractérisation de la convexité d’une fonction dérivable

Answer 15

Soit f une fonction dérivable de IdeR dans R. Les 3 assertions suivantes sont équivalentes :

• f est convexe sur I
• f’ est croissante sur I
• La courbe est situé au dessus de chacune de ses tangentes, ie pt a de I et pt x de I, f(x)sup f(a) + f’(a)(x-a)

Question 16

Corollaire - Caractérisation pratique de la convexité

Answer 16

Soit f de D2 de I dans R, alors f est convexe (resp concave) ssi f’’ sup 0 sur I (resp f’’ inf 0)
Dans la pratique, c’est souvent ce resultat que l’on utilise pour prouver la convexite d’une fonction.
Interpretation graphique d’un point d’inflexion a (f’‘(a) = 0, et f’’ change de signe au point a) : exemples: de sin, sh, th

Question 17

Exemple - Encore des fonctions convexes ( X4)

Answer 17

1) L’application exponentielle est convexe sur R, et l’application logarithme ln est concave sur R+*
2) Sinus est concave sur [0,pi/2] (et mme sur [0,pi] il en résulte l’encadrement pt x de [0,pi/2]: 2x/pi inf sin(x) inf x
3) Les applications a^x sont convexes sur R
4) L’application qui a x associe x^@, def sur R+*, est concave si @ de [0,1]et convexe si @ appartient a R-U[1,+8[