Suites Et Series Numeriques 💎

Question 1

Valeur d’adhérence

Answer 1

On dit qu’un scalaire Alpha est une valeur d’adhérence d’une suite Un lorsqu’il existe une sous suite de Un qui converge vers Alpha

Question 2

Suite bornée avec une seule valeur d’adhérence

Answer 2

Un une suite, de K bornée, n’admettant qu’une valeur d’adhérence. Alors cette suite converge vers son unique valeur d’adhérence

Question 3

Définition Série

Answer 3

On appelle série de TG Un et on note sigma in le couple (Un,Sn) ac Sn = som (0,n) Uk pt n de N
Sn suite des sommes partielles associé à la série sigma Un

Question 4

Un en fonction de Sn

Answer 4

Un = Sn - Sn-1

Question 5

La série sigma Un est dite convergente

Answer 5

Si la suite des sommes partielles associés (Sn) converge

En cas de cvg on appelle somme de la série sigma Un et on note sigma(0,8) Un la limite de (Sn)

Question 6

Reste d’une série

Answer 6

En cas de convergence, le reste d’ordre n de la série sigma Un et on note Rn le scalaire sigma (n+1, 8) Uk

Question 7

Condition nécessaire de convergence mais non suffisante

Answer 7

Il faut que Un tende vers 0 sinon divergence grossière

Question 8

Commet on montre que cos(n) diverge grossièrement ?

Answer 8

On suppose que Cos(n) tend vers 0, puis on prends cos(2n)

Question 9

Série télescopique

Answer 9

Soit an une suite de scalaires

La série sigma (an+1 -an) est de même nature que la suite an

Question 10

Comment montrer simplement que Hn diverge

Answer 10

H2n-Hn = sigma (n+1,2n) 1/k supérieur à n/2n = 1/2 donc Hn diverge

Ou comparaison série intégrale

Question 11

Structure de l’ensemble des séries convergentes

Answer 11

Espace vectoriel

Question 12

Condition nécessaire et suffisante de convergence pour une série à termes positifs

Answer 12

Une SATP converge ssi la suite de ses sommes partielles est majorée

Question 13

Equivalence et séries a termes positifs

Answer 13

Si u et v sont positives, et si un~Vn alors les séries sont de même nature

Question 14

Demo Equivalence et SATP

Answer 14

Si U et V positives et équivalente il existe un rang tq Un/2 inf Vn inf 2Un

Donc si Un converge Vn converge
Et réciproquement

Question 15

Comparaison série intégrale dans le cas monotone

Answer 15

On fait un dessin et ca part ! (Pt t de [n,n+1] ….

Question 16

Proposition série de Riemann

Answer 16

La série sigma 1/n^alpha converge ssi Alpha supérieur à 1

Question 17

Comparaison série intégrale (SATP) : si f continue par morceaux et décroissante
La série de TG Un= intégrale (n-1,n) f(t)dt -f(n) converge

Answer 17

On fait la comparaison série intégrale puis on aboutit à -
0 inf Un inf f(n-1) - f(n) et la série sigma f(n-1) - f(n) converge car f décroissante mino par 0 donc f admet limite fini en 8 donc Sigma Un converge

Question 18

Mq la série harmonique alternée converge

Hn2 = Sigma (-1)^n-1 /n

Answer 18

(-1)^n-1 / n = intégrale (0,1) (-x)^n-1dx

On partage l’intégrale 1-(-x)^n /(1+x) en 2 et l’une tend vers ln2 l’autre vers 0
Donc la somme de Hn2 est ln2

Question 19

Convergence absolue

Answer 19

On dit que la série sigma in est absolument cvg si la série sigma |Un| est cvg

Question 20

La cvg absolue implique la cvg

Answer 20

Si sigma Un cvg absolument alors sigma un cvg

Question 21

Relation de domination et absolue convergence

Answer 21

Si Un suite complexe, Cn suite d’éléments de R+, si Un= O(Vn) et si sigma Vn converge alors sigma Un AC donc convergente

Question 22

Critère de d’Alembert pour l inférieur à 1

Answer 22

Soit Zn suite complexe, si |Zn+1|/|Zn| tend vers l inférieur à 1 en 8 alors Sigma Zn converge absolument

Question 23

Critère spécial des séries alternées

Answer 23

Sot An suite réelle décroissante de limite nulle

La série sigma (-1)^n converge et pt n |Rn| inférieur à An+1

Dém séries paire/impaire adjacentes

Question 24

Théorème de sommation des relations de comparaison, cas de la convergence
Soit Sigma Vn SATP convergente

Answer 24

Si un = o(Vn) alors sigma Un cvg et sigma (n,8) Uk=o(sigma (n,8) Vk )

Idem si Uk~Vk
Un=O(Vn)

Question 25

Un = O Vn veut dire

Answer 25

Il existe M de R+ tq pour un certain rang Un inf M Vn

Question 26

Si Un=oVn en particulier

Answer 26

Un = O Vn

Question 27

Theoreme de Césaro

Answer 27

Si Un tend vers l, Vn = som(1,n)Uk / n

Alors Vn tend vers l

Question 28

Exemple qui prouve le caractère décroissant nécessaire danse theoreme du critère spéciale des séries alternées

Answer 28

Avec An = 1/n^1/2 + (-1)^n/ n la série sigma (-1)^n A diverge

Question 29

Ln (n/n+1) =

Answer 29

Ln ( 1- 1/n+1)

Question 30

Si Un bornée et n’admet qu’une valeur d’adhérence alors

Answer 30

(Un) converge

Question 31

Transformation d’Abel

Answer 31

Soit (an) et (Bn) deux suites complexes, on définit deux suites complexes (An) et (bn) par :
pt n de N, An=som(0,n)an et bn=Bn+1-Bn

On a som(0,n)akBk = AnBn + som(0,n-1)Akbk

On montre que si (Bn) tend vers 0, (An) est bornée, et sombn converge absolument, alors som(0,n)akBk converge