Suites Et Series Numeriques đ Flashcards
Valeur dâadhĂ©rence
On dit quâun scalaire Alpha est une valeur dâadhĂ©rence dâune suite Un lorsquâil existe une sous suite de Un qui converge vers Alpha
Suite bornĂ©e avec une seule valeur dâadhĂ©rence
Un une suite, de K bornĂ©e, nâadmettant quâune valeur dâadhĂ©rence. Alors cette suite converge vers son unique valeur dâadhĂ©rence
DĂ©finition SĂ©rie
On appelle série de TG Un et on note sigma in le couple (Un,Sn) ac Sn = som (0,n) Uk pt n de N
Sn suite des sommes partielles associé à la série sigma Un
Un en fonction de Sn
Un = Sn - Sn-1
La série sigma Un est dite convergente
Si la suite des sommes partielles associés (Sn) converge
En cas de cvg on appelle somme de la série sigma Un et on note sigma(0,8) Un la limite de (Sn)
Reste dâune sĂ©rie
En cas de convergence, le reste dâordre n de la sĂ©rie sigma Un et on note Rn le scalaire sigma (n+1, 8) Uk
Condition nécessaire de convergence mais non suffisante
Il faut que Un tende vers 0 sinon divergence grossiĂšre
Commet on montre que cos(n) diverge grossiĂšrement ?
On suppose que Cos(n) tend vers 0, puis on prends cos(2n)
Série télescopique
Soit an une suite de scalaires
La sĂ©rie sigma (an+1 -an) est de mĂȘme nature que la suite an
Comment montrer simplement que Hn diverge
H2n-Hn = sigma (n+1,2n) 1/k supérieur à n/2n = 1/2 donc Hn diverge
Ou comparaison série intégrale
Structure de lâensemble des sĂ©ries convergentes
Espace vectoriel
Condition nécessaire et suffisante de convergence pour une série à termes positifs
Une SATP converge ssi la suite de ses sommes partielles est majorée
Equivalence et séries a termes positifs
Si u et v sont positives, et si un~Vn alors les sĂ©ries sont de mĂȘme nature
Demo Equivalence et SATP
Si U et V positives et Ă©quivalente il existe un rang tq Un/2 inf Vn inf 2Un
Donc si Un converge Vn converge
Et réciproquement
Comparaison série intégrale dans le cas monotone
On fait un dessin et ca part ! (Pt t de [n,n+1] âŠ.
Proposition série de Riemann
La série sigma 1/n^alpha converge ssi Alpha supérieur à 1
Comparaison série intégrale (SATP) : si f continue par morceaux et décroissante
La série de TG Un= intégrale (n-1,n) f(t)dt -f(n) converge
On fait la comparaison série intégrale puis on aboutit à -
0 inf Un inf f(n-1) - f(n) et la série sigma f(n-1) - f(n) converge car f décroissante mino par 0 donc f admet limite fini en 8 donc Sigma Un converge
Mq la série harmonique alternée converge
Hn2 = Sigma (-1)^n-1 /n
(-1)^n-1 / n = intégrale (0,1) (-x)^n-1dx
On partage lâintĂ©grale 1-(-x)^n /(1+x) en 2 et lâune tend vers ln2 lâautre vers 0
Donc la somme de Hn2 est ln2
Convergence absolue
On dit que la série sigma in est absolument cvg si la série sigma |Un| est cvg
La cvg absolue implique la cvg
Si sigma Un cvg absolument alors sigma un cvg
Relation de domination et absolue convergence
Si Un suite complexe, Cn suite dâĂ©lĂ©ments de R+, si Un= O(Vn) et si sigma Vn converge alors sigma Un AC donc convergente
CritĂšre de dâAlembert pour l infĂ©rieur Ă 1
Soit Zn suite complexe, si |Zn+1|/|Zn| tend vers l inférieur à 1 en 8 alors Sigma Zn converge absolument
CritÚre spécial des séries alternées
Sot An suite réelle décroissante de limite nulle
La série sigma (-1)^n converge et pt n |Rn| inférieur à An+1
Dém séries paire/impaire adjacentes
ThéorÚme de sommation des relations de comparaison, cas de la convergence
Soit Sigma Vn SATP convergente
Si un = o(Vn) alors sigma Un cvg et sigma (n,8) Uk=o(sigma (n,8) Vk )
Idem si Uk~Vk
Un=O(Vn)
Un = O Vn veut dire
Il existe M de R+ tq pour un certain rang Un inf M Vn
Si Un=oVn en particulier
Un = O Vn
Theoreme de CĂ©saro
Si Un tend vers l, Vn = som(1,n)Uk / n
Alors Vn tend vers l
Exemple qui prouve le caractÚre décroissant nécessaire danse theoreme du critÚre spéciale des séries alternées
Avec An = 1/n^1/2 + (-1)^n/ n la série sigma (-1)^n A diverge
Ln (n/n+1) =
Ln ( 1- 1/n+1)
Si Un bornĂ©e et nâadmet quâune valeur dâadhĂ©rence alors
(Un) converge
Transformation dâAbel
Soit (an) et (Bn) deux suites complexes, on définit deux suites complexes (An) et (bn) par :
pt n de N, An=som(0,n)an et bn=Bn+1-Bn
On a som(0,n)akBk = AnBn + som(0,n-1)Akbk
On montre que si (Bn) tend vers 0, (An) est bornée, et sombn converge absolument, alors som(0,n)akBk converge
