Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Maths > Algèbre Lineaire > Flashcards

Algèbre Lineaire Flashcards

1
Q

Codimension

A

Soit F un SEV de dim finie. On appel codim de F la dimension d’un supplémentaire de F dans E.

CodimF = Dim E - Dim F

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Théorème de la base incomplete

A

Soit E un espace de dim finit. G une famille génératrice de E. L une famille libre de E. Alors on peut compléter L ac des elts de G pour former une base de E.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Rang d’une matrice A

A

Soient (C1,…,Cp) les vecteurs colonnes de A, le rang de A est le rang de la miff C1,…,Cp = dim Vect (C1,…,Cp) on note Rg(A)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Transposition

A

C’est une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres à leurs place

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Support d’une permutation

A

Soit S une permutation. Le support de S est l’ensemble des éléments qui ne sont pas fixe par S.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

F injective

A

Pour tout x,x’ E A, f(x)=f(x’) => x=x’

x diff de x’ => f(x) diff f(x’)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Une relation binaire est

A

Réflexive
Symétrique
Transitive
Antysimetrique

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Une relation d’équivalence est

A

Réflexive
Transitive
Symétrique

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

R est réflexive

A

xRx

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

R symétrique

A

xRy => yRx

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

R transitive

A

xRy et yRz => xRz

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

R est Antisymétrique

A

Si xRy et yRx alors x= y

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

R est une relation d’ordre

A

Binaire
Réflexive
Antisymétrique
Transitive

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

a^n - b^n =

A

(a-b)som de 0 à n-1 a^k b^(n-1-k)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Som de 1 à n des k=

A

(n(n+1))2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Som de 1 à n de k^2

A

n(n+1)(2n+1)
___________

   6
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Som de 1 à n des k^3

A

n^2(n+1)^2
___________

     4
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Formule de Pascale

A

p parmi n= p parmi n-1 + p-1 parmi n-1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

Som de 0 à n des p parmi n =

A

2^n

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

Système de cramer

A

n équations linéaires n inconnus ac une unique solution

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Propriété du module d’un complexe z

A

|z.z’| = |z|.|z’|

|z+z’| = | |z|-|z’| |

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

Moivre et Euler

A

Moivre : Cos ø =
Sinø =

Euler : (e(iø))^n = e(inø)

P116

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Factorisation d’une somme d’exponnentielle

e(iø1) + e(iø2) =

A

2cos((ø1-ø2)/2)e(i(ø1+ø2)2)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

e(iø1) -e(iø2)=

A

2i Sin ((ø1-ø2)/2) e (i(ø1+ø2)/2)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

f dérivable en a si

A

(F de x - f de a) / (x-a) a une limite fini quand x tend vers a)

f’(a) ce réel

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

Équation de la tengante en un point à

A

y = f(a) + f’(a)(x-a)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

Dérivée d’une composé

(fog)’=

A

(f’og) X g’

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
28
Q

Dérivée de l’application réciproque d’une bijection

(f-1)’=

A

(f-1)’ = 1/ f’of-1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
29
Q

Une base B de E est adaptée à F si

A

On peut prendre une sous famille de B pour faire une base de F

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
30
Q

Soit f: E->F g: F->G

Alors rg(fog)

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
31
Q

f un endomorphisme de E. F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est stable par f si

A

f(F)C F

Si c’est le cas. Phi : F -> F est linéaire et un endomorphisme de F induit par f

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
32
Q

Montrer qu’une application est linéaire

A

La classique f(phiX+Y) = phif(X) + f(Y)
Une composée d’application linéaire est linéaire
La restriction à un ss-ev d’une AL est L
Si f= (h,g) ac h,g linéaire alors f linéaire

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
33
Q

Soit E et F deux espaces de dim n. f une application de E dans F.

f est injective

A

f surjective

f un isomorphisme

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
34
Q

Soit F une famille de n vecteurs dans un espace E de dim n.

F est livre

A

F est génératrice de E f est une base de E

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
35
Q

B de Mnp(K)est equivalente a A de Mnp(K) si

A et B sont equivalentes ssi

A

Il existe P,Q de GLn(K)XGLp(K) tel que A=P-1BQ

Rg A = rg B ssi il existe 2 bases de E a et a’, 2 bases de F, b et b’et un endomorphisme de e ds F tel que A=Mab(f) et B=Ma’b’(f)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
36
Q

Soit AB de Mn(K), A et B sont semblable si :

A et B sont semblable ssi

A

Il existe P de GLn(K) tel que A=P-1BP

Il existe c et c bases de E et un endomorphisme f de L(E) tel que
A=Mc(f) et B=Mc’(f)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
37
Q

Si A et B sont semblable alors

A

A et B on le meme determinant, la meme trace, le meme rang, et irepresentent le meme endomorphisme
(On dit que ca c’est des invariants de similitudes)

Et pour tt k de N, A^k=P-1B^kP

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
38
Q

Projecteur :

A

Soit E un ev. F et G 2 supplementaires de E. On dit que p est un projecteur de F parallement a G si pour x=xf+xg
p(x)=xf

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
39
Q

projecteurs :
soit Pfg le projecteur de F parallement a G

E=F+G donc F=
G=
E=

A

F= Im(Pfg) = Ker (Pfg-idE) = Ker(Pgf)
G= c’est symétrique
donc E= Im(Pfg)(+)Ker(Pfg)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
40
Q

Pfg + Pgf =

A

idE

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
41
Q

si f de L(E) est nilpotent alors

si A de Mn(k) nilpotente alors tA

si AB nilpotent si :

(A+B) nilpotent si

A

phif est nilpotent

alors transposée de A est nilpotente

A OU B est nilpotente et si elles commutent

si A ET B sont nilpotent es et commutent

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
42
Q

commutant de f

A

c’est l’ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec f on note C(f)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
43
Q

c(f) est à la fois (structure)

A

sous espace vectoriel et sous anneau de L(E) contenant l’ensemble K[f] des polynômes en f

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
44
Q

groupe des périodes d’une fonction numérique f

A

c’est l’ensemble regroupant toutes les périodes de f

sous groupe additif de R

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
45
Q

T est la periode de F

G groupe des périodes de f

A

si T est la plus petite période strictement positive de f (lorsqu’elle existe). donc G=TZ

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
46
Q

exemple de fonction n’ayant pas de plus petite période

A

les fonctions constantes

l’indicatrice de Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
47
Q

la fonction indicatrice de Q

A

de R dans R
x -> 1 si x appartient à Q
0 si x n’appartient pas à Q

elle admet Q pour groupe de période

48
Q

soit A une partie de R et a appartenant à A

A est voisinage de
a si :
+8 si
-8 si:

A

: si il existe E>0 tq ]a-E;a+E[ C A

: si il existe M tq [M,8[ C A

: si il existe M tq ]-8;M] C A

49
Q

un point c de _R est dit adhérent à une partie A de R si

A

tout voisinage de c rencontre A. ie c est limite d’une suite de point de A

50
Q

f tend vers b en a (avec les voisinages)

A

pt E>0, il existe §>0 tq f(I inter [a-§;a+§]) C [b-E;b+E]

51
Q

f admet B pour limite en a si et seulement si

A

pour tout voisinage Vb de b, il existe un voisinage Wa de a tel que f(Wa inter I) soit inclu dans Vb

52
Q

en francais : on dit que f est continue en a si

A

f a une limite fini en a

53
Q

TVI

1) f s’annule
2) y=f(c)

A

soit f continue sur I, soit a,b de I, tel que f(a)f(b)moins que 0 alors f s’annule entre à et b
si f continue de Ids R et si a<b></b>

54
Q

image continue d’un segment

A

si f de [a;b] dans R est continue et a moins que b.

alors l’img f([a;b]) est un segment

55
Q

liens entre lipschitzien continue et Uniformément continue

A

lipschitzienne => UC => C

56
Q

UC => C mais recip est fausse, donner un contre exemple

A

f: x->x^2 est continue mais si on pose yn=n+1/n et xn=n, yn-xn->0 mais f(yn)-f(xn) ne tend pas vers 0.

57
Q

exemple de fonction uniformément continue mais pas lipschitzienne

A

f racine carrée est UC sur [0;1] mais pas lipschitzienne

[ r(1/2)- r(0) ] / (1/2 - 0) -> 8

58
Q

f est lipschitzienne :

A

tous ses taux d’acroissement sont bornées

59
Q

si l’on munit E un R espace vectorielle de sa structure affine alors

A

ses élément sont vus comme des points via le choix d’une origine

60
Q

Définition Barycentre

A

Soit (Ai,ai) une famille de n éléments de EXR, tq som(1,n)ai = a différent de 0

le point B des par _OB=1/a som(1,n)ai_OAi est le barycentre de (Ai,ai)

61
Q

chaque couple (Ai,ai) est

A

appelé point pondéré Ai de poids ai.

a est le poids total de la miff.

62
Q

dans le cas où pt i ai=1

A

B est l’isobarycentre des (Ai,ai)

63
Q

avant de parler du barycentre d’une famille pondéré, il faut vérifier que

A

a différent de 0

64
Q

propriétés du barycentre (3/5)

A
  • commutativité du barycentre. L’ordre des Ai ne change pas le barycentre
  • le barycentre est indépendant de l’origine
  • le barycentre est l’unique solution de l’équation d’inconnu M som(1,n)ai_MAi=0
65
Q

propriété du barycentre (4/5 et 5/5)

A
  • homogénéité du barycentre: si on multiplie tous les poids par un meme réel non nom il, le bary est le meme
  • associativité du barycentre : si Bm le barycentre des (Ai,ai) m<i></i>
66
Q

A est une partie de E convexe si

A

A contient le segment joignant 2 quelconque de ses éléments

67
Q

exemple de parties convexes

A
  • une partie de R est convexe ssi c’est un intervalle
  • une intersection quelconque de convexes est convexe
  • les disques (fermes ou ouvert) du plan
68
Q

une partie A de E est convexe ssi (caractérisation)

A

tout barycentre à poids positifs de points de A est encore dans A

69
Q

enveloppe convexe

A

soit ♎️ une partie de E. alors il existe une plus petite partie convexe P de E contenant ♎️
♎️C P
P convexe
si ♎️ inclu dans P’ convexe, PCP’

70
Q

montrer qu’on a un sous espace vectoriel

A

par exemple F est une partie non vide de E stable par CL

F est une intersection de ss-ev de E

F s’écrit Vect(P) avec P une famille de vecteurs de E

71
Q

E est un espace vectoriel

on dit que (E,+,.) est un K-ev si

A 
E est un ensemble 
\+ est une lci interne sur E
. une application de KxE ds E
(E,+) est un groupe abélien 
(a+b).U = aU+bV ^ (ab)U=a(bU)
a(U+V) = aU+V
1.U=U
72
Q

moyen de montrer la liberté d’une famille F de vecteurs

A

pour montrer qu’un scalaire a est nul devant un vecteur u dans une CL nulle de F, on trouve une propriété stable par CL que seul le vecteur u ne vérifie pas dans F

73
Q

rang d’une application linéaire =

A

dimension de Imf

74
Q

lemme préparatoire au theroreme du rang

A

Soient E et F 2 Kespaces vectoriel. soit phi de L(E,F). alors phi induit un isomorphisme de tout supplémentaire de Ker(phi) dans E vers Im(phi)

75
Q

demo de l’enveloppe convexe

A

existence : on def C comme l’intersection de tous les convexes comprenant ♎️

76
Q

l’enveloppe convexe d’une partie non vide ♎️ de E est

A

l’ensemble des barycentres de familles finies de points de ♎️ pondérés par des poids positifs

77
Q

on remarque que si x inf a z et y dans le fermé x,z

A 
y= ax + (1-a)z avec 
a = z-y/z-x 
1-a = y-x/z-x
78
Q

une application f de I dansR est convexe si

A

pt a,b de I, pt x de [0,1], f(xa+(1-x)b) inférieur ou égale a xf(a) + (1-x)f(b)

79
Q

une application est dite concave si

A

-f est convexe

80
Q

F1, …, Fn+1 sont en somme direct ssi

A

F1,…,Fn sont en somme direct et

Fn+1 inter (F1 + … + Fn) = {OE}

81
Q

F1, … Fn sont des ssev de E. Ils sont en somme direct si phi de F1x…xFn dans E est

A

Injective

82
Q

Démarches typiques de preuve de liberté

A
  • en parallèle : les ui jouent un rôle symétrique (utilisation d’évaluation, vecteur propre associé à des valeurs propres distinctes etc..)
  • en série : lorsqu’on peut hiérarchiser les ui (ordre de multiplicité, degrés échelonnés, comportement asymptotique ..)
83
Q

Caractérisation du rang d’une matrice par les matrices extraites inversibles

A

Le rang d’une matrice est la plus grande taille de ses matrice extraite inversible ie la plus grande taille de ses matrices extraites de déterminant non nul

84
Q

Tr(A+B)=

A

Tr A + Tr B

85
Q

Tr(AB) =

A

Tr(BA)

86
Q

DetAB =

A

DetAdetB

87
Q

Pour savoir si deux espaces vectoriels sont isomorphe

A

Comparer leurs dimensions

88
Q

Dim(ExF) =
Dim L(E,F) =
Dim (E+F)=

A

Dim E + dim F
Dim E x dim F
Dim E+ dim F -dim EinterF

89
Q

Theoreme du rang

A

Soit E et F deux Kev. Phi de E dans F. Alors rg(phi) + dim Ker(phi) = dim E

90
Q

Isomorphisme en dimension finie

A

Si E et F de meme dimension. Injectivite = surjectivité = bijectivite

91
Q

Base d’interpolation de Lagrange.

A

Soit a0,..,an distinct 2 à 2.
On pose pt i de 0 à n :
Pi= prod (0,n)\i X-aj/ai-aj P0,…,Pn une base de Kn[X]

92
Q

A propos de la base d’interpellation de Lagrange

Pi(aj) =

A

Delta ij

93
Q

Que dire de
Delta: Kn[X] ➡️ K^n+1

P➡️ (P(a0),…,P(an))

A

Delta est linéaire car les évaluations le sont et est un isomorphisme
si on def une base de K^n+1
On a delta(Pi) = ei

94
Q

Si le rang de deux matrices est le meme alors

A

Les matrices sont équivalentes

95
Q

Si F1 et F2 sont supplémentaire d’un meme sous espace G alors

A

F1 et F2 sont isomorphe

96
Q

Polynôme en f

A

Soit P= som aiX^i

P(f) = som ai f^i
On appelle polynôme en f tout endomorphisme de cette forme
On note K[f] leurs ensemble

97
Q

Que dire de phi :
K[X] ➡️ L(E)
P ➡️ P(f)

A

C’est un morphisme d’algèbre dont l’image K[f] est également une algebre

98
Q

Qu’est ce que le dual de E

A

C’est l’ensemble des formes linéaires sur E

99
Q

Lorsque E est de dimension finie, que dire de E et de son dual

A

Ils sont isomorphe

100
Q

H est un hyperplan si H vérifie ces deux propriétés équivalentes

A

H est le noyau d’une forme linéaire non nulle

H est de codimension 1

101
Q

Si ABC trois ensemble
An(BuC) =
Si c’est 3 ssev
An(B+C)

A

= AnB u AnC

Différent de AnB + AnC

102
Q

Soit u un endomorphisme nilpotent de E. Que dite de phi qui a v associe uv - vu ?

A

C’est un endomorphisme nilpotent

103
Q

Soit u un endomorphisme nilpotent de E. Que dite de phi qui a v associe uv - vu ?

A

C’est un endomorphisme nilpotent

104
Q

Comment montrer que pour les matrices de rang 1 A²=tr(A)A

A

On montre que A est de rg 1 ssi A=X(tY) avec X et Y de Mn,1(R) puis A²=X(tY)X(tY) = X(tYX)(tY) or (tY)X matrice de taille 1 = trA donc A²=tr(A)A

105
Q

Exemple : bijection strictement monotone de réciproque non strictement monotone

A

On considère l’ensemble E des applications continues de R dans R et F l’ensemble des applications de C1 sur R, nulles en 0.
Phi qui a u de E associe la fonction v qui a x associe integrale(0,x)u(t)dt est une bijection st croissante de bij non strictement croissante.

106
Q

Structure des sous groupes additifs réels

A

Soit G un sous groupe de R additif et non réduit a 0. SOit a la borne inf de GinterR+*, on montre que si a=0, G est dense dans R et si a sup str 0, alors G=aZ

107
Q

Notion d’endomorphisme induit

A

Il faut comprendre que la notion d’endomorphisme induit n’a de sens que lorsque qu’on a un sous espace stable. Il sera donc intéressant de considéré matriciellement un endomorphisme de L(E) dans une base adapté a sa décomposition sur ses sous espaces stables F1,…,Fk, (en somme directe et de somme E). L’idéal étant que les Fi soient des droites vectorielles, pour ainsi disposer d’une base de diagonalisation.

108
Q

Remarque sur le lemme préparatoire au théorème du rang

A

Il reste vrai en dim infinie

109
Q

Caractérisation de la somme direct par les dimensions

A

Soit F1,…,Fn des sous espaces vectoriels de E de dim finie. Les Fi sont en somme direct ssi dim(F1+…+dim(Fn)=som(1,n)dim(Fi)
On le montre en considérant l’application phi de F1x…xFn dans F1+…+Fn

110
Q

Proposition - Inverse unilatéral d’un endomorphisme en dimension finie

A

Soit u de L(E) ou E est de dim finie. On suppose qu’il existe v de L(E) (resp w de L(E)) tq vou=idE (resp uow=idE) alors u appartient a GL(E) et v (resp w) est la bijection réciproque de u

111
Q

Interpolation de Lagrange c quooi

A

Le probleme est le suivant. On a f de I un intervalle de R d’au moins 2 points. Et a0,…,an, n+1 points de I. On cherche un polynome de degré au moins n tel que pour tout i de [|0,n|], P(ai)=f(ai) ie un polynome qui interpole f aux ai.
Autrement dit, on cherche un antécédent du n+1-uplet (f(a0),…,f(an)) par l’application phi qui a P de Kn[X] associe (P(a0),..,P(an)) de K^n+1
Or phi est un isomorphisme d’espace vectoriel, par conséquent le polynôme P est unique. c’est phi-1(f(a0),…,f(an)).
Si on note (e0,…en) la base canonique de K^n+1 alors on put écrire P=som(0,n)f(ai)phi-1(ei). Or pt i de [|0,n|], Pi=phi-1(ei) de sorte que P=som(0,n)f(ai)Pi. La famille P0,…,Pn est appelée base d’interpolation de Lagrange. Associé au n+1-uplet (a0,…an). C’est une base de Kn[X]

112
Q

Que dire de P(A) avec P un polynôme ayant 0 pour racine, si A est nilpotente

A

On a P(A) nilpotent

113
Q

Définition - Base dual

A

On appelle formes linéaires coordonnées (phi1,…,phin) associées a B les formes linéaires sur E données par :
pt i,j de [|1,n|], phij(ei)=delta ij ainsi les formes linéaires coordonnées constituent une base B* de E* le dual de E. On note souvent ei*=phii pt i de [|1,n|]

114
Q

Formes linéaires coordonnées

A

Dans ce contexte, on a pour tout x de E:
x = som(1,n)ei(x)ei. Autrement dit, pour tout x de E et tout i de [|1,n|], ei(x) n’est rien d’autre que la i-ème coordonnée xi de x dans la base B. D’où le terme de forme linéaire coordonnées. Parler de la forme lineaire coordonnee f1* selon un vecteur non nul f1 n’a pas de
sens, car il depend des autres vecteurs de la base (f1,… fn).

115
Q

Equation d’hyperplan

A

Soit phi une forme linéaire non nul sur E et soit H son noyan. Soit (e1,…,en) la base dual de E. Donc il existe @1,…@n de scalaires tq phi=som(1,n)@iei* et on a donc H={x de E tq som(1,n)@iei*(x)=0} = {x de E tq som(1,n)@ixi=0} et on dit que som(1,n)@ixi=0 constitue une équation de l’hyperplan H.

Maths (28 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions