Algèbre Lineaire Flashcards
Codimension
Soit F un SEV de dim finie. On appel codim de F la dimension d’un supplémentaire de F dans E.
CodimF = Dim E - Dim F
Théorème de la base incomplete
Soit E un espace de dim finit. G une famille génératrice de E. L une famille libre de E. Alors on peut compléter L ac des elts de G pour former une base de E.
Rang d’une matrice A
Soient (C1,…,Cp) les vecteurs colonnes de A, le rang de A est le rang de la miff C1,…,Cp = dim Vect (C1,…,Cp) on note Rg(A)
Transposition
C’est une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres à leurs place
Support d’une permutation
Soit S une permutation. Le support de S est l’ensemble des éléments qui ne sont pas fixe par S.
F injective
Pour tout x,x’ E A, f(x)=f(x’) => x=x’
x diff de x’ => f(x) diff f(x’)
Une relation binaire est
Réflexive
Symétrique
Transitive
Antysimetrique
Une relation d’équivalence est
Réflexive
Transitive
Symétrique
R est réflexive
xRx
R symétrique
xRy => yRx
R transitive
xRy et yRz => xRz
R est Antisymétrique
Si xRy et yRx alors x= y
R est une relation d’ordre
Binaire
Réflexive
Antisymétrique
Transitive
a^n - b^n =
(a-b)som de 0 à n-1 a^k b^(n-1-k)
Som de 1 à n des k=
(n(n+1))2
Som de 1 à n de k^2
n(n+1)(2n+1)
___________
6
Som de 1 à n des k^3
n^2(n+1)^2
___________
4
Formule de Pascale
p parmi n= p parmi n-1 + p-1 parmi n-1
Som de 0 à n des p parmi n =
2^n
Système de cramer
n équations linéaires n inconnus ac une unique solution
Propriété du module d’un complexe z
|z.z’| = |z|.|z’|
|z+z’| = | |z|-|z’| |
Moivre et Euler
Moivre : Cos ø =
Sinø =
Euler : (e(iø))^n = e(inø)
P116
Factorisation d’une somme d’exponnentielle
e(iø1) + e(iø2) =
2cos((ø1-ø2)/2)e(i(ø1+ø2)2)
e(iø1) -e(iø2)=
2i Sin ((ø1-ø2)/2) e (i(ø1+ø2)/2)
f dérivable en a si
(F de x - f de a) / (x-a) a une limite fini quand x tend vers a)
f’(a) ce réel
Équation de la tengante en un point à
y = f(a) + f’(a)(x-a)
Dérivée d’une composé
(fog)’=
(f’og) X g’
Dérivée de l’application réciproque d’une bijection
(f-1)’=
(f-1)’ = 1/ f’of-1
Une base B de E est adaptée à F si
On peut prendre une sous famille de B pour faire une base de F
Soit f: E->F g: F->G
Alors rg(fog)
f un endomorphisme de E. F un sous espace vectoriel de E. On dit que F est stable par f si
f(F)C F
Si c’est le cas. Phi : F -> F est linéaire et un endomorphisme de F induit par f
Montrer qu’une application est linéaire
La classique f(phiX+Y) = phif(X) + f(Y)
Une composée d’application linéaire est linéaire
La restriction à un ss-ev d’une AL est L
Si f= (h,g) ac h,g linéaire alors f linéaire
Soit E et F deux espaces de dim n. f une application de E dans F.
f est injective
f surjective
f un isomorphisme
Soit F une famille de n vecteurs dans un espace E de dim n.
F est livre
F est génératrice de E f est une base de E
B de Mnp(K)est equivalente a A de Mnp(K) si
A et B sont equivalentes ssi
Il existe P,Q de GLn(K)XGLp(K) tel que A=P-1BQ
Rg A = rg B ssi il existe 2 bases de E a et a’, 2 bases de F, b et b’et un endomorphisme de e ds F tel que A=Mab(f) et B=Ma’b’(f)
Soit AB de Mn(K), A et B sont semblable si :
A et B sont semblable ssi
Il existe P de GLn(K) tel que A=P-1BP
Il existe c et c bases de E et un endomorphisme f de L(E) tel que
A=Mc(f) et B=Mc’(f)
Si A et B sont semblable alors
A et B on le meme determinant, la meme trace, le meme rang, et irepresentent le meme endomorphisme
(On dit que ca c’est des invariants de similitudes)
Et pour tt k de N, A^k=P-1B^kP
Projecteur :
Soit E un ev. F et G 2 supplementaires de E. On dit que p est un projecteur de F parallement a G si pour x=xf+xg
p(x)=xf
projecteurs :
soit Pfg le projecteur de F parallement a G
E=F+G donc F=
G=
E=
F= Im(Pfg) = Ker (Pfg-idE) = Ker(Pgf)
G= c’est symétrique
donc E= Im(Pfg)(+)Ker(Pfg)
Pfg + Pgf =
idE
si f de L(E) est nilpotent alors
si A de Mn(k) nilpotente alors tA
si AB nilpotent si :
(A+B) nilpotent si
phif est nilpotent
alors transposée de A est nilpotente
A OU B est nilpotente et si elles commutent
si A ET B sont nilpotent es et commutent
commutant de f
c’est l’ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec f on note C(f)
c(f) est à la fois (structure)
sous espace vectoriel et sous anneau de L(E) contenant l’ensemble K[f] des polynômes en f
groupe des périodes d’une fonction numérique f
c’est l’ensemble regroupant toutes les périodes de f
sous groupe additif de R
T est la periode de F
G groupe des périodes de f
si T est la plus petite période strictement positive de f (lorsqu’elle existe). donc G=TZ
exemple de fonction n’ayant pas de plus petite période
les fonctions constantes
l’indicatrice de Q
la fonction indicatrice de Q
de R dans R
x -> 1 si x appartient à Q
0 si x n’appartient pas à Q
elle admet Q pour groupe de période
soit A une partie de R et a appartenant à A
A est voisinage de
a si :
+8 si
-8 si:
: si il existe E>0 tq ]a-E;a+E[ C A
: si il existe M tq [M,8[ C A
: si il existe M tq ]-8;M] C A
un point c de _R est dit adhérent à une partie A de R si
tout voisinage de c rencontre A. ie c est limite d’une suite de point de A
f tend vers b en a (avec les voisinages)
pt E>0, il existe §>0 tq f(I inter [a-§;a+§]) C [b-E;b+E]
f admet B pour limite en a si et seulement si
pour tout voisinage Vb de b, il existe un voisinage Wa de a tel que f(Wa inter I) soit inclu dans Vb
en francais : on dit que f est continue en a si
f a une limite fini en a
TVI
1) f s’annule
2) y=f(c)
soit f continue sur I, soit a,b de I, tel que f(a)f(b)moins que 0 alors f s’annule entre à et b
si f continue de Ids R et si a<b></b>
image continue d’un segment
si f de [a;b] dans R est continue et a moins que b.
alors l’img f([a;b]) est un segment
liens entre lipschitzien continue et Uniformément continue
lipschitzienne => UC => C
UC => C mais recip est fausse, donner un contre exemple
f: x->x^2 est continue mais si on pose yn=n+1/n et xn=n, yn-xn->0 mais f(yn)-f(xn) ne tend pas vers 0.
exemple de fonction uniformément continue mais pas lipschitzienne
f racine carrée est UC sur [0;1] mais pas lipschitzienne
[ r(1/2)- r(0) ] / (1/2 - 0) -> 8
f est lipschitzienne :
tous ses taux d’acroissement sont bornées
si l’on munit E un R espace vectorielle de sa structure affine alors
ses élément sont vus comme des points via le choix d’une origine
Définition Barycentre
Soit (Ai,ai) une famille de n éléments de EXR, tq som(1,n)ai = a différent de 0
le point B des par _OB=1/a som(1,n)ai_OAi est le barycentre de (Ai,ai)
chaque couple (Ai,ai) est
appelé point pondéré Ai de poids ai.
a est le poids total de la miff.
dans le cas où pt i ai=1
B est l’isobarycentre des (Ai,ai)
avant de parler du barycentre d’une famille pondéré, il faut vérifier que
a différent de 0
propriétés du barycentre (3/5)
- commutativité du barycentre. L’ordre des Ai ne change pas le barycentre
- le barycentre est indépendant de l’origine
- le barycentre est l’unique solution de l’équation d’inconnu M som(1,n)ai_MAi=0
propriété du barycentre (4/5 et 5/5)
- homogénéité du barycentre: si on multiplie tous les poids par un meme réel non nom il, le bary est le meme
- associativité du barycentre : si Bm le barycentre des (Ai,ai) m<i></i>
A est une partie de E convexe si
A contient le segment joignant 2 quelconque de ses éléments
exemple de parties convexes
- une partie de R est convexe ssi c’est un intervalle
- une intersection quelconque de convexes est convexe
- les disques (fermes ou ouvert) du plan
une partie A de E est convexe ssi (caractérisation)
tout barycentre à poids positifs de points de A est encore dans A
enveloppe convexe
soit ♎️ une partie de E. alors il existe une plus petite partie convexe P de E contenant ♎️
♎️C P
P convexe
si ♎️ inclu dans P’ convexe, PCP’
montrer qu’on a un sous espace vectoriel
par exemple F est une partie non vide de E stable par CL
F est une intersection de ss-ev de E
F s’écrit Vect(P) avec P une famille de vecteurs de E
E est un espace vectoriel
on dit que (E,+,.) est un K-ev si
E est un ensemble \+ est une lci interne sur E . une application de KxE ds E (E,+) est un groupe abélien (a+b).U = aU+bV ^ (ab)U=a(bU) a(U+V) = aU+V 1.U=U
moyen de montrer la liberté d’une famille F de vecteurs
pour montrer qu’un scalaire a est nul devant un vecteur u dans une CL nulle de F, on trouve une propriété stable par CL que seul le vecteur u ne vérifie pas dans F
rang d’une application linéaire =
dimension de Imf
lemme préparatoire au theroreme du rang
Soient E et F 2 Kespaces vectoriel. soit phi de L(E,F). alors phi induit un isomorphisme de tout supplémentaire de Ker(phi) dans E vers Im(phi)
demo de l’enveloppe convexe
existence : on def C comme l’intersection de tous les convexes comprenant ♎️
l’enveloppe convexe d’une partie non vide ♎️ de E est
l’ensemble des barycentres de familles finies de points de ♎️ pondérés par des poids positifs
on remarque que si x inf a z et y dans le fermé x,z
y= ax + (1-a)z avec a = z-y/z-x 1-a = y-x/z-x
une application f de I dansR est convexe si
pt a,b de I, pt x de [0,1], f(xa+(1-x)b) inférieur ou égale a xf(a) + (1-x)f(b)
une application est dite concave si
-f est convexe
F1, …, Fn+1 sont en somme direct ssi
F1,…,Fn sont en somme direct et
Fn+1 inter (F1 + … + Fn) = {OE}
F1, … Fn sont des ssev de E. Ils sont en somme direct si phi de F1x…xFn dans E est
Injective
Démarches typiques de preuve de liberté
- en parallèle : les ui jouent un rôle symétrique (utilisation d’évaluation, vecteur propre associé à des valeurs propres distinctes etc..)
- en série : lorsqu’on peut hiérarchiser les ui (ordre de multiplicité, degrés échelonnés, comportement asymptotique ..)
Caractérisation du rang d’une matrice par les matrices extraites inversibles
Le rang d’une matrice est la plus grande taille de ses matrice extraite inversible ie la plus grande taille de ses matrices extraites de déterminant non nul
Tr(A+B)=
Tr A + Tr B
Tr(AB) =
Tr(BA)
DetAB =
DetAdetB
Pour savoir si deux espaces vectoriels sont isomorphe
Comparer leurs dimensions
Dim(ExF) =
Dim L(E,F) =
Dim (E+F)=
Dim E + dim F
Dim E x dim F
Dim E+ dim F -dim EinterF
Theoreme du rang
Soit E et F deux Kev. Phi de E dans F. Alors rg(phi) + dim Ker(phi) = dim E
Isomorphisme en dimension finie
Si E et F de meme dimension. Injectivite = surjectivité = bijectivite
Base d’interpolation de Lagrange.
Soit a0,..,an distinct 2 à 2.
On pose pt i de 0 à n :
Pi= prod (0,n)\i X-aj/ai-aj P0,…,Pn une base de Kn[X]
A propos de la base d’interpellation de Lagrange
Pi(aj) =
Delta ij
Que dire de
Delta: Kn[X] ➡️ K^n+1
P➡️ (P(a0),…,P(an))
Delta est linéaire car les évaluations le sont et est un isomorphisme
si on def une base de K^n+1
On a delta(Pi) = ei
Si le rang de deux matrices est le meme alors
Les matrices sont équivalentes
Si F1 et F2 sont supplémentaire d’un meme sous espace G alors
F1 et F2 sont isomorphe
Polynôme en f
Soit P= som aiX^i
P(f) = som ai f^i
On appelle polynôme en f tout endomorphisme de cette forme
On note K[f] leurs ensemble
Que dire de phi :
K[X] ➡️ L(E)
P ➡️ P(f)
C’est un morphisme d’algèbre dont l’image K[f] est également une algebre
Qu’est ce que le dual de E
C’est l’ensemble des formes linéaires sur E
Lorsque E est de dimension finie, que dire de E et de son dual
Ils sont isomorphe
H est un hyperplan si H vérifie ces deux propriétés équivalentes
H est le noyau d’une forme linéaire non nulle
H est de codimension 1
Si ABC trois ensemble
An(BuC) =
Si c’est 3 ssev
An(B+C)
= AnB u AnC
Différent de AnB + AnC
Soit u un endomorphisme nilpotent de E. Que dite de phi qui a v associe uv - vu ?
C’est un endomorphisme nilpotent
Soit u un endomorphisme nilpotent de E. Que dite de phi qui a v associe uv - vu ?
C’est un endomorphisme nilpotent
Comment montrer que pour les matrices de rang 1 A²=tr(A)A
On montre que A est de rg 1 ssi A=X(tY) avec X et Y de Mn,1(R) puis A²=X(tY)X(tY) = X(tYX)(tY) or (tY)X matrice de taille 1 = trA donc A²=tr(A)A
Exemple : bijection strictement monotone de réciproque non strictement monotone
On considère l’ensemble E des applications continues de R dans R et F l’ensemble des applications de C1 sur R, nulles en 0.
Phi qui a u de E associe la fonction v qui a x associe integrale(0,x)u(t)dt est une bijection st croissante de bij non strictement croissante.
Structure des sous groupes additifs réels
Soit G un sous groupe de R additif et non réduit a 0. SOit a la borne inf de GinterR+*, on montre que si a=0, G est dense dans R et si a sup str 0, alors G=aZ
Notion d’endomorphisme induit
Il faut comprendre que la notion d’endomorphisme induit n’a de sens que lorsque qu’on a un sous espace stable. Il sera donc intéressant de considéré matriciellement un endomorphisme de L(E) dans une base adapté a sa décomposition sur ses sous espaces stables F1,…,Fk, (en somme directe et de somme E). L’idéal étant que les Fi soient des droites vectorielles, pour ainsi disposer d’une base de diagonalisation.
Remarque sur le lemme préparatoire au théorème du rang
Il reste vrai en dim infinie
Caractérisation de la somme direct par les dimensions
Soit F1,…,Fn des sous espaces vectoriels de E de dim finie. Les Fi sont en somme direct ssi dim(F1+…+dim(Fn)=som(1,n)dim(Fi)
On le montre en considérant l’application phi de F1x…xFn dans F1+…+Fn
Proposition - Inverse unilatéral d’un endomorphisme en dimension finie
Soit u de L(E) ou E est de dim finie. On suppose qu’il existe v de L(E) (resp w de L(E)) tq vou=idE (resp uow=idE) alors u appartient a GL(E) et v (resp w) est la bijection réciproque de u
Interpolation de Lagrange c quooi
Le probleme est le suivant. On a f de I un intervalle de R d’au moins 2 points. Et a0,…,an, n+1 points de I. On cherche un polynome de degré au moins n tel que pour tout i de [|0,n|], P(ai)=f(ai) ie un polynome qui interpole f aux ai.
Autrement dit, on cherche un antécédent du n+1-uplet (f(a0),…,f(an)) par l’application phi qui a P de Kn[X] associe (P(a0),..,P(an)) de K^n+1
Or phi est un isomorphisme d’espace vectoriel, par conséquent le polynôme P est unique. c’est phi-1(f(a0),…,f(an)).
Si on note (e0,…en) la base canonique de K^n+1 alors on put écrire P=som(0,n)f(ai)phi-1(ei). Or pt i de [|0,n|], Pi=phi-1(ei) de sorte que P=som(0,n)f(ai)Pi. La famille P0,…,Pn est appelée base d’interpolation de Lagrange. Associé au n+1-uplet (a0,…an). C’est une base de Kn[X]
Que dire de P(A) avec P un polynôme ayant 0 pour racine, si A est nilpotente
On a P(A) nilpotent
Définition - Base dual
On appelle formes linéaires coordonnées (phi1,…,phin) associées a B les formes linéaires sur E données par :
pt i,j de [|1,n|], phij(ei)=delta ij ainsi les formes linéaires coordonnées constituent une base B* de E* le dual de E. On note souvent ei*=phii pt i de [|1,n|]
Formes linéaires coordonnées
Dans ce contexte, on a pour tout x de E:
x = som(1,n)ei(x)ei. Autrement dit, pour tout x de E et tout i de [|1,n|], ei(x) n’est rien d’autre que la i-ème coordonnée xi de x dans la base B. D’où le terme de forme linéaire coordonnées. Parler de la forme lineaire coordonnee f1* selon un vecteur non nul f1 n’a pas de
sens, car il depend des autres vecteurs de la base (f1,… fn).
Equation d’hyperplan
Soit phi une forme linéaire non nul sur E et soit H son noyan. Soit (e1,…,en) la base dual de E. Donc il existe @1,…@n de scalaires tq phi=som(1,n)@iei* et on a donc H={x de E tq som(1,n)@iei*(x)=0} = {x de E tq som(1,n)@ixi=0} et on dit que som(1,n)@ixi=0 constitue une équation de l’hyperplan H.
