Intégrale Generalisé 🐬🍒 Flashcards
La convergence de l’intégrale ([a,b[) f ne dépends que
du comportement de f au voisinage de b
Intégrale faussement impropre
f de prolonge en une fonction continue par mx sur [a,b] et du coup converge
Def nature d’une intégrale impropre
F continue par mx sur [a,b[ l’intégrale de a à b de f est dite convergente si la fonction x -) intégrale (a,x) f a une limite finie en b. Sinon cette intégrale est divergente
Si intégrale R+ f converge et f tend vers l alors
l=0
Il se met que intégrale R+ f converge sans que f tende vers 0 : exemple
f(t) = cos (1 + 1/t)
Intégrale impropre sur un intervalle ouvert ]a,b[
Soit c de ]a,b[
intégrale (a,b) f est convergente si les intégrales (a,c) et intégrale (c,b) convergent
Soit a de R et f: t associe 1/t^a
Intégrale [1,8[ f converge ssi
a>1 et le cas échéant l’intégrale = 1/(a-1)
Soit a de R et f: t associe 1/t^a
Intégrale ]0,1] f converge ssi
a moins que 1 et le cas échéant l’intégrale vaut 1/(1-a)
Soit a de R et f: t associe 1/t^a
Intégrale R+* f
Est tjrs divergente
♎️ l’ensemble des fonctions continues par mx sur I a valeurs dans K dont l’intégrale converge
Structure
Que dire de Phi : f associe intégrale f
♎️ K-ev
Phi est lineaire (linéarité de l’intégrale)
Caractérisation de la convergence dans le cas positif
Si f est positive sur I, l’intégrale [a,b] f converge ssi x associe intégrale (a,x) f est majorée
Soit f et g deux fonctions continues par mx de I dans R.
On suppose que 0 inf f inf g
Si If diverge alors Ig diverge
Si Ig converge alors If converge
Def fonction continue par mx sur un segment [a,b]
Il existe une subdivision sigma de l’intervalle tq a=a0 inf a1 inf .. inf an = b et pt i de 1 à n f continue sur l’ouvert ai, ai+1 et admet limite finie à droite de ai et à gauche de ai+1
Pte fonction continue par mx
Elles sont bornées
Propriété de l’intégrale
Linéarité Homogénéité Relation de Chasles Positivité |integrale (a,b) f| inf égale integrale (a,b) |f|
Positivité de l’intégrale
Si f supérieur ou égale a 0, alors l’intégrale est positive
Somme de Riemann
Soit f continue par mx sur a,b, on prend une subdivision de a,b régulière, par ex ak= a + k(b-a)/n et alors
Integrale (a,b) f = lim,n,8 Rn avec
Rn = (b-a)/n som(1,n) f(a+k(b-a)/n)
f se prolonge par continuité en b veut dire
f a une limite finie en b
Fonction intégrable
On dit que f est intégrable sur [a,b[, ou que l’intégrale (a,b) f est absolument convergente si intégrale (a,b) |f| converge
Lien entre intégrabilité et integrale convergente
Si f intégrable sur [a,b[ alors integrale (a,b) f converge
Intégrabilité et relation de comparaison
Pour f et g deux fonctions réelles continues par morceaux sur [a,b[
Si f=Og qd x tend vers b : l’intégrabilité de g implique celle de f
Si f~g qd c tend vers b, l’integrabilite de g équivaut à celle de f
f~g quand x tend vers b veut dire
Il existe phi de I dans K de limite 1 tq
f=phi g au voisinage de b
Comment on montre que l’intégrale sur R+ de t^7exp (-t) converge absolument ?
On montre que f est un petit taux de 1/t^2 en montrant que t^9exp(-t) tend vers 0 en l’infinie et on sait que 1/t^2 converge mon gars
Si une intégrale est convergente mais non absolue convergente alors elle est
Elle est semi-convergente
Exemple d’intégrale semi-convergente :
Integrale (0,8) sin(t)/t
Integrale de Dirichlet
L’ensemble des fonctions intégrables de I dans K est
Structure
Un KeV
Quel changement de variable pour avoir une intégrale de a à b en 0 à 1 ?
On pose x= a + t(b-a)
Quel changement de variable pour passer les bornes de l’intégrale de a à b a -1,1 ?
x= (a+b)/2 + t(b-a)/2
Inégalité des accroissements finis
Soit f une application de C1 sur [a,b] et M un réel positif tq pour tout t de [a,b] ||f’(t)|| inf M alors || f(b) - f(a)|| inf M(b-a)
Si f(x) = intégrale (x,2x) dt/ln t Domaine de définition de f ?
La fonction t-) 1/lnt est def sur ]0;1[U]1;+8[ donc il est nécessaire et suffisant pour que f existe, que [x,2x] inclu dans ]0;1[U]1;+8[
Fonction Gamma d’Euler
T(x) = intégrale R+* exp (-t) t^(x-1) dt
Particularité fonction Gamma d’Euler
Elle est convergente pour tous x
Qu’est ce qu’on peut dire sur l’intégrale de f sur [a,b[ si la limite de f n’existe pas en b finie ?
Rien.
Intégrale ]0;1] sin(1/t)dt converge mais
Intégrale ]0;1] sin(1/t)/t^2dt diverge
Qu’est ce qu’on peut dire sur l’intégrale de f sur [a,b[ si la limite de f n’existe pas en b avec b infinie ?
Rien
Intégrale[1;8[ Cos (x^2)dx converge mais intégrale [1;+8[ cos(x)dx diverge
Qu’est ce qu’on peut dire sur l’intégrale de f sur [a,b[ si la limite de f est infinie en b avec b infinie ?
Intégrale ne converge pas, divergence grossière
Dans le cas intégrale faussement impropre (limite finie en un réel b) au voisinage de b on a f(t) =
f(t)=Ob(1)
Et l’intégrale de 1 converge donc on a celle de f
Théorème de l’intégration par partie
On considère deux fonctions f et g de C1 sur ]a,b[ et on suppose que fg admet des limites finies en a et en b et on pose
[fg] a,b = limb fg - lima fg
Les deux integrale fg’ et fg’ one alors même nature et en ças de convergence : la relation qu’on connaît
Changement de variable
Étant donné une fonction f continue sur ]a,b[ et phi: ]alpha,bêta[ dans ]a,b[ bijective st croissante et de C1, les intégrales a,b f(t)dt et integrale alpha bêta f(phi(u))phi’(u)du sont de même nature et égales en cas de convergence
Théorème d’intégration des relations de comparaisons, cas de la convergence
On suppose g positive et integrale a,b g(t)dt convergente
Si f=ob(g) alors integrale (a,b) f est AC et
integrale (x,b) f = ob integrale (x,b) g
Idem pour ~ et pour Ob
Theoreme d’intégration des relations de comparaisons, cas de la divergence
g est positive et integrale a,b g(t) dt diverge
Si f=obg alors , integrale (a,x) f(t)dt = ob (integrale (a,x) g) p
Exemple d’intégrale qui converge alors que f ne tend pas vers 0
f(n) = 1
f(x)= 0 autour des n-1/2^n et n+1/2^n
f est affine sur [n-1/2^n, n+1/2^n]
F
f convergé essentiellement par convergence de 1/2^n
Soit Oméga l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I a valeurs dans K dont l’intégrale converge
Soit f appartenant a Oméga Inter C([a,b[,K). Que dire de G qui a x associe intégrale(x,b)f ?
Elle est dérivable sur [a,b[, de dérivée -f et de limite nulle en b.
Intégrabilité et relation de comparaison au programme.
La plus part des théorèmes de cours s’applique a des fonctions positives, il est donc recommandé de travailler avec la notion d’intégrabilité, celle ci impliquant la convergence de l’intégrale. On ne parlera donc de convergence de l’intégrale que dans la conclusion.
D’une manière générale, les résultats du cours sur les relations de comparaison permettent de prouver une intégrabilité, c’est-à-dire une absolue convergence, dont on peut certes déduire la convergence.
C’est pourquoi pour éviter toute ambiguté, il est conseillé, dans votre rédaction, de
ne parler que d’absolue convergence (ou d’intégrabilité), sauf en conclusion si vous devez établir la convergence.
