Intégrale Generalisé 🐬🍒

Question 1

La convergence de l’intégrale ([a,b[) f ne dépends que

Answer 1

du comportement de f au voisinage de b

Question 2

Intégrale faussement impropre

Answer 2

f de prolonge en une fonction continue par mx sur [a,b] et du coup converge

Question 3

Def nature d’une intégrale impropre

Answer 3

F continue par mx sur [a,b[ l’intégrale de a à b de f est dite convergente si la fonction x -) intégrale (a,x) f a une limite finie en b. Sinon cette intégrale est divergente

Question 4

Si intégrale R+ f converge et f tend vers l alors

Answer 4

l=0

Question 5

Il se met que intégrale R+ f converge sans que f tende vers 0 : exemple

Answer 5

f(t) = cos (1 + 1/t)

Question 6

Intégrale impropre sur un intervalle ouvert ]a,b[

Answer 6

Soit c de ]a,b[

intégrale (a,b) f est convergente si les intégrales (a,c) et intégrale (c,b) convergent

Question 7

Soit a de R et f: t associe 1/t^a

Intégrale [1,8[ f converge ssi

Answer 7

a>1 et le cas échéant l’intégrale = 1/(a-1)

Question 8

Soit a de R et f: t associe 1/t^a

Intégrale ]0,1] f converge ssi

Answer 8

a moins que 1 et le cas échéant l’intégrale vaut 1/(1-a)

Question 9

Soit a de R et f: t associe 1/t^a

Intégrale R+* f

Answer 9

Est tjrs divergente

Question 10

♎️ l’ensemble des fonctions continues par mx sur I a valeurs dans K dont l’intégrale converge

Structure
Que dire de Phi : f associe intégrale f

Answer 10

♎️ K-ev

Phi est lineaire (linéarité de l’intégrale)

Question 11

Caractérisation de la convergence dans le cas positif

Answer 11

Si f est positive sur I, l’intégrale [a,b] f converge ssi x associe intégrale (a,x) f est majorée

Question 12

Soit f et g deux fonctions continues par mx de I dans R.

On suppose que 0 inf f inf g

Answer 12

Si If diverge alors Ig diverge

Si Ig converge alors If converge

Question 13

Def fonction continue par mx sur un segment [a,b]

Answer 13

Il existe une subdivision sigma de l’intervalle tq a=a0 inf a1 inf .. inf an = b et pt i de 1 à n f continue sur l’ouvert ai, ai+1 et admet limite finie à droite de ai et à gauche de ai+1

Question 14

Pte fonction continue par mx

Answer 14

Elles sont bornées

Question 15

Propriété de l’intégrale

Answer 15

Linéarité 
Homogénéité 
Relation de Chasles 
Positivité 
|integrale (a,b) f| inf égale 
integrale (a,b) |f|

Question 16

Positivité de l’intégrale

Answer 16

Si f supérieur ou égale a 0, alors l’intégrale est positive

Question 17

Somme de Riemann

Answer 17

Soit f continue par mx sur a,b, on prend une subdivision de a,b régulière, par ex ak= a + k(b-a)/n et alors
Integrale (a,b) f = lim,n,8 Rn avec
Rn = (b-a)/n som(1,n) f(a+k(b-a)/n)

Question 18

f se prolonge par continuité en b veut dire

Answer 18

f a une limite finie en b

Question 19

Fonction intégrable

Answer 19

On dit que f est intégrable sur [a,b[, ou que l’intégrale (a,b) f est absolument convergente si intégrale (a,b) |f| converge

Question 20

Lien entre intégrabilité et integrale convergente

Answer 20

Si f intégrable sur [a,b[ alors integrale (a,b) f converge

Question 21

Intégrabilité et relation de comparaison

Answer 21

Pour f et g deux fonctions réelles continues par morceaux sur [a,b[
Si f=Og qd x tend vers b : l’intégrabilité de g implique celle de f
Si f~g qd c tend vers b, l’integrabilite de g équivaut à celle de f

Question 22

f~g quand x tend vers b veut dire

Answer 22

Il existe phi de I dans K de limite 1 tq

f=phi g au voisinage de b

Question 23

Comment on montre que l’intégrale sur R+ de t^7exp (-t) converge absolument ?

Answer 23

On montre que f est un petit taux de 1/t^2 en montrant que t^9exp(-t) tend vers 0 en l’infinie et on sait que 1/t^2 converge mon gars

Question 24

Si une intégrale est convergente mais non absolue convergente alors elle est

Answer 24

Elle est semi-convergente

Question 25

Exemple d’intégrale semi-convergente :

Answer 25

Integrale (0,8) sin(t)/t

Integrale de Dirichlet

Question 26

L’ensemble des fonctions intégrables de I dans K est

Structure

Answer 26

Un KeV

Question 27

Quel changement de variable pour avoir une intégrale de a à b en 0 à 1 ?

Answer 27

On pose x= a + t(b-a)

Question 28

Quel changement de variable pour passer les bornes de l’intégrale de a à b a -1,1 ?

Answer 28

x= (a+b)/2 + t(b-a)/2

Question 29

Inégalité des accroissements finis

Answer 29

Soit f une application de C1 sur [a,b] et M un réel positif tq pour tout t de [a,b] ||f’(t)|| inf M alors || f(b) - f(a)|| inf M(b-a)

Question 30

Si f(x) = intégrale (x,2x) dt/ln t 
Domaine de définition de f ?

Answer 30

La fonction t-) 1/lnt est def sur ]0;1[U]1;+8[ donc il est nécessaire et suffisant pour que f existe, que [x,2x] inclu dans ]0;1[U]1;+8[

Question 31

Fonction Gamma d’Euler

Answer 31

T(x) = intégrale R+* exp (-t) t^(x-1) dt

Question 32

Particularité fonction Gamma d’Euler

Answer 32

Elle est convergente pour tous x

Question 33

Qu’est ce qu’on peut dire sur l’intégrale de f sur [a,b[ si la limite de f n’existe pas en b finie ?

Answer 33

Rien.
Intégrale ]0;1] sin(1/t)dt converge mais
Intégrale ]0;1] sin(1/t)/t^2dt diverge

Question 34

Qu’est ce qu’on peut dire sur l’intégrale de f sur [a,b[ si la limite de f n’existe pas en b avec b infinie ?

Answer 34

Rien

Intégrale[1;8[ Cos (x^2)dx converge mais intégrale [1;+8[ cos(x)dx diverge

Question 35

Qu’est ce qu’on peut dire sur l’intégrale de f sur [a,b[ si la limite de f est infinie en b avec b infinie ?

Answer 35

Intégrale ne converge pas, divergence grossière

Question 36

Dans le cas intégrale faussement impropre (limite finie en un réel b) au voisinage de b on a f(t) =

Answer 36

f(t)=Ob(1)

Et l’intégrale de 1 converge donc on a celle de f

Question 37

Théorème de l’intégration par partie

Answer 37

On considère deux fonctions f et g de C1 sur ]a,b[ et on suppose que fg admet des limites finies en a et en b et on pose

[fg] a,b = limb fg - lima fg

Les deux integrale fg’ et fg’ one alors même nature et en ças de convergence : la relation qu’on connaît

Question 38

Changement de variable

Answer 38

Étant donné une fonction f continue sur ]a,b[ et phi: ]alpha,bêta[ dans ]a,b[ bijective st croissante et de C1, les intégrales a,b f(t)dt et integrale alpha bêta f(phi(u))phi’(u)du sont de même nature et égales en cas de convergence

Question 39

Théorème d’intégration des relations de comparaisons, cas de la convergence

Answer 39

On suppose g positive et integrale a,b g(t)dt convergente

Si f=ob(g) alors integrale (a,b) f est AC et
integrale (x,b) f = ob integrale (x,b) g

Idem pour ~ et pour Ob

Question 40

Theoreme d’intégration des relations de comparaisons, cas de la divergence

Answer 40

g est positive et integrale a,b g(t) dt diverge

Si f=obg alors , integrale (a,x) f(t)dt = ob (integrale (a,x) g) p

Question 41

Exemple d’intégrale qui converge alors que f ne tend pas vers 0

Answer 41

f(n) = 1
f(x)= 0 autour des n-1/2^n et n+1/2^n
f est affine sur [n-1/2^n, n+1/2^n]

F
f convergé essentiellement par convergence de 1/2^n

Question 42

Soit Oméga l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur I a valeurs dans K dont l’intégrale converge
Soit f appartenant a Oméga Inter C([a,b[,K). Que dire de G qui a x associe intégrale(x,b)f ?

Answer 42

Elle est dérivable sur [a,b[, de dérivée -f et de limite nulle en b.

Question 43

Intégrabilité et relation de comparaison au programme.

Answer 43

La plus part des théorèmes de cours s’applique a des fonctions positives, il est donc recommandé de travailler avec la notion d’intégrabilité, celle ci impliquant la convergence de l’intégrale. On ne parlera donc de convergence de l’intégrale que dans la conclusion.
D’une manière générale, les résultats du cours sur les relations de comparaison permettent de prouver une intégrabilité, c’est-à-dire une absolue convergence, dont on peut certes déduire la convergence.
C’est pourquoi pour éviter toute ambiguté, il est conseillé, dans votre rédaction, de
ne parler que d’absolue convergence (ou d’intégrabilité), sauf en conclusion si vous devez établir la convergence.