Anneaux, Corps, Algebres Flashcards
La distributivite de la multiplicatio revient a dire que :
Pour tout a de A, les applications x-) ax et x-) xa sont des endomorphismes du groupe (A,+)
Propriétés calculatoires dans un anneau
a,b,c de A. m de N
- 0a=a0=0 (0A est absorbant)
- (-a)b=a(-b)=-(ab)
- (-a)(-b)=ab
- (a-c)b=ab-cb
- b(a-c)=ba-bc
- a(mb)=(ma)b=m(ba)
Anneau nul
Si 1A=0A l’anneau est nul
Exemples basiques d’anneaux commutatifs
Z, R, C, Q pour + et X
Si (A,+,X) est un anneau et X un ensemble non vite
Alors A^X = F(X,A) muni des lois induites de A est un anneau, d’element nulle l’application nulle, d’element unité l’application constante egale a 1.
Si A et B sont des anneaux ?
On peut definir un anneau produit (en particulier (R^n ,+,X) est un anneau )
Etat donné un groupe (G,+) que dite de End(G) les endomorphismes de G
(End(G),+,o) est un anneau
Si E est un KeV, que dire de L(E)
L(E) est un anneau
L’ensemble des Matrices
(Mn(K),+,X) est un anneau non commutatif
Distributivité du produit par rapport au symbole sommatoire
Lorsque b (sigma ai) = sigma (ba)
Idem a droite
(a et b dans A)
Formule de Bernouilli
Soit a et b de A. ON SUPPOSE que a et b commutent.
a^n-b^n= (a-b) som(0,n-1) a^n-1-k b^k = som(0,n-1) a^n-1-k b^k (a-b)
Definition d’un Anneaux
On appelle anneau un ensemble A mumi de deux lois de composition internes + et X telles que:
- (A,+) est un groupe abélien. L’element neutre pour + est noté 0 et appelé elt nul
- X est associative
- A admet neutre pour X appelé element unité noté 1
- X est distributive par rapport a +
Elements inversibles d’un anneau
Soit A un anneau non nul, on note A^x ou (A*) l’ensemble des elts inversibles de A
Les inversibles forment un groupe
Soit A anneau non nul, l’ensemble A^x est un groupe pour X
Les elements inversibles de C, R, Q, Z, K[X]
C*= C\{0}
Q*=Q\{0}
R*=R\{0}
Z*={-1,1}
K[X]*= P tq deg P =0Que dire de End(G)
(End(G),+,o) est un anneau et End(G) est l’ensemble des endomorphismes de G
Rq: Aut(G) est un groupe pour X
Exemple de groupe multiplicatif chez les matrices
Gln(R)
Equivalence a propos des diviseurs de 0 dans un anneau
Un element non nul a de A est un diviseur de 0 ssi il est non simplifiable
Exemple de diviseur de 0
Dans A² si A different de 0
Definition Anneau integre
Un anneau est integre si il est commutatif et si il n’a pas de diviseurs de 0
Exemple anneau integre
R, C, Q, Z mais pas A²
Mn(k) est integre ssi n=1
Definition Sous-Anneau
On dit que B est un sous anneau de A si :
- 0A et 1A appartiennent a B
- B est stable pour +
- B est stable pour X
- Muni des lois induites, (B,+,X) possede une structure d’anneau
(On peut enlever 0A car elle se deduit des autres)
Exemple de partie non vide de A(non nul) verifiant les conditions de la structure de sous anneau sauf la condition sur 1A
La matrice M=
0 0
0 a
avec a dans z
Caracterisation des sous-anneaux
B est un sous anneau de A ssi
- 1A appartient a B
- pt a,b de B, a-b appartient a B
- pt a,b de B, ab appartient a B
Que dire de la relation “etre un sous anneau de”
C’est une relation d’ordre
Intersection de sous anneaux ?
Une intersection de sous anneaux en est un
Morphisme d’anneau definition
Soit f de A dans B. On dit que f est un morphisme d’anneau si :
- f(0A)=0B et f(1A)=1B
- pt a,b de A: f(a+b)=f(a)+f(b)
- pt a,b de A: f(ab)=f(a)f(b)
f(0A)=0B se deduit des autres
A propos des morphismes d’anneau
Si a inversible, f(a) l’est
f(a^n)=f(a)^n
L’image direct ou reciproque d’un sous anneau en est un
Un morphisme d’anneau est en particulier un morphisme de groupe(additif) en particulier f injectif ssi kerf={OA}
Definition Corps
Soir K un ensemble muni de deux lois + et X. On dit que (K,+,X) est est corps si (K,+,X) est un anneau commutatif non nul, dans lequel tout element non nul est inversible
Corps:
Un corps n’est rien d’autre qu’un anneau commutatif dont les elements non nuls forment un groupe multiplicatif
Tout corps est un anneau integre (recip fausse: Z)
Exemple de corps
- R, C, Q
- pour tout p premier, Z/pZ est un corps
- le produit cartesien de 2 corps n’est pas un corps
Definition sous corps
Une partie L d’un corps (K,+,X) est appelé sous corps de K si L est un sous anneau de K qui, muni des lois induites, est un corps. On dit que K est un surcorps de L
Caracterisation des sous-corps
L est un sous-corps de (K,+,X) ssi
- 1K appartient a L
- pt x,y de L, x-y appartient a L
- pt x,y de (L{0K}), xy^-1 appartient a L
Definition morphisme de corps
Soient (K,+,x) et (L,+,x) deux corps. Soit f de K dans L. F est un morphisme du corps K vers le corps L si f est un morphisme de l’anneau K vers l’anneau L
(Si f non nul, Pt a,b de K, f(a+b)=f(a) +f(b) et f(ab)=f(a)f(b) ) pas bsn de 1K
Definition Ideal d’un anneau commutatif
On dit qu’une partie I de A est un ideal si :
- I est un sous groupe de (A,+)
- pt a,x de AxI, ax appartient a I
Quel est le seul ideal de A possedant 1A
A car si I possede 1a alors A=I
Ideal engendré par un element
Rq
Soit a de A, l’ensemble aA= (ax, x appartenant a A) est un ideal appelé ideal engendré par a
On a aA = A ssi a est inversible
Definition ideal pricipal, anneau principal
Un ideal I de A est dit principal s’il est engendré par un element ie il existe a de A tq I=aA
L’anneau commutatif A est dit principal si tous ses ideaux sont principaux
Exemple d’anneau principal
Z car les sous groupes de Z sont les nZ et pt x de Z xnZ appartient a nZ
