Anneaux, Corps, Algebres Flashcards
La distributivite de la multiplicatio revient a dire que :
Pour tout a de A, les applications x-) ax et x-) xa sont des endomorphismes du groupe (A,+)
Propriétés calculatoires dans un anneau
a,b,c de A. m de N
- 0a=a0=0 (0A est absorbant)
- (-a)b=a(-b)=-(ab)
- (-a)(-b)=ab
- (a-c)b=ab-cb
- b(a-c)=ba-bc
- a(mb)=(ma)b=m(ba)
Anneau nul
Si 1A=0A l’anneau est nul
Exemples basiques d’anneaux commutatifs
Z, R, C, Q pour + et X
Si (A,+,X) est un anneau et X un ensemble non vite
Alors A^X = F(X,A) muni des lois induites de A est un anneau, d’element nulle l’application nulle, d’element unité l’application constante egale a 1.
Si A et B sont des anneaux ?
On peut definir un anneau produit (en particulier (R^n ,+,X) est un anneau )
Etat donné un groupe (G,+) que dite de End(G) les endomorphismes de G
(End(G),+,o) est un anneau
Si E est un KeV, que dire de L(E)
L(E) est un anneau
L’ensemble des Matrices
(Mn(K),+,X) est un anneau non commutatif
Distributivité du produit par rapport au symbole sommatoire
Lorsque b (sigma ai) = sigma (ba)
Idem a droite
(a et b dans A)
Formule de Bernouilli
Soit a et b de A. ON SUPPOSE que a et b commutent.
a^n-b^n= (a-b) som(0,n-1) a^n-1-k b^k = som(0,n-1) a^n-1-k b^k (a-b)
Definition d’un Anneaux
On appelle anneau un ensemble A mumi de deux lois de composition internes + et X telles que:
- (A,+) est un groupe abélien. L’element neutre pour + est noté 0 et appelé elt nul
- X est associative
- A admet neutre pour X appelé element unité noté 1
- X est distributive par rapport a +
Elements inversibles d’un anneau
Soit A un anneau non nul, on note A^x ou (A*) l’ensemble des elts inversibles de A
Les inversibles forment un groupe
Soit A anneau non nul, l’ensemble A^x est un groupe pour X
Les elements inversibles de C, R, Q, Z, K[X]
C*= C\{0}
Q*=Q\{0}
R*=R\{0}
Z*={-1,1}
K[X]*= P tq deg P =0Que dire de End(G)
(End(G),+,o) est un anneau et End(G) est l’ensemble des endomorphismes de G
Rq: Aut(G) est un groupe pour X
Exemple de groupe multiplicatif chez les matrices
Gln(R)
Equivalence a propos des diviseurs de 0 dans un anneau
Un element non nul a de A est un diviseur de 0 ssi il est non simplifiable
Exemple de diviseur de 0
Dans A² si A different de 0
Definition Anneau integre
Un anneau est integre si il est commutatif et si il n’a pas de diviseurs de 0
Exemple anneau integre
R, C, Q, Z mais pas A²
Mn(k) est integre ssi n=1
Definition Sous-Anneau
On dit que B est un sous anneau de A si :
- 0A et 1A appartiennent a B
- B est stable pour +
- B est stable pour X
- Muni des lois induites, (B,+,X) possede une structure d’anneau
(On peut enlever 0A car elle se deduit des autres)
Exemple de partie non vide de A(non nul) verifiant les conditions de la structure de sous anneau sauf la condition sur 1A
La matrice M=
0 0
0 a
avec a dans z
Caracterisation des sous-anneaux
B est un sous anneau de A ssi
- 1A appartient a B
- pt a,b de B, a-b appartient a B
- pt a,b de B, ab appartient a B
Que dire de la relation “etre un sous anneau de”
C’est une relation d’ordre
Intersection de sous anneaux ?
Une intersection de sous anneaux en est un
Morphisme d’anneau definition
Soit f de A dans B. On dit que f est un morphisme d’anneau si :
- f(0A)=0B et f(1A)=1B
- pt a,b de A: f(a+b)=f(a)+f(b)
- pt a,b de A: f(ab)=f(a)f(b)
f(0A)=0B se deduit des autres
A propos des morphismes d’anneau
Si a inversible, f(a) l’est
f(a^n)=f(a)^n
L’image direct ou reciproque d’un sous anneau en est un
Un morphisme d’anneau est en particulier un morphisme de groupe(additif) en particulier f injectif ssi kerf={OA}
Definition Corps
Soir K un ensemble muni de deux lois + et X. On dit que (K,+,X) est est corps si (K,+,X) est un anneau commutatif non nul, dans lequel tout element non nul est inversible
Corps:
Un corps n’est rien d’autre qu’un anneau commutatif dont les elements non nuls forment un groupe multiplicatif
Tout corps est un anneau integre (recip fausse: Z)
Exemple de corps
- R, C, Q
- pour tout p premier, Z/pZ est un corps
- le produit cartesien de 2 corps n’est pas un corps
Definition sous corps
Une partie L d’un corps (K,+,X) est appelé sous corps de K si L est un sous anneau de K qui, muni des lois induites, est un corps. On dit que K est un surcorps de L
Caracterisation des sous-corps
L est un sous-corps de (K,+,X) ssi
- 1K appartient a L
- pt x,y de L, x-y appartient a L
- pt x,y de (L{0K}), xy^-1 appartient a L
Definition morphisme de corps
Soient (K,+,x) et (L,+,x) deux corps. Soit f de K dans L. F est un morphisme du corps K vers le corps L si f est un morphisme de l’anneau K vers l’anneau L
(Si f non nul, Pt a,b de K, f(a+b)=f(a) +f(b) et f(ab)=f(a)f(b) ) pas bsn de 1K
Definition Ideal d’un anneau commutatif
On dit qu’une partie I de A est un ideal si :
- I est un sous groupe de (A,+)
- pt a,x de AxI, ax appartient a I
Quel est le seul ideal de A possedant 1A
A car si I possede 1a alors A=I
Ideal engendré par un element
Rq
Soit a de A, l’ensemble aA= (ax, x appartenant a A) est un ideal appelé ideal engendré par a
On a aA = A ssi a est inversible
Definition ideal pricipal, anneau principal
Un ideal I de A est dit principal s’il est engendré par un element ie il existe a de A tq I=aA
L’anneau commutatif A est dit principal si tous ses ideaux sont principaux
Exemple d’anneau principal
Z car les sous groupes de Z sont les nZ et pt x de Z xnZ appartient a nZ
Intersections et somme fini d’ideaux
Rq
Ce sont encore des ideaux de A (en revanche une somme de sous anneaux de A n’est pas en general un sous anneau de )
Le noyau d’un morphisme d’anneau est un ideal
Rq
Soit phi: A-) B un morphisme d’anneau.
Ker(phi) est un ideal de A.
Ker(phi) n’est jamais un sous-anneau
Exemple ideau d’un corps
Les seuls ideaux d’un corp sont {0K} et K lui meme. Reciproquement un anneau (commutatif non nul) A qui n’a pour ideaux que {1A} et A est un corps. (Si aA est un ideal, aA = A donc a inversible)
Definition relation de divisibilité dans un anneau commutatif integre
Soit a,b de A. On dit que b divise a si il existe x de A tel que a=bx
Interpretation de la divisibilité en terme d’ideaux
Le fait aue b divise a peut se traduir par l’inclusion aA C bB
Definition elements associés
Rq
Deux elements a et b de A sont dit associés si il existe un element inversible x de A tel que a=bx
Cela def une relation d’equivalence sur A
Lemme pour definir la multiplication dans un anneau de congruence
Soit a, b, a’, b’ de Z. n de N*. On suppose que a🎼a’[n] et b🎼b’[n] alors ab🎼a’b’[n]
Definition: anneau de congruence modulo n
Et notation pour la classe de k.
La multiplication dans Z passe au quotien modulo n. Et Z/nZ muni de l’addition et de la multiplication est un anneau commutatif. Soit k de Z. On notera _kn sa classe dans Z/nZ ou _k si il n’y a pas d’ambiguité.
Inversibles de l’anneau de congruence modulo n
Soit k de Z. _k la classe de k dans Z/nZ est inversible ssi k^n=1
Caracterisation de la structure de corps sur les anneaux de congruence
L’anneau Z/nZ est un corps ssi n est premier
Lemme pour le theoreme des restes chinois
On def une application f de Z/mnZ sur Z/nZ en posant f(_kmn) = _kn pour tout k de Z et il s’agit d’un morphisme d’anneau.
(Il faut montrer en plus du reste que le representant choisit de la classe de k n’a pas d’influence. )
Theoreme des restes chinois
Que se passe t-il si m et ne sont pas premiers
On suppose m et n premiers. Soit phi : Z/mnZ dans Z/mZ X Z/nZ ou phi(_kmn) renvoit (_km,_kn) est isomorphisme d’anneaux
(Si m et n pas premier, on a tjrs un morphisme d’anneaux mais pas bijectif)
Definition - Indicatrice d’Euler
Pour tout n de N* on pose
Phi(n) = card { k€[1,n-1] tq k^n=1} soit le nombre de nombres premier avec n entre 1 et n-1
Proposition - L’indicatrice d’Euler est multiplicative
Si m et n sont premiers entre eux phi(mn)=phi(m)phi(n)
Calcul de l’indicatrice d’Euler
soit n superieur a 2: n=prod(1,k) pi^ri la decomposition en facteurs premiers de n.
Phi(n) =prod(1,k)(pi-1)pi^(ri-1) = nprod(1,k)(1-1/pi)
Theoreme d’Euler la grosse baltringue
Soit a de Z tq a^n= 1
On a a^(phi(n)) 🎼1[n]
Theoreme d’Euler utilsé pour retrouver le petit theoreme de Fermat:
Si n=p est supposé premier on a
Pour tout a de Z: a^p 🎼a[p]
Que dire a propos de la nilpotence et de l’inversibilité
Si x d’un anneau est nilpotent alors 1A-x est inversible (on le montre avec la formule de Bernouilli)
Caracterisation des ideaux
Une partie I de l’anneau commutatif A est un ideal ssi :
- I n’est pas vide
- I est stable pour +
- pour tout x,a € AxI, ax € I
La surjection canonique
L’application phi:Z dans Z/nZ qui a a renvoit _an est un morphisme d’anneau surjectif
Definition element irreductible
Soit p€A non nul. On dit que p est irreductible s’il n’est pas inversible et si ses seuls diviseurs sont les elements qui lui sont associés et les elements inversibles de A
Definition PGCD de polynomes
Soit A,B € K[X], on appel pgcd de A et de B et onnote A^B l’unique generateur nul ou normailisé de l’ideal AK[X] + BK[X]. Plus generalement si A1,…,An des elts de K[X] on appelle pgcd de ces polynomes et on note A1^…^An l’unique generateur nul ou normalisé de A1K[X]+…+AnK[X]
A propos des polynomes
Degré, coef dominant, terme dominant
Soit A € K[X], A= som(0,n) akX^k
Deg A = max {k&N tq ak =!0}
Coef dominant = coef du terme de plus grand degré
Terme dominant = anX^n
Pté a propos du reste de la division de P par x-a
P(a) est le reste
Pte ordre d’une racine d’un polynome
Soit a racine d’ordre k de P, alors (x-a)^k divise P.
Formule de Taylor pour les polynomes
Idee demo
Soit P de K[X], soit b €K, alors P=som(0,n)[P^(k)(b) (x-b)^k ]/k!
(On pose X=X-B+B) dans P
a est racine d’ordre k de P ssi
p(a)=…=p^(k-1) (a) = 0
Et p^(k) (a) =!0
Theoreme a propos du nombre de racine d’un polynome dans C[X] et R[X]
Tout polynome non nul de degré n admet strictement n racines distinctes ou non dans C[X]
Theoreme a propos des polynomes de R[X] : comment s’ecrit le produit sous forme de produit?
Tout polynome ee R[X] est un produit de :
- polynome de deg 1 a racine reelle
- polynome de degré 2 a racine complexe
Dans R[X] tout polynome s’ecrit sous forme de produit de la forme :
P=
P=lambda prod(0,p) (x-ak)^mk prod (0,l) (X^2 - (ai+_ai)X + ai_ai)
Lorsque P=aX^2 +bX + c et que les racines sont x1 et x2 comment on les exprime par rapport a a,b,c ?
c/a = x1x2
-b/a = x1+x2
Soient A et B deux polynomes, A^B = en terme de pgcd ?
A^B= Rn^Rn+1 (=0) ou Rn est le reste de A par B si deg A superieur a deg B
rn-1 = BnQn + Rn+1
Theoreme de Gauss en arithmetique :
Si A^B= 1 et que A|BC alors A|C
Toute fraction admet :
Un representant irreductible de et unitaire
Ideaux de K[X]
L’anneau K[X] est principal
Tout ideal I de K[X] admet un unique generateur normalisé.
Definition - PPCM de polynomes
Soit A, B € K[X]. On appelle plus petit multiple commun de A et B et on notre A\/B l’unique generateur nul ou normalisé de l’ideau AK[X]interBK[X]
On peut generaliser avec A1,…,An des elements de K[X]
Polynome premiers entre eux - definition
Soit A, B, A1,…,An des polynomes sur K. On dit que A et B sont premiers entre eux si A^B=1.
On dit que A1,..,An sont premiers entre eux 2 a 2 si pt j, i de [1,n] distinct. Ai et Aj sont premiers entre eux.
On dit que les A1,…,An sont premiers entre eux dans leur ensemble ssi A1^…^An = 1
Theoreme de Bezout
Deux polynomes A et B sont premiers entre eux ssi il existe U, V € K[X]^2 tq AU+BV=1
PPCM de polynomes premiers entre eux
Soit A et B deux polynomes premiers entre eux. Alors A\/B est le normalisé de AB
Definition-Irreductible de K[X]
Un polynome A non constant est dit irreductible (sur K ou dans K[X]) si tout polynome le divisant est constant ou associé a A
Theoreme de la decomposition en facteur irreductibles
Pour tt polynome non constant A, il existe des polynomes irreductibles unitaires P1,…,Pk sur K distincts deux a deux, des entiers naturels r1,..,rk tous non nuls, et un scalaire lambda tq
A=lambda prod Pi^ri
De plus, cette decomposition est unique a reindexation pres des couples (Pi,ri)
Definition -Algebre
On appelle Algebre sur K (ou K-algebre) tout ensemble A muni de lois de composition interne d’addition et de multiplication, et d’une loi externe de multiplicaion par un scalaire, lui conferant a la fois une structure de K-ev et d’anneau tq pt phi, a, b :
(phia)b=phi(ab)=a(phib)
4 exemples d’Algebres
K[X] L(E) Mn(K) F(X,K) Sont des K-algebres
Definition - Sous Algèbre
On dit qu’une partie B d’une K algebre A en est une si :
- B possede 1A,0A
- B stable pour les lois de A
- muni des lois induites, B a une structure de K-Algebre
“Etre une sous algebre” c’est
Une relation d’ordre
Caracterisation des sous Algebres
- 1A € B
- B stable par CL
- B est stable par produit
Exemple de sous-Algebre
- C^k(I,R) est une sous A de R^I pt k € NU{-8}
- Tn(K) l’ensemble des matrices triang superieur
- K[X²] = def = Vect (X^2k, k€N)
- Si un L surcorps de K, et A une L-Algebre, alors A est naturellement munie d’une structure de K-Algebre
Definition - Morphisme d’Algèbres
Soit A et B deux K-algebre. On dit qu’une app f de A dans B est un morphisme de K-algebre si f est a la fois un morphisme d’anneaux et de K-ev
Caracterisation des morphismes d’algebres
Soir A et B deux K-Algebres, et f:A-)B
f est un morphisme de K-algebre ssi
-f(1A)=1B
-f(xa+yb) = xf(a) +yf(b) et f(ab)=f(a)f(b)
Exemples de morphismes d’algebres
Soit X un ens non vide et a€X l’evaluation en a : phi: K^X dans K qui a f renvoit f(a) est un mda
-pt a de K, l’evaluation en a d’un polynome est un mda
Exemple d’endomorphisme d’algebre
-pt C de K[X] la compo a droite par C est un endomorphisme de la K-Algebre K[X]
(P renvoit P(C))
Exemple d’isomorphismes d’algebres
Pour tout espace vectoriel E de dimension n, et toute base B de E. L’application phi: L(E) dans Mn(K) qui a f renvoit Mb(f)
Exemple d’automorphisme d’algebre
Pt element inversible b d’une Algebre A, phi de A dans A qui à a associe bab^-1 est un automorphisme d’algebre.
Sous algebre engendrée par un element
Soit A une K-algebre. Et soit a€A. La sous algebre de A engendrée par a est k[a] l’ensemble des polynomes en a
Plus generalement, ma sous algebre de A engendrée par {a1,…,an} est l’algèbre K[a1,…,an] des polynomes en a1,…,an
Propriété universelle de l’algèbre des polynomes à une indéterminée
Pour toute K-algebre A, et tout alpha€A il existe un unique morphisme d’algebre phi: K[X] dans A tq phi(X)=alpha c’est celui donné par :
Alpha(som(0,n) akX^k) = som(0,k)ak alpha^k pour tout polynome som(0,n)akX^k
R est archimédien
À l’origine, l’énoncé de l’axiome d’Archimède est le suivant : « Pour deux grandeurs inégales, il existe toujours un multiple entier de la plus petite, supérieur à la plus grande. »
Sous groupe engendrée par une partie
On peut se donner de deux manières :
- Par l’intérieur : est l’ensemble des mots construits sur l’alphabet constituées des éléments de A et leur symétriques.
- Par l’extérieur est l’intersection des sous-groupes de G contenant A.
Proposition - Structure des groupes monogènes
Soit G un groupe monogène: soit :
- G est fini de cardinal d, et isomorphe a (Z/dz,+)
- G est infinie, et isomorphe a (Z,+)
En particulier, le groupe multiplicatif Un est isomorphe au groupe additif Z/nZ pour tout n de N
Exemple qui illustre que contrairement aux groupes, il n’existe pas toujours de morphisme d’anneaux de A dans B.
C’est le cas par exemple de C dans R, de Q dans Z, de Z/3Z dans Z (en seconde lecture) etc
