Exos de TD Flashcards
Soit f et g continues sur un intervalle I.
Montrer que sup(f,g) est continue
On pose pt x de I : S(x)= Max (f(x),g(x)) et T(x)=Min(f(x),g(x))
donc S+T=f+g et S-T=|f-g| donc S= [ f+g +|f+g| ]/2 ainsi S est continue
Montrer que l’equation x+ln(x) = n d’inconnue x admet une unique solution dans R+* que ns noterons un.
Soit f de R+* ds R qui a x associe x+ln(x). f est continue car composé de telles fonctions puis de limite -8 en 0 et +8 en +8 et f st croissante donc d’apres TVI l’equation admet une solution
Comment on montre que GLn(R) est dense dans Mn(R)
Soit A de Mn(R) et phi qui a lambda de R associe det (A+lambdaIn)
Phi est polynomiale de degré n donc admet un nombre fini de zero. et est continue. Il existe n de N tq pt n sup N, phi(1/n) diff de 0 donc det(A+1/n In) diff 0 ie la matrice est inversible. puis qd n tend vers l’infinie, f(1/n) tend vers f(0)=det(A) donc A est limite d’une suite de matrices inversibles. ie d’elts de GLn(R) donc Gln(R) dense ds Mn(R)
L’espace est E=C([0,1]),R). Montrer que phi de E ds R qui a f associe f(1) n’est pas continue pour ||.||1 mais l’est pour ||.||8
Soit pour tout n de N, un qui a x associe x^n
||un||1=1/(n+1) qui tend vers 0
||phi(un)||=1 qui ne tend pas vers 0 donc phi pas continue
Soit v de E, soit un une suite de point qui converge vers v pour la norme infinie. Donc ||un-v||8 tend vers 0 or ||un-v||8=sup{|un(x)-v(x)|, x de [0,1]} en particulier pour tout n de N, |un(1)-v(1)| inf ||un-v||8 donc un(1) tend vers v(1) ie phi(un) tend vers phi(v) donc phi st continue par demo séquentielle d’où la continuité de phi pour ||.||8
Comment montrer que compact implique bornée
On montre que non bornée implique non compact !
Soit A une partie non bornée de E. Donc pt M de R+, il existe x de A tx ||x||sup M. On applique ceci pour M=n ou n décrit N. On construit (xn) ndeN tq pt n, ||xn|| sup n. Pour toute extractrice phi, ||xphi(n)|| sup phi(n) qui tend vers +8 donc (xphi(n)) n’est pas convergente donc A n’est pas compact.
Comment montrer que On(R) est compact
En dimension fini, compact ssi fermé et borné
fermé : Soit phi qui a M associe tMM. phi est continue, car les applications coordonnées de phi le sont. et On(R) = phi-1{In} donc On (R) est fermé.
bornée : soit ||.||2 la norme induite par le produit scalaire canonique sur Mn(R). Pour tout M de On(R), ||M||2=n^1/2 donc On(R) est bornée.
Montrer qu’il n’existe pas de bijection continue de R² dans R
Supposons que phi de R² dans R soit une bijection continue de R² dans R. phi induit une bijection continue de R²{0,0} dans R{phi(0,0)} or R²{0,0}est connexe par arc mais pas R{phi(0,0)} d’où une contradiction
Soit K un compacte de E, et f de K dans F une application continue, injective. Montrer que la corestriction g de f a son image est un homéomorphisme
Soit f de K dans F
soit g de K dans f(K)
on sait que g est continue, la vraie question est la continuité de g-1 ! Montrons que pour tout fermé A de f(K), (g-1)-1(A) est un fermé de K.
Soit A un fermé de f(K). alors (g-1)-1(A)=g(A) or g est continue et A est compact car fermé d’un compact. Donc g(A) est fermé. car compact implique fermé. Ainsi g-1 est continue
Soit f de [0,1[dans R une fonction continue.
On suppose f uniformément continue, montrer que f est bornée.
f UC donc pour tout epsilon sup 0, il existe delta sup 0tq pt, (x,y) de [0,1[², |x-y| inf delta implique |f(x)-f(y)|inf epsilon
On fixe epsilon =1. On choisit y de [0,1[ tq |y-1|inf delta alors pour tout x de [y,1[, |f(x)-f(y)| inf 1 ie |f(x)| inf 1+|f(y)| donc la restriction de f a [y,1[est bornée. De plus, la restriction de f a [0,y] est bornée car f continue sur un segment. donc f est bornée sur [0,1]
Soit F et G deux fermé disjoints. Montrer qu’il existe des ouverts disjoints U et V contenant respectivement F et G
Soit d qui a x associe d(x,F) et d2 qui a x associe d(x,G)
On sait qu’elles sont continues car la norme est 1-lipschitzienne. Soit phi qui a x associe d1(x)-d2(x). On pose U=phi-1(R-) et V=phi-1(R+). U et V sont ouvert et contiennent F et G. De plus UinterV=0
Soit E=C([a,b],R) montrer que phi qui a f associe integrale[a,b]f² est continue pour ||.||8
On montre que si (fn) tend vers g pour ||.||8 alors phi(fn) tend vers pi(g) pour ||.||8
Soit (fn) qui tend vers g de E ie ||fn-g||8 tend vers 0.
|phi(fn)-phi(g)|=|int[a,b] fn²-g²| inf int[a,b] |(fn-g)(fn+g)| =(b-a)|(fn-g)(fn+g)| inf (b-a)||fn-g||8 ||fn+g|| l’un est un reel, l’autre tend vers 0, l’autre est bornée donc phi(fn) tend vers phi(g) et phi est continue pour ||.||8
Soit E=C([0;1],R), g de E. On pose N(f) = sup(xde[0,1], {|f(x)g(x)| pour tout f de E.
Si pour tout x de [,0,1], g(x) diff 0. montrer que ||.||8 et N sont équivalentes
pt x, g(x) diff de 0 et g est continue sur un segment donc ses bornes sont atteintes soit @=min(xde[0,1])|g(x)| et &=sup(xde[0,1]|g(x)). On a pour tout x de [0,1] |g(x)|/& inf 1 inf |g(x)|/@ en multipliant par |f(x)| et en passant au sup on a : N(f)/& inf ||f||8 inf N(f)/@
Preuve de liberté :
On note @alpha la famille de C[0,1] tq pour tout x, @alpha(x)=x^alpha et on considere (alphak)kdeN une suite de réels 2 a 2 distinctes. Montrer que (@alpha)alphasup0 est une famille libre de C[0,1]
On considere l’endomorphisme de C8(]0,1]) qui a f associe la fonction qui a x associe xf’(x). Ainsi les @alpha sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres alpha de cet endomorphisme. Donc la famille des (@alpha)alphasup0 est libre en tant que famille de vecteurs propres associés a des valeurs propres distinctes deux a deux.
Montrer que d(x,A)=0 ssi x appartient a l’adhérence de A
Par def de la borne inf, pour tout n de N, il existe yn de A tq d(x,A) inf || yn -x|| d(x,A) +1/n. EN particulier si d(x,A)=0, alors (yn) tend vers x ie x appartient a l’adhérence de A par caractérisation séquentielle de l’adhérence.
Réciproquement, si x appartient a l’adhérence de A, , il existe une suite (yn) de A tq lim ||x-yn|| =0 ce qui conduit a d(x,A)=0
Que peut on utiliser lorsqu’on veut montrer que d(x,V)=d(x,VinterB)) ou VinterB est compact
d(x,V)=min(d(x,VinterB), d(x,V\B))
