Séries entieres

Question 1

Introduction

Answer 1

Une serie entiere est une serie de fonctions sigmaUn tres particuliere : pour chaque n, il existe un complexe an
telle que un soit l’application qu ia z associe anzn.
Comme on peut s’y attendre, l’etude des proprietes de la somme sera grandement simplifiee dans ce cadre
restreint. Le domaine de definition de cette somme retiendra particulièrement notre attention.
On peut se demander si une fonction donnee f, definie au voisinage de 0, coincide avec la somme d’une
serie entiere au voisinage de 0. Nous verrons qu’il est necessaire, mais non sufisant, que f soit de classe C8
au voisinage de 0. De plus, nous verrons que la serie entiere ne peut etre que som f^(n)(0)z^n/n!

Question 2

Définition - Série entière

Answer 2

Soit a = (an) ndeN une suite de nombre complexes. On appelle série entière associée à la série de fonction somUn, ou, pour tout n, un est la fonction qui a zdeC associe anz^n. Par convention, on écrira abusivement somanz^n cette serie de fonction.
La somme S: z associe som(0,8)anz^n de cette serie est def sur une partie de C, non vide puisqu’elle comprend 0.

Question 3

Lemme D’abel

Answer 3

Si la suite (anz0^n) est bornée, alors, pour tout z tel que |z| inf |zo|, la serie somanz^n est absolument convergente

Question 4

Définition - Rayon de convergence d’une série entière

Answer 4

On appelle rayon de convergence de la série entière somanz^n l’élément Ra de R+U{+8} def par :
Ra=sup{r de R+, (anz^n) est bornée}
On appelle disque ouvert de convergence de ka série entière som anz^n, et on note Da, le disque ouvert centré en 0 de rayon Ra :
Da=def={z de C, |z| inf stricte Ra}
L’intervalle ]-Ra;+Ra[ est appelé intervalle ouvert de convergence.
Ns noterons R le rayon de cvg et D le disque ouvert de cvg de som anz^n (si R=+8 alors D=C)

Question 5

Comportement en un point selon son module, notion de cercle d’incertitude

Answer 5

Ainsi pour tout z de C:

• |z| inf stricte R (ie si z de D) alors CVA de som anz^n
• |z| sup stricte R, alors il y a divergence grossière
• |z| =R, on ne sait rien a priori de l’éventuelle convergence: une étude plus fine est en général nécéssaire. Certain appellent le cercle de centre 0 de rayon R le cercle d’incertitude de la serie entière som anz^n

Question 6

Rq a propos du domaine ◙ de CV de la serie som anz^n

Answer 6

Il vérifie D C ◙ C _D, chacune des inclusions pouvant être stricte (on retiendra qu’il peut y avoir convergence en un point hors du disque ouvert de convergence)

Question 7

Comportement dans un disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence

Answer 7

La convergence de som anz^n est normale sur tout le disque fermé de centre 0 et de rayon strictement inferieur a R
Plus généralement, il y a convergence normale sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence

Question 8

Convergence normale sur un disque fermé inclus dans le disque ouvert

Answer 8

La proposition précédente ne prétend nullement qu’il y ait convergence normale sur le disque ouvert de convergence:
En fait, on montre assez facilement que s’il y a convergence normale sur le disque ouvert de convergence D, alors Ø=_D et il y a convergence normale sur _D.

Question 9

Corollaire : continuité de la somme d’une série entière sur le disque ouvert de convergence.

Answer 9

La somme de la série entière som anz^n est continue sur D.

Question 10

Rq continuité de la serie

Answer 10

L’étude des ptés de la somme au bord du disque ouvert de convergence n’est pas un objectif du programme. On peut toutefois réfléchir a des questions de continuités en un point du cercle d’incertitude ou il y a convergence. Ns verrons qu’il n’y a pas toujours continuité en un tel point. Bien sûr, dans le cas particulier où som anz^n est normalement convergente sur _D, on a Ø=_D et S est continue sur Ø

Question 11

Comment déterminer le rayon de convergence

Answer 11

On tentera d’abord de recourir a la def. On pourra ainsi observer que si som anz0^n converge, alors |zo| inf R
Et si elle diverge, R inf |zo|
Bien sur, si on change la suite (an) en un nombre fini d’indices, cela ne change rien a son rayon de convergence.

Question 12

Proposition - Séries entières et relation de domination

Answer 12

(1) On suppose que an= O(bn). On a alors Ra sup Rb
(2) On suppose que an~bn. On a alors Ra=Rb

(1) Soir r de R+, on suppose pt n, an=O(bn) donc anr^n = O bn r^n donc bnr^n = O(1) implique que anr^n =O(1) donc Bb C Ba et Ra sup Rb

Question 13

Proposition - Règle de D’Alembert pour les séries entières

Answer 13

On suppose que la suite (an) est a termes tous non nuls a partir d’un certain rang N, et que la suite (|an+1|/|an|) nsupN tend vers l de R+U{+8}. Le rayon de convergence de som anz^n vaut alors 1/l (0 ds le cas ou l=+8, +8 ds le cas ou l=0)

Soit z de C*, pt n, |an+1z^n+1/anz^n| tend L|z| selon le signe de L|z| il y a convergence ou pas de la serie (regle de D sur les series numériques)

Question 14

Règle de d’Alembert

Answer 14

(1) Pour tout réel @, la série entière som n^@z^n admet 1 pour rayon de convergence.
(2) La série entière som n!z^n est de rayon de convergence nul

Question 15

Lorsque la règle de d’Alembert ne s’applique pas

Answer 15

La règle de d’Alembert pour les séries entières ne peut pas tjrs s’appliquer. Supposons par exemple que la série entière soit lacunaire, ie an=0 pour une infinité de valeur de n.
Si (an) est nulle apcr, alors al somme est une fonction polynomiale et le rayon de convergence est infini.
Pour som z^(2n)/n(3^n+1) par ex, la regle ne s’applique pas. Comment faire? Appliquer la regle pour tout zo de C a la serie numerique som z0^(2n)/n(3^n+1)
On notera que le fait de revenir a la def du rayon est au moins aussi rapide

Question 16

Déterminer le rayon de convergence de la série entière som anz^n ou an=3^n si n est pair et an=1/4^n si n est impair

Answer 16

Lorsque n est pair, le rayon de convergence est le sup de Ba avec Ba={r de R+ tq (3^(2n) z^(2n) est bornée} donc d’apres la définiton Ra=1/3
Lorsque n est impair, le rayon de convergence est le sup de Bb avec Bb={r de R+ tq (1/4^(2n+1) z^(2n+1) est bornée} donc Rb= 4
Puisque les termes impairs et les termes pairs forment la suite, le rayon de convergence est le plus petit des deux, donc 1/3

Question 17

Somme et produit de Cauchy de deux séries entières

Answer 17

La somme des séries entières som anz^n et som bnz^n est la serie entière som (an+bn)z^n
Le prod de Cauchy de ces séries entières est la série entière som cnzn avec pt n de N : cn = som(0,n)akbn-k

Question 18

Proposition : rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières

Answer 18

(1) : Le rayon de convergence de Ra+b de la serie entière som (an+bn)z^n vérifie : Ra+b sup min{Ra,Rb}, une cond suffisante d’égalité est que Ra diff Rb
(pour le min entre les deux, prendre z tq Ra inf z inf Rb)
(2): Le rayon de convergence Rc de la serie entière som cnz^n vérifie Rc sup min{Ra,Rb}
(Meme si Ra diff Rb il se peut qu’il n’y ait pas egalité)
(3): Pour tout z de C tq |z| inf stricte min{Ra,Rb}, on a :
som(0,8)anz^n + som(08)bnz^n=som(08)(an+bn)z^n et (som(0,8)anz^n)(som(0,8)bnz^n)=som(0,8)cnz^n

Question 19

Série entière d’une variable réelle, contexte

Answer 19

On s’intéresse ici à la possibilité ou non de dériver une série entière, et on voit donc cette dernière comme une fonction d’une variable réelle. S est définie sur l’intervalle ouvert de convergence ]-R,R[ mais aussi en -R ou en R dans certains cas

Question 20

Lemme pour la dérivation d’une série entière

Answer 20

Les séries entières som anz^n et som nanz^n ont le même rayon de convergence.
Plus généralement , pour tout @, les séries som n^@z^n et som anz^n ont le meme rayon de convergence.

Question 21

Dérivation d’une série entière

Answer 21

La somme T de la série entière som an/n+1 z^n+1 est def sur ]-R,R[ et est dérivable sur ]-R,R[ de dérivée S

Question 22

Proposition - Dérivation successive d’une série entière

Answer 22

La somme d’une série entière est de C8 sur l’intervalle ouvert de convergence, et ses dérivées s’obtiennent par dérivation termes a termes : pour tout x de ]-R,R[, pour tout p de N :
S^(p)(x)= som(p,8) n(n-1)…(n-(p-1))anx^(n-p) = som(p,8) n!/(n-p)! anx^(n-p) = som(0,8) (n+p)!/n! an+px^n

Question 23

Proposition - Retrouver les coefficients d’une série entière en dérivant.

Answer 23

Si R sup stricte a 0, alors pour tout p de N : ap=S^(p)(0)/p!

Dans le cas des séries entières, qui sont de rayon de convergence st positifs, on peut retrouver la série a partir de la somme ! Cette extraction d’infos est exceptionnelle

Question 24

Corollaire : Obtention de la série entière a partir de sa somme lorsque R n’est pas nul

Answer 24

Si les fonctions x associe som(0,8)anx^n et x associe som(0,8)bnx^n coïncident sur un voisinage de 0, alors pour tout n, an=bn

Question 25

Définition - Fonction d’une variable complexe développable en série entières

Answer 25

On dit qu’une fonction f, définie au voisinae de 0 dans C, est développable en série entière en 0 (ou qu’elle admet un développement en série entière en 0) s’il existe r sup stricte 0 et une série entière som anz^n de rayon de convergence R sup r tq :
pt z de {wdeC, |w| inf stricte r}, f(z) = som (0,8) anz^n

Question 26

Exemple de développement en série entière, variable complexe

Answer 26

(1) la fonction exponentielle est développable en série entière en 0. Pour tout complexe z, exp (z) = som(0,8)z^n/n!
(2) : la fonction qui a z associe 1/1-z est dev en serie entière en 0, pour tout z tq |z| inf str 1, 1/1-z = som(0,8)z^n

Question 27

Opérations sur les DSE

Answer 27

Etre développable en série entière est une propriété robuste par opérations algébriques : si f et g admettent un DSE : alors af+bg ou a,b de C, et fg admettent un DSE

Question 28

Définition - Fonction d’une variable réelle développable en série entière

Answer 28

On dit qu’une fonction f définie au voisinage de 0, et a valeurs réelles est développable en série entière en 0 s’il existe r sup str 0 et une série entière som anz^n de rayon de convergence R sup r tq :
pt x de ]-r, r[, f(x) = som anx^n

Question 29

Intégration et primitivation d’un DSE

Answer 29

Si f admet un DSE, alors ces dérivées successives (def au vois de 0) aussi, et leur DSE s’obtiennent par dérivation terme a terme, et de meme pour les primitives de f. Au passage, on prendra garde a la cste d’intégration lorsqu’on primitive un DSE.

Question 30

Définition - Série de Taylor

Answer 30

On appelle série de Taylor d’une fonction f de classe C8 sur un intervalle ]-r,r[ la série entière som(0,8) f^(n)(0)/n! x^n

Question 31

Proposition- DSE et série de Taylor

Answer 31

Soit f une fonction de C8, au voisinage de 0. La fonction f est développable en série entière au vois de 0 ssi elle coïncide avec sa série de Taylor au voisinage de 0.

Sens direct, supposons que f admette un DSE au vois de 0,. Et r supstricte 0 et som anz^n de RDC R sup r, pt x de ]-r;r[, f(x)=som anx^n. COmme le RDC de som anz^n est st positif, pt p de N, S^(p)(0)=f^(p)(0), come f et S coincident au vois de 0, pt p, f^(p)(0)=S^(p)(0) d’où pt p, ap=f^(p)(0)/p!

Question 32

Comment montrer qu’une fonction (de C8 au vois de 0) est développable en série entière?

Answer 32

Assez souvent, on peut utiliser la robustesse de cette notion, par operation algébriques, intégrations, dérivations.
-La serie de Taylor de f suggère également un lien entre l’existence d’un DSE pour f et les formules de Taylor: de fait, f admet un DSE en 0 ssi son reste intégrale Rn CVS vers 0 sur un vois de 0 : il existe r de R+*, pt x de ]-r,r[, lim n8 int(0,x)(x-t)^n/n!f^(n+1)(t)dt = 0
Par contre, Taylor Young ne peut pas prouver qu’une fonction f admet un DSE du fait de son caractère locale.

Question 33

Exemple de développement en série entières :

exponentielle

Answer 33

pt z de C exp(z)=som(0,8)z^n/n!

Question 34

Exemple de développement en série entières :

Les fonctions hyperboliques

Answer 34

pt x de R, ch(x) = som(0,8) x^2n/2n!

sh(x)=som(0,8)x^2n+1/2n+1!

Question 35

Exemple de développement en série entières :

les fonctions circulaires

Answer 35

Pt x de R

cos (x) = som(0,8) (-1)^nx^20/20!

sin(x)=som(0,8) (-1)^n x^2n+1/2n+1!

Question 36

Exemple de développement en série entières :

La fonction arctangente

Answer 36

pt x de [-1,1] arctan (x)= som(0,8) (-1)^n x^2n+1/2n+1

Question 37

Exemple de développement en série entières :

la fonction x associe ln(1+x)

Answer 37

pt x de ]-1;1[

ln(1+x)=som(0,8) (-1)^n-1 x^n/n

Question 38

Exemple de développement en série entières :
x associe (1+x)^alpha

Answer 38

pt x de ]-1;1[

(1+x)^alpha = som(0,8)(n parmi alpha) x^n

Question 39

Donnez le rayon de convergence de som an (z/M)^n ou M est un complexe non nul. En fonction de R le rayon de convergence de som anz^n

Answer 39

Notons bn = an/M^n Soit r de R+, r appartient a Rb ssi (an(r/M)^n est bornée ssi (|an| |r/M|^n) est bornée ssi r/|M| appartient a Ba, donc Bb=|M|Ba puis Rb = |M| sup Ba = |M|R

Question 40

Comment montrer que som nanz^n et som anz^n ont le meme rayon de convergence

Answer 40

On pose pt n et pt epsilon supstricte 0 : bn=nan et cn = (1+epsilon)^nan ainsi
an=O(bn) donc Ra sup Rb et bn=O(cn) d’où Rb sup Rc
or Rc = Ra/(1+epsilon) donc Ra/(1+epsilon) inf Rb inf Ra en faisant tendre emsilon vers 0 on a Ra = Rb

Question 41

Développement en série entière d’une fonction rationnelle

Answer 41

Une fonction rationnelle F, n’admettant pas 0 pour pole est développable en série entière au voisinage de 0, de plus, le rayon de convergence de la série entière correspondant est le plus petit des modules des pôles de F (+8 si F est polynomiale)

Question 42

Que dire si f de C8(]-r;r[) ou r appartient a R+. Si on suppose qu’il existe M de R+ tq pt n de N*, et pt x de ]-r,r[, |f(x))| inf M

Answer 42

Alors la fonction f admet un DSE sur ]-r;r[

Démo : Taylor avec reste intégrale. Il suffit de l’écrire.

Question 43

On a montré que Arctan admettait un DSE au voisinage de 0 sur ]-1,1[, comment montrer que le résultat reste vrai sur -1 et sur 1
1er piste : La continuité

Answer 43

Effectivement, arctan est continue en 1. Comment montrer que som(-1)^nx^(2n+1)/2n+1 est continue en 1?
Déjà, d’apres CSSA, puisque 1/2n+1 décroît et tend vers 0, la serie converge. Y-a t’il CVU sur un voisinage relatif de 1 ds [-1;1] du reste de la serie ? Oui: on major som(N,8)(-1)^nx^(2n+1)/2n+1 par son premier terme :
|som(N,8)(-1)^nx^(2n+1)/2n+1| inf x^2N+1/2N+1 inf 1/2N+1 qui tend vers 0 d’où la CVU sur [0,1] et de plus pt n,x associe x^2n+1/2n+1 est continue sur [0;1] d’où la continuité de la somme en 1. Ainsi, S et arctan sont continue sur [0,1] et coïncident sur [0;1[ d’où le résultat car elles coïncident en 1

Question 44

On a montré que Arctan admettait un DSE au voisinage de 0 sur ]-1,1[, comment montrer que le résultat reste vrai sur -1 et sur 1 .
2eme piste : Argument de convergence dominé

Answer 44

pt x de [0,1[, 1/(1+x²) = som(0,8) (-1)^nx^2n
A-t-on int(0,1)dx/(1+x²) = som(0,8)int(0,1)(-1)^nx^2ndx ?
1er test TITAT: som int(0,1)|(-1)^nx^2n|dx = som1/2n+1 ça va pas. On applique le T de CVD a la suite des sommes partielles : pt n, Un: x associe (-1)^nx^2n
SOit N de N, x de [0,1[ |som(0,N)Un|=|som(0,N)(-1)^nx^2n|=|som(0,N) (-x²)^n| = |1-(-x²)^N+1/1+x²| inf 2/1+x²
soit phi: x associe 1/(1+x²) pt x de [0,1[. l’hyp de domination est satisfaite pour chaque Un, de plus, som(0,8)Un et x associe 1/1+x² sont continues par morceaux que [0,1[. voila le résultat d’apres le TCD.

Question 45

Donner le rayon de convergence de la série suivante et exprimer la somme en terme de fonction usuelles
som (n+2)/(n+1) z^n

Answer 45

D’apres d’Alembert, si an=(n+2)/(n+1) pt n , alors |an+1/an| tend vers 1 donc RC = 1
Pt x de ]-1;1[, som(n+2)/(n+1)x^n = 1/(1-x) + som(0,8)x^n/n+1 = 1/(1-x) + 1/x som(0,8)x^(n+1)/n+1 = 1/(1-x) -1/x ln(1-x)

Question 46

som(0,8)x^n/n =

Answer 46

-ln(1-x)

Question 47

Donner le rayon de convergence de la série suivante et exprimer la somme en terme de fonction usuelles
som(-1)^(n+1)nx^(2n+1)

Answer 47

A = som(-1)^(n+1)nx^(2n+1)=som(-x)n(-x²)^n=(-x)somn(-x²)^n
or somnz^n=somznz^(n-1)=z d/dz som(z^n)=z d/dz (1/(1-z)
=-z/(1-z)² donc A=(-x)(-x²)/(1+x²)² = x^3/(1+x²)²