Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Maths > Espace préhilbertiens réels > Flashcards

Espace préhilbertiens réels Flashcards

1
Q

Contexte

A

Dans ce chapitre, le corps de base des espaces vectoriels considérés est R. L’objectif est de donner un cadre formel a la géométrie euclidienne. Cette axiomatisation de la notion d’orthogonalité sera aussi de grande utilité en analyse. Notamment dans le cadre des approximations de fonctions. E désignera un R-espace vectoriel.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Définition - Application (définie) positive

A

Une application f de E² dans R est dite positive si pt x de E, f(x,x) sup 0
Dans ce cas, f est dite définie positive si en outre, pt x de E, f(x,x)=0 implique x=0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Définition - Produit scalaire

A

On dit qu’une application f de E² dans R est un produit scalaire (sur E) si f est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive.
On appelle espace préilbertien (réel) un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire.
on note (.|.) ou avec inf . |. sup

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Produit scalaire canonique dans R^n

A

Soit u=(u1,…,un) et v=(v1,…,vn) de R^n.

l’application qui a (u,v) associe som(0,n)uivi est e produit scalaire (usuelle/canonique) de R^n

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Produit scalaire canonique chez les polynômes

A

Soit P=som(i sup 0)aiX^i et Q=som(isup0)biX^i des polynômes réels. On pose (P|Q) = som(isup0) aibi (somme bien def puisque (anbn) est presque nulle) c’est le prod scalaire canonique des polynomes

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Produit scalaire sur C0([a;b])

A

(f,|g) renvoit integrale (a,b) fg

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Produit scalaire chez L²c(I,R) est l’ensemble des fonctions continues de carré intégrable sur I

A

(f|g) associe integrale(I) fg

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Produit scalaire sur l²(N,R) l’ensemble des suites réels telles que som un² converge

A

(u,v) associe som(0,8) unvn

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Quel est le produit scalaire si
w de I dans R+* est une fonction telle que pt n de N,
t associe t^nw(t) soit intégrable.

A

(P,Q) de R[X]² associe integrale (I) P(t)Q(t)w(t)dt est un produit scalaire.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Quel est le produit scalaire chez ‘ensemble des fonctions 2pi-périodique

A

Soit E le R-espace vectoriel des applications f R dans R continues et 2pi-périodiques. L’application qui a (f,g) associe 1/2pi integrale (0,2pi) f(t)g(t)dt est un produit scalaire sur E

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Si F est un sous espace vectoriel de E préhilbertiens, que dire de F

A

le produit scalaire sur E induit une structure préhilbertienne a F

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Définition - Espace euclidien

A

Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Exemple d’espace euclidien (ou pas)

A

Les espaces R² et R^3 muni de leurs produit scalaire usuels

L’espace C0([0,1]) muni de son produit scalaire n’est pas euclidien car pas de dim finie

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Proposition - Inégalité de Cauchy-Schwartz

A

On a pt (u,v) de E², (u|v)² inf (u|u)(v|v)

de plus, il y a égalité ssi (u,v) est liée

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Dans le cas R^n, euclidien canonique, comment s’écrit l’inégalité de Cauchy-Schwartz

A

(som(1,n)uivi)² inf ( som(1,n)ui²) (som(1,n)vi²)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Inégalité de CS dans le cas intégrale

A

(integrale(a,b) f(t)g(t)dt)² inf (integrale(a,b)f(t)²dt)(integrale(a,b)g(t)²dt)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Définition - Norme associé a un produit scalaire

A

On définit une norme sur E (dite norme associé au produit scalaire (.|.) en posant, pour tout vecteur u de E :

||u|| = def = ((u.u))^1/2 Dans le cas ou l’espace est euclidien, l’application ||.|| définie ci dessus est appelée norme associée (ou déduite du) produit scalaire (.|.)
Une telle norme est dite préhilbertienne ou euclidienne on dit aussi qu’elle dérive d’un produit scalaire

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Cauchy-Schwartz avec la norme plus seconde inégalité triangulaire

A

pt (u,v) de E², |(u|v)| inf ||u||||v||
puis comme pour toutes normes
| ||u|| - ||v|| | inf ||u+v|| ou encore | ||u||-||v|| | inf ||u-v||

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

Exemple : norme euclidienne (dans R^n)

A

soit u de R^n, alors ||u||= ( som(1,n) ui² ) ^1/2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

Proposition - identité du parallélogramme

A

On a pour tout u,v de E², ||u+v|| + ||u-v|| = 2 ( ||u||² + ||v||² )

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Proposition - identité de polarisation

A

Pour tout u,v de E²,
(u|v) = 1/2 ( ||u+v||² -||u||² -||v||²) = 1/4 ( ||u+v||² - ||u-v||²) = 1/2 ( ||u||² + ||v||² - ||u-v||²)
Grace a elle, il y a autant d’informations dans la norme euclidienne que dans le prod scalaire: la connaissance de la norme permet de retrouver le produit scalaire
Cependant, ttes les normes ne sont pas issues d’un prod scalaire, elle le sont si la norme vérifie l’identité du parallélogramme.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

Définition - Vecteur orthogonaux

A

Deux vecteurs u et v de E sont dit orthogonaux si (u|v) = 0 on note alors parfois uTv

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Propriété sur les vecteurs orthogonaux en général

A

Le seul vecteur orthogonal a lui même est le vecteur nul.
Le seul vecteur orthogonal a tous les vecteurs de E est le vecteur nul
Pour le prod scalaire canonique de R[X], les polynômes pairs et impairs sont orthogonaux
Pour des fonctions de C0([-1;1]) pairs et impairs le produit (f,g) associe int(-1;1)f(t)g(t)dt est nul
Si on munit E de deux prod scalaires, deux vecteurs peuvent etre orthogonaux pour l’un et non pour l’autre.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

Définition - Famille orthogonale, orthonormée

A

On dit qu’une famille (ui)ideI de vecteurs de E est orthogonale si les ui sont orthogonaux deux a deux. Si de plus ils sont unitaires, la famille est alors dite orthonormale (ou orthonormée)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

Proposition - Expression d’un produit scalaire en base orthonormée

A

On suppose que E est un espace euclidien de dimension n, soit B=(e1,…,en) une base orthonormée de E. Soit u=som(1,n)uiei et v=som(1,n)viei des vecteurs de E donnés avec leurs décomposition respective dans B. On a (u|v) = som(1,n)uivi et en particulier ||u||=(som(1,n)ui²)^1/2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

Produit scalaire orthonormalisant une base

A

Soit E un R espace vectoriel de dim finie et B=(e1,…,en) une base de E.
Si on pose (u|v)=som(1,n)uivi pour tout u=som(1,n)uiei et v=som(1,n)viei de E alors on obtient un prod scalaire sur E pour lequel B est orthonormale
Ainsi, pour toute base d’un Rev de dim finie non nulle il existe un unique prod scalaire orthonormalisant cette base.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

Exemple - Famille orthonormée

A

Dans tous les exemples de produits scalaires canoniques, ie dans R^n et R[X], la base canonique de l’espace sous-jacent est une base orthonormée, d’où leur nom.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
28
Q

Proposition - Liberté d’une famille orthogonale de vecteurs non nuls.

A

Une famille orthogonale constituée de vecteurs tous non nuls est libre. En particulier toute famille orthonormée de E est libre.
AInsi, (e1,…,ep) est une base orthonormée de E (de dim n) ssi n=p et pt(i,j) de [|1;n|]² (ei|ey)=deltaij

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
29
Q

Proposition - Relation de Pythagore

A

Soit (ui)ideI une famille orthogonale. On a pour toute sous famille finie J de I: ||som(ideJ)ui||² = som(ideJ)||ui||²

Réciproquement si ||x+y||²=||x||² + ||y||² alors xTy cependant c’est faux pour trois vecteurs

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
30
Q

Phia qui a x de E associe (a|x)

Ksi de E dans E*

A

c’est une forme linéaire sur E. Son noyau est E si a=0E et l’hyperplan constitué des vecteurs orthogonaux a a sinon.
De plus KSI de E dans E* qui a a associe phia est linéaire injective de E sur son dual E*

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
31
Q

Proposition - Isomorphisme explicite entre un espace euclidien et son dual

A

On suppose E euclidien. L’application Ksi est alors un isomorphisme de E sur E*. EN particulier pour toute forme linéaire f sur E il existe un unique vecteur a de E tq f=phia ie pt x de E f(x)=(a|x)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
32
Q

Exemple- produit vectoriel

A

Dans R^3 euclidien canonique, fixons deux vecteurs u et v. l’application x assoice det(u,v,x) (det désigne le déterminant dans la base canonique) est une forme linéaire sur R^3, ce qui conduit a la définition du produit vectoriel u^v on a en particulier det(u,v,u^v)=(u^v|u^v)=||u^v||² sup 0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
33
Q

Proposition - Existence d’une base orthonormale dans un espace euclidien

A

Tout espace euclidien de dimension non nulle admet une base orthonormée.

(par rec)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
34
Q

Proposition - Décomposition d’un vecteur dans une base orthonormée

A

Soit E un espace euclidien et B=(e1,…,en) une base orthonormée de E. Alors pour tous vecteur u de E on a u=som(1,n)(u|ei)ei

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
35
Q

Remarque a propos de “Proposition - Décomposition d’un vecteur dans une base orthonormée”

A

La relation n’est valable que si la base est orthonormée.
Si B=(e1,…,en) est une base orthonormée de E et si f est dans L(E) alors la matrice de f dans B est égale a ((f(ej)|ei))(1 inf i,j inf n)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
36
Q

Définition - Orthogonale d’une partie

A

Soit A une partie de E. On appelle orthogonal de A (dans E) et on note AT ou A° l’ensemble des vecteurs de E orthogonaux a tous les vecteurs de A; AT = def = {x de E, pt a de A (x|a) =0}
Deux parties A et B de E non vides sont dites orthogonales si : pt(a,b) de AxB, (a|b)=0

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
37
Q

Exemple - Orthogonal d’une partie

A

{Oe}T = E et ET={OE}
Les sous espaces de Co([-1;1]) constitués respectivement des fonctions paires et impaires sont orthogonaux pour le produit scalaire (f,g) associe integrale (-1;1) f(t)g(t)dt
Si deux sous espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires et orthogonaux alors on obtient une base orthonormée de E en concaténant les bases orthonormées de F et de G.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
38
Q

Proposition - Propriété de l’orthogonale (6)

A

Soit A et B deux parties de E.
A et B sont orthogonales ssi AcBT (ssi BcAT)
Si AcB alors bTcAT
AcATT
AT est un ssev de E (même si A n’en est pas un)
AT=(Vect(A))T En particulier si F est engendré par (fi)ideI alors u appartient a FT ssi u est orthogonal à tous les vecteurs fi ideI
F et FT sont en somme direct

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
39
Q

Définition - Supplémentaire orthogonale

A

Lorsque F (+) FT = E on appelle FT le supplémentaire orthogonale de F (dans E)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
40
Q

Proposition -Supplémentaire orthogonal d’un sous espace de dimension finie

A

Soit F un sous espace vectoriel de dimension fini de E. Les sous espaces F et FT sont alors bien supplémentaires.

41
Q

Définition-Projecteur orthogonal, projection orthogonale

A

Lorsque F et FT sont supplémentaires on définit le projecteur orthogonal sur F comme le projecteur sur F parallèlement à FT: C’est un endomorphisme de E. On le note pf. pf induit un morphisme de E sur F, appelé projection orthogonale de E sur F.

42
Q

Asymétrie des rôles entre F et son orthogonal

A

On présume que si F et FT sont supplémentaires, alors on peut définir le projecteur orthogonal pfT sur FT et que de plus, pf + pfT = idE
Cela est tt a fait correct, et on peut d’ailleurs aussi observer que dans ce cas, FTT=F.
Cependant il est aussi possible que FT et FTT soient supplémentaires sans que F et FT le soient. (ce qui revient a dire que l’inclusion de F ds FTT est stricte)

43
Q

Proposition - Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormale

Cadre : F est de dim finie et B=(e1,…,en) en est une BON)

A

Le projecteur orthogonal pf sur F est donné , pour tout x de E, par pf(x) = som(1,n) (x|ei)ei

44
Q

Proposition - Interprétation de la distance d’un vecteur à un sous-espace.

Cadre : F est de dim finie et B=(e1,…,en) en est une BON)

A

Soit u de E, la distance de u a F est notée d(u,F) et est définie par d(u,F)=inf{||u-x||, x de F}.
Le projeté orthogonal de u sur F est l’unique élément de F qui minimise la distance de u a F, ie tq pt x de F, d(u,v) inf d(u,x) et en particulier d(u,F)=||u-pf(u)||=||pfT(u)||

45
Q

Calcul pratique de la distance

A

Comment, en pratique, calculer la distance d’un vecteur u a un sous espace F?
En dim finie, comem d(u,F)=||pfT(u)||, il est parfois avantageux de s’intéresser a pfT ( si par ex F est un hyperplan et qu’il est facile de trouver un vecteur non nul de FT). En suite, on peut tenter de trouver une BON, (e1,…,ep) de F pour exprimer pf(u). On a meme un raccourcis ds ce cas car Pythagore donne d(u,F)²=||u||² - som(1,p)(u|ei)²
L’autre approche consiste a déterminer pf(u) sans chercher une BON de F mais en le caractérisant comme unique vecteur v de F tq u-v soit ortho a tt vecteurs de F: on prends B non orthonormée, de F, on décompose v ds B v=som(1,p)@iei et on résout le système d’inconnues @i d’équations (u|ej)=(v|ej), une fois v déterminé, on calcul d(u,F)=||u-v||

46
Q

Proposition - Inégalité de Bressel

Cadre : F est de dim finie et B=(e1,…,en) en est une BON)

A

Pour tout x de E. som(1,n)(x|ei)² inf ||x||²

Par conséquent si (en)ndeN, est une famille orthonormée, la série som(x|en)² est tjrs convergente, et sa somme est inf ou égale a ||x||²

47
Q

Définition - Suite totale

Cadre : E est préhilbertien de dim infinie

A

Soit (en)ndeN une suite de vecteurs de E. On dit que cette suite est totale si Vect(ei, ideN) eest dense dans E. ie l’adhérence du vect est égale a E.

48
Q

Proposition - Approximation par des projetés orthogonaux

A

Soit (en)ndeN une suite orthonormale d’éléments de l’espace préhilbertien E de dim infinie. Pour tout n de N, soit pn le projecteur orthogonal de E sur Vect(e1,…,en). Pour tout x de E, (pn(x))ndeN converge alors vers x. et (inégalité de Parseval), som(0,8)(en|x)²=||x||²

49
Q

Exemple - Suite totale

A 
Soit x de [a;b] dans R+*, une fonction continue, (a inf stricte b). On munit E = C([a;b],R) du produit scalaire donné par (f,g)deE² associe int([a;b]fgw 
La familel (X^n)ndeN (où l'on a identifié un polynome avec la fonction qu'il induit sur [a,b]) est totale. 
En effet, pour tout f de E, on a ||f|| inf [(b-a)||w||8,[a,b]]^1/2||f||8,[a,b] et le théorème de Weierstrass permet de conclure : pour f de E, il existe une suite (Pn)ndeN de polynômes tq (||f-Pn||8[a,b]) tende vers 0. Et donc tq (||f-Pn||) tende également vers 0.
50
Q

Corollaire, (Supplémentaire orthogonal)

Cadre : E est un espace euclidien, F un sous espace vectoriel de E

A

On a E= F (+) FT et FTT = F

Lorsqu’une structure euclidienne intervient, le supplémentaire orthogonal d’un sous espace est souvent à privilégier par rapport aux autres supplémentaires.
La symétrie sf par rapport a F parallèlement a FT est appelée symétrie orthogonale par rapport a F.

51
Q

Définition - Symétrie

A

On appelle réflexion de E tte symétrie orthogonale par rapport a un hyperplan de E.

52
Q

Egalités avec F, Ker(sf-idE), FT etc …

A

On a F=Ker(sf-IdE) et FT=Ker(sf+IdE)
En particulier si r est la réflexion par rapport a H, alors H est l’orthogonal de la droite Ker(r+IdE)
On a pfT=IdE-pf, sf=2pf-IdE, et sfT=-sf

53
Q

Proposition - Ajout orthonormée à un hyperplan

A

Soit E euclidien de dim n de N*. on suppose disposer d’une base orthonormée B=(e1,…,en-1) d’un hyprplan H de E? Il existe alors exactement 2 vecteurs permettant de compléter B en une base orthonormée de E, ces deux vecteurs sont opposés.

54
Q

Corollaire - Théorème de la base orthonormée incomplète .

A

Soit E euclidien de dim n de N*. Toute famille orthonormée de E se complète en une base orthonormée de E.

55
Q

Proposition - Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

A

Soit B=(ei)ideI une famille libre de E, ou I = [|1,n|] ndeN*. Il existe alors une unique famille orthonormale C=(fi)ideI, de E vérifiant :

1) pt k de I, Vect(f1,…,fk)=Vect(e1,…,ek)
2) pt k de I, (fk|ek) sup stricte 0

56
Q

Définition - Orthonormalisation de Gram-Schmidt

A

Dans ce contexte, on dit que C est l’orthonormalisé de (Gram)Schmidt de B.

57
Q

Orthonormalisation de Gram-Schmidt

Remarque

A

On peut interpréter ce résultat de manière géométrique, f1 est le normalisé de e1, et pour tout k de I{1}, fk est le normalisé de ek-pF(k-1)(ek) ou pF(k-1) désigne le projecteur orthogonal sur Fk-1=Vect(e1,..,ek-1). Puisque (f1,…,fk-1) est une BON de Fk-1, on a pF(k-1)(ek) = som(1,k-1)(ek|fi)fi de sorte que fk=[ek - som(1,k-1)(ek|fi)fi]/||ek-som(1,k-1)(ek|fi)fi
C’st un procédé couteux, c’est pourquoi il constitue un dernier recours, mieux vaut trouver des infos pertinentes sur la structure euclidienne avant d’y faire appel.

58
Q

Définition-Endomorphisme orthogonal ou isométrie

Cadre - E est un espace euclidien non nul

A

Soit f de L(E), on dit que l’endomorphisme f de E est orthogonal ou que c’est une isométrie vectorielle s’il conserve la norme ie ||f(u)||=||u|| pt u de E.

59
Q

Exemple - endomorphisme orthogonaux (3)

A

1) LEs applications IdE et -IdE sont des automorphismes orthogonaux de E
2) Plus généralement, toute symétrie orthogonale est un automorphisme orthogonal
3) Le seul projecteur orthogonal qui soit un endo orho de E est idE.

60
Q

Proposition - Groupe orthogonal d’un espace euclidien

A

L’ensemble des automorphismes orthogonaux de E est un sous groupe de GL(E)

61
Q

Définition-Groupe orthogonal d’un espace euclidien

A

L’ensemble des automorphismes orthogonaux de E est appelé groupe orthogonal de E noté O(E)

62
Q

Proposition - Caractérisation des automorphismes orthogonaux

A

Soit f de L(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes:

1) f est orthogonal
2) f conserve le produit scalaire (ie pt v,u deE (f(u)|f(v))=(u|v)
3) f transforme chaque base orthogonale de E en base orthonormale
4) f transforme une base orthonormale de E fixée en base orthonormale

63
Q

Définition-Automorphisme orthogonaux positifs ou négatifs

A

Soit E un espace euclidien, f de O(E). On dit que f est un automorphisme orthogonal positif, ou une rotation (vectorielle) (resp. un automorphisme orthogonal négatif) si det(f) sup stricte 0 (resp det(f) inf stricte 0)
On note SO(E) ou O+(E) et appelle groupe spécial orthogonal de E, l’ensemble des automorphismes orthogonaux positifs de E, et O-(E) l’ensemble des automorphismes orthogonaux négatifs de E.

64
Q

Proposition - Matrice orthogonales (5)

A

Soit M de Mn(R), les propriétés sont équivalentes :

1) MtM=In
2) tMM=In
3) M inversible, et M-1=tM
4) Les vecteurs colonnes de M forment une base orthonormale de R^n (euclidienne canonique)
5) Les vecteurs lignes de M forment une base orthonormale de R^n (euclidien canonique)

65
Q

Définition - Matrice orthogonale

A

Lorsqu’une des (donc toutes) les conditions ci dessus sont réalisée, on dit que la matrice M est orthogonale.

66
Q

Proposition - Groupe orthogonal d’indice n

A

L’ensemble O(n) des matrices orthogonales de taille n est un sous groupe de GLn(R)

67
Q

Définition-Groupe orthogonal d’indice n

A

Le groupe O(n) est appelé groupe orthogonal d’indice n

Une matrice de O(n) est nécessairement de déterminant 1 ou -1 mais la récip est fausse

68
Q

Définition - Groupe spécial orthogonal

A

Le groupe spécial orthogonal d’indice n, noté SO(n) ou O+(n) est l’ensemble des matrices orthogonales de taille n , de déterminant 1. On pose également O-(n)={M deO(n), det(M)=-1}Les matrices de SO(n) sont dites orthogonales positives. Les matrices de O-(n) sont dites orthogonales négatives.

Echanger 2 colonnes ou deux lignes d’une patrice ortho positive (resp négative) la change en une matrice ortho négative (resp positive). De même si on change une ligne ou une colonne en son opposée.

69
Q

Comment voir si une matrice deM3(R) est ortho ?

A

On fait le prod scalaire des colonnes et il doit tjrs faire 0

70
Q

Proposition - Lien entre automorphisme orthogonaux et matrice orthogonales

A

Soit f un endomorphisme de E, et M la matrice de f dans une base orthonormale. Les conditions suivantes sont équivalentes.

1) f est un automorphisme orthogonal de E
2) M est une matrice orthogonale

71
Q

Rq a propos du lien entre matrice et endo ortho

A

Le lien entre matrices orthogonales et automorphisme orthogonaux s’effectue en base orthonormée.
Les groupes O(E) et O(n) donc sont isomorphes par choix d’une base orthonormale B de E via f associe Mb(f)
De meme pour SO(E) et SO(n). Les matrices orthogonales sont les matrices de passage entre base orthonormales.
Si f de O(E), alors det f=+-1 (recip fausse) de sorte que SO(E))={f de O(E), dt(f)=1} et O-(E)={f de O(E), det(f)=-1}
IdE de SO(E) mais -IdE appartient a l’un ou l’autre selon la parité de dimE

72
Q

Proposition - Orthogonal d’un sous espace invariant par un automorphisme orthogonal

A

Soit phi de O(E) et F un sous espace vectoriel de E stable par phi. Le sous espace F est alors globalement invariant par phi ie phi(F)=F et FT est également globalement invariant par phi, donc stable.

73
Q

Réduction des isométries vectorielles - Intro

A

Il st clair que le spectre d’une isométrie est inclus dans {-1,1}. On en déduit facilement qu’une isométrie est diagonalisable ssi c’est une symétrie vectorielle ( ie une involution)

74
Q

Groupe orthogonal d’un espace euclidien E de dimension 2

A

On suppose notre espace orienté ie muni d’une base que l’on qualifie de direct. L’application det désignera le déterminant dans n’importe quel base orthonormée direct. La matrice de passage d’une base orthonormée a une autre est donc orthogonale positive si l’orientation est inchangée, orthogonale négative sinon.

75
Q

Que dire de O(2) ?

A

On def R(@) = (C1,C2) avec C1=(cos@; sin@) C2=(-sin@;cos@) et S(@)=(C1;C2) avec C1=(cos@;sin@) C2=(sin@;-cos@) et on a O(2) = R(@)US(@) @de R a chaque fois.
SO(2)=R(@)
Les rotations non triviales (ie distinctes de l’identité) du plan E n’admettent aucun vecteur non nuls invariant) Tout autre automorphisme orthogonal de E admet un vecteur non nul invariant.

76
Q

Que dire de l’application R qui a @associe R@

Dim E =2

A

c’est un morphisme surjectif du groupe commutatif (R,+) sur SO(2) donc SO(2) est commutatif. Le noyau de R est 2piZ

77
Q

Que dire des automorphismes orthogonaux négatifs du plan euclidien
Dim E = 2

A

Ce sont les réflexions (ici les hyperplans sont des droites). Plus précisément si S(@) est la matrice dans (e1,e2) de s de O(E) alors s est la symétrie orthogonale par rapport a R(cos(@/2)e1+sin(@/2)e2)

78
Q

Lemme de stabilité d’un plan ou d’une droite par un endomorphisme réel

A

Soit E un R-espace vectoriel de dimension n sup 1. Soit f de L(E). Il existe alors une droite ou un plan (vectoriels) de E stable par f.

79
Q

Théorème réduction d’une isométrie vectorielle en base orthonormale

A

Soit f une isométrie de E. Il existe alors une base orthonormée B de E dans laquelle la matrice de f est de la forme: Matrice par bloc M=diag(Ip,-Iq,RØ1,…,RØs)
pour certains entiers naturels p, q, s, et où Ø1…,Øs sont des éléments de R\piZ

80
Q

Corollaire - Réduction d’une isométrie vectorielle directe d’un espace euclidien de dimension 3

A

On suppose que E est un espace euclidien orienté de dimension 3. Soit r de SO(E). Il existe un réel Ø et une base orthonormée directe de E dans laquelle la matrice de r est (C1,C2,C3) avec C1(cosØ,sinØ,0) C2(-sinØ,cosØ,0) et C3(0,0,1)

81
Q

Si f est une isométrie d’un espace euclidien orienté de dim 3, la détermination de m=dim(E1(f)) donne des infos intéressantes sur f

A

m=3 implique f=Ide
m=2 implique f est une réflexion
m=1 implique f est une rotation
m=0 implique f est la composée commutative d’une réflexion et d’une rotation, donc un automorphisme orthogonal négatif.

82
Q

Définition- Elément caractéristique d’une rotation vectorielle de l’espace

A

Dans le contexte du corollaire précédent, si E1(r) est une droite vectoriel D orientée par un vecteur unitaire u, alors la droite E1(r) est appelée axe de la rotation r (orientée par u)
De plus Ø est uniquement defini modulo 2pi et indépendant de la base orthonormée directe de la forme (e1,e2,u) dans laquelle la matrice de r est réduite. Le réel Ø est appelé mesure d’angle de la rotation r d’axe D orienté par u.
Bien sur, orienté D par -u revient a changer Ø en -Ø. La forme réduite justifie donc a postériori la terminologie “rotation”

83
Q

Si E1(r) n’est pas une droite

A

alors r=IdE. Si r diff IdE, on peut trouver Ø (modulo(2pi)) en considérant la trace de r (qui donnera cos(Ø)) et en regardant l’effet de r sur un vecteur non situé sur l’axe de r (ce qui donnera le signe de sin(Ø))

84
Q

Définition - Endomorphisme symétrique d’un espace euclidien

A

Un endomorphisme u de E est dit symétrique si pour tout x,y de E², (u(x)|y)=(x|u(y))

85
Q

Endomorphisme symétrique, structure

A

L’ensemble des endomorphismes symétriques de E est un sous-espace vectoriel de L(E)

86
Q

Exemple - Endomorphisme symétrique (2)

A

Les symétries orthogonales et les projecteurs orthogonaux sont des endomorphismes symétriques. ATT cependant, un projecteur ortho n’est pas une symétrie vectorielle (ie un endo involutif) sauf dans le cas exceptionnelle ou il vaut IdE.
Si F est un ss-ev de E stable par un endo symétrique u, alors u induit un endo symétrique sur F.

87
Q

Soit (e1,…,en) une base de E. L’endomorphisme u de E est symétrique ssi

A

pt (i,j) de [|1,n|] (u(ei)|ej)=(ei|u(ej))

88
Q

Proposition, lien avec les matrices symétriques réelles

A

Soit u de L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes:

1) u est symétrique
2) Il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est symétrique
3) Dans toute base orthonormée de E, la matrice de u est symétrique.

L’ensemble des endo symétriques de E (de dim sup 2) n’est pas stable par composition

89
Q

Proposition - caractérisation des projecteurs orthogonaux

A

Soit p un projecteur de E. Ce projecteur est orthogonal ssi p est symétrique.

90
Q

Une autre caractérisation des projecteurs orthogonaux

A

Soit E un espace euclidien et p un projecteur de L(E). On a les assertions suivantes équivalentes :

1) p est un projo orthogonal
2) pt x de E, ||p(x)|| inf ||x||

91
Q

Proposition- Stabilité de l’orthogonal d’un sous espace stable

A

Soit F un sous espace vectoriel de E, stable par un endomorphisme symétrique u. Le sous espace FT est alors également stable par u

92
Q

Lemme d’orthogonalité de sous-espace propre pour un endomorphisme symétrique

A

Deux sous espaces propres d’un endomorphisme symétrique associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

93
Q

Lemme d’existence d’une valeur propre pour un endomorphisme symétrique

A

Soit u un endomorphisme symétrique de l’espace euclidien E de dim nsup1. Le spectre (réel) de u est alors non vide.

94
Q

Théorème spectral

A

Si u est un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien E, alors E est somme direct orthogonale des sous-espaces propres de u; de manière équivalente, il existe une base orthonormale diagonalisant u

95
Q

Interprétation matricielle du théorème spectral

A

Matriciellement, le théorème spectral peut s’exprimer ainsi: pour toute patrice symétrique réel M de Sn(R), il existe une matrice diagonale réelle D et une matrice orthogonale P tq M=P-1DP=tPDP

96
Q

Demo inégalité de parseval (approximation des projetés orthogonaux)

A

Soit (en)ndeN une suite orthonormale d’éléments de l’espace préhilbertien E de dim infinie. Pour tout n de N, soit pn le projecteur orthogonal de E sur Vect(e1,…,en). Pour tout x de E, (pn(x))ndeN converge alors vers x. et (inégalité de Parseval), som(0,8)(en|x)²=||x||²

Par l’absurde : pt ndeN, soir fn=vect(e0,…,en). On suppose qu’il existe x de E tq (pn(x))ndeN ne converge pas vers x. pt n de N, ||x-pn(x)||=d(x,Fn) or FnCFn+1 donc d(x,Fn+1)infd(x,Fn), par conséquent, la suite réelle positive (d(x,Fn))ndeN, est décroissante positive mais ne converge pas vers 0 car (pn(x))ndeN ne tends pas vers x, donc (d(x,Fn))ndeN converge vers un reel @ positif, et pt n, 0 inf @inf d(x,fn) ie pt ndeN, pt ydeFn, 0 inf @ inf d(x,y) ie 0 inf @ inf d(x,vect(e0,…,en))) or U(ndeN)fn=vect(en)ndeN et 0 inf @inf d(x,vect(en)) puis 0 inf @inf d(x,_vect(en)) (=0) donc absurde,

97
Q

Notion d’orientation

A

Orientation d’un Rev de dim ndeN. Soit B et B’ des bases de E, On dit que B’ a meme orientation que B si det(PBsurB’) sup 0 strictement cela def une relation d’équivalence sur les bases de E, Et PBsurB’ = MB(f) avec f l’endomorphisme envoyant B sur B’
Det B’ = detBi(B)detB et detB’(B)=det(PB’surB)

98
Q

Comment peut on tester matriciellement l’orthogonalité d’un endomorphisme

A

Etant donné un endomorphisme f de E
euclidien de dimension n, il est intéressant de pouvoir tester matriciellement son orthogonalité. Cela se fait bien si la base B = (e1,…, en) dans laquelle on exprime f est orthonormée. On suppose donc B orthonormée.
Grace a l’interprétation matricielle du produit scalaire, on a, en notant M = MB(f) et C1,…,Cn les
colonnes de M, pour tout (i; j) de [[1; n]]² :
(f(ei)jf(ej)) = (tCi)Cj

99
Q

Comment montrer que SO(n) est connexe par arc

A

On montre que tous les elts de SO(n) peuvent etre joint a In. Soit A de SO(n), on utilise la réduction des isométries, il existe P, p,q,s de N, et @1,…,@s de R\piZ tq A=P-1diag(Ip,-Iq,R(@1)…R(@s))P de plus detA=1 dnc q est pair ie q=2k on regroupe chaque elts de -Iq en bloc de 2 ac R(pi), puis on considère phi de [0,1] dans SO(n) qui a t associe P-1diag(Ip,R(tpi)…R(tpi),R(t@1),…,R(t@s))P, on a bien phi(0)=In et phi(1) = A et phi continue

Maths (28 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions