Espace préhilbertiens réels Flashcards
1
Q
Contexte
A
Dans ce chapitre, le corps de base des espaces vectoriels considérés est R. L’objectif est de donner un cadre formel a la géométrie euclidienne. Cette axiomatisation de la notion d’orthogonalité sera aussi de grande utilité en analyse. Notamment dans le cadre des approximations de fonctions. E désignera un R-espace vectoriel.
2
Q
Définition - Application (définie) positive
A
Une application f de E² dans R est dite positive si pt x de E, f(x,x) sup 0
Dans ce cas, f est dite définie positive si en outre, pt x de E, f(x,x)=0 implique x=0
3
Q
Définition - Produit scalaire
A
On dit qu’une application f de E² dans R est un produit scalaire (sur E) si f est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive.
On appelle espace préilbertien (réel) un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire.
on note (.|.) ou avec inf . |. sup
4
Q
Produit scalaire canonique dans R^n
A
Soit u=(u1,…,un) et v=(v1,…,vn) de R^n.
l’application qui a (u,v) associe som(0,n)uivi est e produit scalaire (usuelle/canonique) de R^n
5
Q
Produit scalaire canonique chez les polynômes
A
Soit P=som(i sup 0)aiX^i et Q=som(isup0)biX^i des polynômes réels. On pose (P|Q) = som(isup0) aibi (somme bien def puisque (anbn) est presque nulle) c’est le prod scalaire canonique des polynomes
6
Q
Produit scalaire sur C0([a;b])
A
(f,|g) renvoit integrale (a,b) fg
7
Q
Produit scalaire chez L²c(I,R) est l’ensemble des fonctions continues de carré intégrable sur I
A
(f|g) associe integrale(I) fg
8
Q
Produit scalaire sur l²(N,R) l’ensemble des suites réels telles que som un² converge
A
(u,v) associe som(0,8) unvn
9
Q
Quel est le produit scalaire si
w de I dans R+* est une fonction telle que pt n de N,
t associe t^nw(t) soit intégrable.
A
(P,Q) de R[X]² associe integrale (I) P(t)Q(t)w(t)dt est un produit scalaire.
10
Q
Quel est le produit scalaire chez ‘ensemble des fonctions 2pi-périodique
A
Soit E le R-espace vectoriel des applications f R dans R continues et 2pi-périodiques. L’application qui a (f,g) associe 1/2pi integrale (0,2pi) f(t)g(t)dt est un produit scalaire sur E
11
Q
Si F est un sous espace vectoriel de E préhilbertiens, que dire de F
A
le produit scalaire sur E induit une structure préhilbertienne a F
12
Q
Définition - Espace euclidien
A
Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie
13
Q
Exemple d’espace euclidien (ou pas)
A
Les espaces R² et R^3 muni de leurs produit scalaire usuels
L’espace C0([0,1]) muni de son produit scalaire n’est pas euclidien car pas de dim finie
14
Q
Proposition - Inégalité de Cauchy-Schwartz
A
On a pt (u,v) de E², (u|v)² inf (u|u)(v|v)
de plus, il y a égalité ssi (u,v) est liée
15
Q
Dans le cas R^n, euclidien canonique, comment s’écrit l’inégalité de Cauchy-Schwartz
A
(som(1,n)uivi)² inf ( som(1,n)ui²) (som(1,n)vi²)
16
Q
Inégalité de CS dans le cas intégrale
A
(integrale(a,b) f(t)g(t)dt)² inf (integrale(a,b)f(t)²dt)(integrale(a,b)g(t)²dt)
17
Q
Définition - Norme associé a un produit scalaire
A
On définit une norme sur E (dite norme associé au produit scalaire (.|.) en posant, pour tout vecteur u de E :
||u|| = def = ((u.u))^1/2 Dans le cas ou l’espace est euclidien, l’application ||.|| définie ci dessus est appelée norme associée (ou déduite du) produit scalaire (.|.)
Une telle norme est dite préhilbertienne ou euclidienne on dit aussi qu’elle dérive d’un produit scalaire
18
Q
Cauchy-Schwartz avec la norme plus seconde inégalité triangulaire
A
pt (u,v) de E², |(u|v)| inf ||u||||v||
puis comme pour toutes normes
| ||u|| - ||v|| | inf ||u+v|| ou encore | ||u||-||v|| | inf ||u-v||
19
Q
Exemple : norme euclidienne (dans R^n)
A
soit u de R^n, alors ||u||= ( som(1,n) ui² ) ^1/2
20
Q
Proposition - identité du parallélogramme
A
On a pour tout u,v de E², ||u+v|| + ||u-v|| = 2 ( ||u||² + ||v||² )
21
Q
Proposition - identité de polarisation
A
Pour tout u,v de E²,
(u|v) = 1/2 ( ||u+v||² -||u||² -||v||²) = 1/4 ( ||u+v||² - ||u-v||²) = 1/2 ( ||u||² + ||v||² - ||u-v||²)
Grace a elle, il y a autant d’informations dans la norme euclidienne que dans le prod scalaire: la connaissance de la norme permet de retrouver le produit scalaire
Cependant, ttes les normes ne sont pas issues d’un prod scalaire, elle le sont si la norme vérifie l’identité du parallélogramme.
22
Q
Définition - Vecteur orthogonaux
A
Deux vecteurs u et v de E sont dit orthogonaux si (u|v) = 0 on note alors parfois uTv
23
Q
Propriété sur les vecteurs orthogonaux en général
A
Le seul vecteur orthogonal a lui même est le vecteur nul.
Le seul vecteur orthogonal a tous les vecteurs de E est le vecteur nul
Pour le prod scalaire canonique de R[X], les polynômes pairs et impairs sont orthogonaux
Pour des fonctions de C0([-1;1]) pairs et impairs le produit (f,g) associe int(-1;1)f(t)g(t)dt est nul
Si on munit E de deux prod scalaires, deux vecteurs peuvent etre orthogonaux pour l’un et non pour l’autre.
24
Q
Définition - Famille orthogonale, orthonormée
A
On dit qu’une famille (ui)ideI de vecteurs de E est orthogonale si les ui sont orthogonaux deux a deux. Si de plus ils sont unitaires, la famille est alors dite orthonormale (ou orthonormée)
25
Proposition - Expression d'un produit scalaire en base orthonormée
On suppose que E est un espace euclidien de dimension n, soit B=(e1,...,en) une base orthonormée de E. Soit u=som(1,n)uiei et v=som(1,n)viei des vecteurs de E donnés avec leurs décomposition respective dans B. On a (u|v) = som(1,n)uivi et en particulier ||u||=(som(1,n)ui²)^1/2
26
Produit scalaire orthonormalisant une base
Soit E un R espace vectoriel de dim finie et B=(e1,...,en) une base de E.
Si on pose (u|v)=som(1,n)uivi pour tout u=som(1,n)uiei et v=som(1,n)viei de E alors on obtient un prod scalaire sur E pour lequel B est orthonormale
Ainsi, pour toute base d'un Rev de dim finie non nulle il existe un unique prod scalaire orthonormalisant cette base.
27
Exemple - Famille orthonormée
Dans tous les exemples de produits scalaires canoniques, ie dans R^n et R[X], la base canonique de l'espace sous-jacent est une base orthonormée, d'où leur nom.
28
Proposition - Liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls.
Une famille orthogonale constituée de vecteurs tous non nuls est libre. En particulier toute famille orthonormée de E est libre.
AInsi, (e1,...,ep) est une base orthonormée de E (de dim n) ssi n=p et pt(i,j) de [|1;n|]² (ei|ey)=deltaij
29
Proposition - Relation de Pythagore
Soit (ui)ideI une famille orthogonale. On a pour toute sous famille finie J de I: ||som(ideJ)ui||² = som(ideJ)||ui||²
Réciproquement si ||x+y||²=||x||² + ||y||² alors xTy cependant c'est faux pour trois vecteurs
30
Phia qui a x de E associe (a|x)
Ksi de E dans E*
c'est une forme linéaire sur E. Son noyau est E si a=0E et l'hyperplan constitué des vecteurs orthogonaux a a sinon.
De plus KSI de E dans E* qui a a associe phia est linéaire injective de E sur son dual E*
31
Proposition - Isomorphisme explicite entre un espace euclidien et son dual
On suppose E euclidien. L'application Ksi est alors un isomorphisme de E sur E*. EN particulier pour toute forme linéaire f sur E il existe un unique vecteur a de E tq f=phia ie pt x de E f(x)=(a|x)
32
Exemple- produit vectoriel
Dans R^3 euclidien canonique, fixons deux vecteurs u et v. l'application x assoice det(u,v,x) (det désigne le déterminant dans la base canonique) est une forme linéaire sur R^3, ce qui conduit a la définition du produit vectoriel u^v on a en particulier det(u,v,u^v)=(u^v|u^v)=||u^v||² sup 0
33
Proposition - Existence d'une base orthonormale dans un espace euclidien
Tout espace euclidien de dimension non nulle admet une base orthonormée.
(par rec)
34
Proposition - Décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée
Soit E un espace euclidien et B=(e1,...,en) une base orthonormée de E. Alors pour tous vecteur u de E on a u=som(1,n)(u|ei)ei
35
Remarque a propos de "Proposition - Décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée"
La relation n'est valable que si la base est orthonormée.
Si B=(e1,...,en) est une base orthonormée de E et si f est dans L(E) alors la matrice de f dans B est égale a ((f(ej)|ei))(1 inf i,j inf n)
36
Définition - Orthogonale d'une partie
Soit A une partie de E. On appelle orthogonal de A (dans E) et on note AT ou A° l'ensemble des vecteurs de E orthogonaux a tous les vecteurs de A; AT = def = {x de E, pt a de A (x|a) =0}
Deux parties A et B de E non vides sont dites orthogonales si : pt(a,b) de AxB, (a|b)=0
37
Exemple - Orthogonal d'une partie
{Oe}T = E et ET={OE}
Les sous espaces de Co([-1;1]) constitués respectivement des fonctions paires et impaires sont orthogonaux pour le produit scalaire (f,g) associe integrale (-1;1) f(t)g(t)dt
Si deux sous espaces vectoriels F et G de E sont supplémentaires et orthogonaux alors on obtient une base orthonormée de E en concaténant les bases orthonormées de F et de G.
38
Proposition - Propriété de l'orthogonale (6)
Soit A et B deux parties de E.
A et B sont orthogonales ssi AcBT (ssi BcAT)
Si AcB alors bTcAT
AcATT
AT est un ssev de E (même si A n'en est pas un)
AT=(Vect(A))T En particulier si F est engendré par (fi)ideI alors u appartient a FT ssi u est orthogonal à tous les vecteurs fi ideI
F et FT sont en somme direct
39
Définition - Supplémentaire orthogonale
Lorsque F (+) FT = E on appelle FT le supplémentaire orthogonale de F (dans E)
40
Proposition -Supplémentaire orthogonal d'un sous espace de dimension finie
Soit F un sous espace vectoriel de dimension fini de E. Les sous espaces F et FT sont alors bien supplémentaires.
41
Définition-Projecteur orthogonal, projection orthogonale
Lorsque F et FT sont supplémentaires on définit le projecteur orthogonal sur F comme le projecteur sur F parallèlement à FT: C'est un endomorphisme de E. On le note pf. pf induit un morphisme de E sur F, appelé projection orthogonale de E sur F.
42
Asymétrie des rôles entre F et son orthogonal
On présume que si F et FT sont supplémentaires, alors on peut définir le projecteur orthogonal pfT sur FT et que de plus, pf + pfT = idE
Cela est tt a fait correct, et on peut d'ailleurs aussi observer que dans ce cas, FTT=F.
Cependant il est aussi possible que FT et FTT soient supplémentaires sans que F et FT le soient. (ce qui revient a dire que l'inclusion de F ds FTT est stricte)
43
Proposition - Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormale
Cadre : F est de dim finie et B=(e1,...,en) en est une BON)
Le projecteur orthogonal pf sur F est donné , pour tout x de E, par pf(x) = som(1,n) (x|ei)ei
44
Proposition - Interprétation de la distance d'un vecteur à un sous-espace.
Cadre : F est de dim finie et B=(e1,...,en) en est une BON)
Soit u de E, la distance de u a F est notée d(u,F) et est définie par d(u,F)=inf{||u-x||, x de F}.
Le projeté orthogonal de u sur F est l'unique élément de F qui minimise la distance de u a F, ie tq pt x de F, d(u,v) inf d(u,x) et en particulier d(u,F)=||u-pf(u)||=||pfT(u)||
45
Calcul pratique de la distance
Comment, en pratique, calculer la distance d'un vecteur u a un sous espace F?
En dim finie, comem d(u,F)=||pfT(u)||, il est parfois avantageux de s'intéresser a pfT ( si par ex F est un hyperplan et qu'il est facile de trouver un vecteur non nul de FT). En suite, on peut tenter de trouver une BON, (e1,...,ep) de F pour exprimer pf(u). On a meme un raccourcis ds ce cas car Pythagore donne d(u,F)²=||u||² - som(1,p)(u|ei)²
L'autre approche consiste a déterminer pf(u) sans chercher une BON de F mais en le caractérisant comme unique vecteur v de F tq u-v soit ortho a tt vecteurs de F: on prends B non orthonormée, de F, on décompose v ds B v=som(1,p)@iei et on résout le système d'inconnues @i d'équations (u|ej)=(v|ej), une fois v déterminé, on calcul d(u,F)=||u-v||
46
Proposition - Inégalité de Bressel
Cadre : F est de dim finie et B=(e1,...,en) en est une BON)
Pour tout x de E. som(1,n)(x|ei)² inf ||x||²
Par conséquent si (en)ndeN, est une famille orthonormée, la série som(x|en)² est tjrs convergente, et sa somme est inf ou égale a ||x||²
47
Définition - Suite totale
Cadre : E est préhilbertien de dim infinie
Soit (en)ndeN une suite de vecteurs de E. On dit que cette suite est totale si Vect(ei, ideN) eest dense dans E. ie l'adhérence du vect est égale a E.
48
Proposition - Approximation par des projetés orthogonaux
Soit (en)ndeN une suite orthonormale d'éléments de l'espace préhilbertien E de dim infinie. Pour tout n de N, soit pn le projecteur orthogonal de E sur Vect(e1,...,en). Pour tout x de E, (pn(x))ndeN converge alors vers x. et (inégalité de Parseval), som(0,8)(en|x)²=||x||²
49
Exemple - Suite totale
```
Soit x de [a;b] dans R+*, une fonction continue, (a inf stricte b). On munit E = C([a;b],R) du produit scalaire donné par (f,g)deE² associe int([a;b]fgw
La familel (X^n)ndeN (où l'on a identifié un polynome avec la fonction qu'il induit sur [a,b]) est totale.
En effet, pour tout f de E, on a ||f|| inf [(b-a)||w||8,[a,b]]^1/2||f||8,[a,b] et le théorème de Weierstrass permet de conclure : pour f de E, il existe une suite (Pn)ndeN de polynômes tq (||f-Pn||8[a,b]) tende vers 0. Et donc tq (||f-Pn||) tende également vers 0.
```
50
Corollaire, (Supplémentaire orthogonal)
Cadre : E est un espace euclidien, F un sous espace vectoriel de E
On a E= F (+) FT et FTT = F
Lorsqu'une structure euclidienne intervient, le supplémentaire orthogonal d'un sous espace est souvent à privilégier par rapport aux autres supplémentaires.
La symétrie sf par rapport a F parallèlement a FT est appelée symétrie orthogonale par rapport a F.
51
Définition - Symétrie
On appelle réflexion de E tte symétrie orthogonale par rapport a un hyperplan de E.
52
Egalités avec F, Ker(sf-idE), FT etc ...
On a F=Ker(sf-IdE) et FT=Ker(sf+IdE)
En particulier si r est la réflexion par rapport a H, alors H est l'orthogonal de la droite Ker(r+IdE)
On a pfT=IdE-pf, sf=2pf-IdE, et sfT=-sf
53
Proposition - Ajout orthonormée à un hyperplan
Soit E euclidien de dim n de N*. on suppose disposer d'une base orthonormée B=(e1,...,en-1) d'un hyprplan H de E? Il existe alors exactement 2 vecteurs permettant de compléter B en une base orthonormée de E, ces deux vecteurs sont opposés.
54
Corollaire - Théorème de la base orthonormée incomplète .
Soit E euclidien de dim n de N*. Toute famille orthonormée de E se complète en une base orthonormée de E.
55
Proposition - Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt
Soit B=(ei)ideI une famille libre de E, ou I = [|1,n|] ndeN*. Il existe alors une unique famille orthonormale C=(fi)ideI, de E vérifiant :
1) pt k de I, Vect(f1,...,fk)=Vect(e1,...,ek)
2) pt k de I, (fk|ek) sup stricte 0
56
Définition - Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Dans ce contexte, on dit que C est l'orthonormalisé de (Gram)Schmidt de B.
57
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
| Remarque
On peut interpréter ce résultat de manière géométrique, f1 est le normalisé de e1, et pour tout k de I\{1}, fk est le normalisé de ek-pF(k-1)(ek) ou pF(k-1) désigne le projecteur orthogonal sur Fk-1=Vect(e1,..,ek-1). Puisque (f1,...,fk-1) est une BON de Fk-1, on a pF(k-1)(ek) = som(1,k-1)(ek|fi)fi de sorte que fk=[ek - som(1,k-1)(ek|fi)fi]/||ek-som(1,k-1)(ek|fi)fi
C'st un procédé couteux, c'est pourquoi il constitue un dernier recours, mieux vaut trouver des infos pertinentes sur la structure euclidienne avant d'y faire appel.
58
Définition-Endomorphisme orthogonal ou isométrie
Cadre - E est un espace euclidien non nul
Soit f de L(E), on dit que l'endomorphisme f de E est orthogonal ou que c'est une isométrie vectorielle s'il conserve la norme ie ||f(u)||=||u|| pt u de E.
59
Exemple - endomorphisme orthogonaux (3)
1) LEs applications IdE et -IdE sont des automorphismes orthogonaux de E
2) Plus généralement, toute symétrie orthogonale est un automorphisme orthogonal
3) Le seul projecteur orthogonal qui soit un endo orho de E est idE.
60
Proposition - Groupe orthogonal d'un espace euclidien
L'ensemble des automorphismes orthogonaux de E est un sous groupe de GL(E)
61
Définition-Groupe orthogonal d'un espace euclidien
L'ensemble des automorphismes orthogonaux de E est appelé groupe orthogonal de E noté O(E)
62
Proposition - Caractérisation des automorphismes orthogonaux
Soit f de L(E). Les propriétés suivantes sont équivalentes:
1) f est orthogonal
2) f conserve le produit scalaire (ie pt v,u deE (f(u)|f(v))=(u|v)
3) f transforme chaque base orthogonale de E en base orthonormale
4) f transforme une base orthonormale de E fixée en base orthonormale
63
Définition-Automorphisme orthogonaux positifs ou négatifs
Soit E un espace euclidien, f de O(E). On dit que f est un automorphisme orthogonal positif, ou une rotation (vectorielle) (resp. un automorphisme orthogonal négatif) si det(f) sup stricte 0 (resp det(f) inf stricte 0)
On note SO(E) ou O+(E) et appelle groupe spécial orthogonal de E, l'ensemble des automorphismes orthogonaux positifs de E, et O-(E) l'ensemble des automorphismes orthogonaux négatifs de E.
64
Proposition - Matrice orthogonales (5)
Soit M de Mn(R), les propriétés sont équivalentes :
1) MtM=In
2) tMM=In
3) M inversible, et M-1=tM
4) Les vecteurs colonnes de M forment une base orthonormale de R^n (euclidienne canonique)
5) Les vecteurs lignes de M forment une base orthonormale de R^n (euclidien canonique)
65
Définition - Matrice orthogonale
Lorsqu'une des (donc toutes) les conditions ci dessus sont réalisée, on dit que la matrice M est orthogonale.
66
Proposition - Groupe orthogonal d'indice n
L'ensemble O(n) des matrices orthogonales de taille n est un sous groupe de GLn(R)
67
Définition-Groupe orthogonal d'indice n
Le groupe O(n) est appelé groupe orthogonal d'indice n
Une matrice de O(n) est nécessairement de déterminant 1 ou -1 mais la récip est fausse
68
Définition - Groupe spécial orthogonal
Le groupe spécial orthogonal d'indice n, noté SO(n) ou O+(n) est l'ensemble des matrices orthogonales de taille n , de déterminant 1. On pose également O-(n)={M deO(n), det(M)=-1}Les matrices de SO(n) sont dites orthogonales positives. Les matrices de O-(n) sont dites orthogonales négatives.
Echanger 2 colonnes ou deux lignes d'une patrice ortho positive (resp négative) la change en une matrice ortho négative (resp positive). De même si on change une ligne ou une colonne en son opposée.
69
Comment voir si une matrice deM3(R) est ortho ?
On fait le prod scalaire des colonnes et il doit tjrs faire 0
70
Proposition - Lien entre automorphisme orthogonaux et matrice orthogonales
Soit f un endomorphisme de E, et M la matrice de f dans une base orthonormale. Les conditions suivantes sont équivalentes.
1) f est un automorphisme orthogonal de E
2) M est une matrice orthogonale
71
Rq a propos du lien entre matrice et endo ortho
Le lien entre matrices orthogonales et automorphisme orthogonaux s'effectue en base orthonormée.
Les groupes O(E) et O(n) donc sont isomorphes par choix d'une base orthonormale B de E via f associe Mb(f)
De meme pour SO(E) et SO(n). Les matrices orthogonales sont les matrices de passage entre base orthonormales.
Si f de O(E), alors det f=+-1 (recip fausse) de sorte que SO(E))={f de O(E), dt(f)=1} et O-(E)={f de O(E), det(f)=-1}
IdE de SO(E) mais -IdE appartient a l'un ou l'autre selon la parité de dimE
72
Proposition - Orthogonal d'un sous espace invariant par un automorphisme orthogonal
Soit phi de O(E) et F un sous espace vectoriel de E stable par phi. Le sous espace F est alors globalement invariant par phi ie phi(F)=F et FT est également globalement invariant par phi, donc stable.
73
Réduction des isométries vectorielles - Intro
Il st clair que le spectre d'une isométrie est inclus dans {-1,1}. On en déduit facilement qu'une isométrie est diagonalisable ssi c'est une symétrie vectorielle ( ie une involution)
74
Groupe orthogonal d'un espace euclidien E de dimension 2
On suppose notre espace orienté ie muni d'une base que l'on qualifie de direct. L'application det désignera le déterminant dans n'importe quel base orthonormée direct. La matrice de passage d'une base orthonormée a une autre est donc orthogonale positive si l'orientation est inchangée, orthogonale négative sinon.
75
Que dire de O(2) ?
On def R(@) = (C1,C2) avec C1=(cos@; sin@) C2=(-sin@;cos@) et S(@)=(C1;C2) avec C1=(cos@;sin@) C2=(sin@;-cos@) et on a O(2) = R(@)US(@) @de R a chaque fois.
SO(2)=R(@)
Les rotations non triviales (ie distinctes de l'identité) du plan E n'admettent aucun vecteur non nuls invariant) Tout autre automorphisme orthogonal de E admet un vecteur non nul invariant.
76
Que dire de l'application R qui a @associe R@
| Dim E =2
c'est un morphisme surjectif du groupe commutatif (R,+) sur SO(2) donc SO(2) est commutatif. Le noyau de R est 2piZ
77
Que dire des automorphismes orthogonaux négatifs du plan euclidien
Dim E = 2
Ce sont les réflexions (ici les hyperplans sont des droites). Plus précisément si S(@) est la matrice dans (e1,e2) de s de O(E) alors s est la symétrie orthogonale par rapport a R(cos(@/2)e1+sin(@/2)e2)
78
Lemme de stabilité d'un plan ou d'une droite par un endomorphisme réel
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n sup 1. Soit f de L(E). Il existe alors une droite ou un plan (vectoriels) de E stable par f.
79
Théorème réduction d'une isométrie vectorielle en base orthonormale
Soit f une isométrie de E. Il existe alors une base orthonormée B de E dans laquelle la matrice de f est de la forme: Matrice par bloc M=diag(Ip,-Iq,RØ1,...,RØs)
pour certains entiers naturels p, q, s, et où Ø1...,Øs sont des éléments de R\piZ
80
Corollaire - Réduction d'une isométrie vectorielle directe d'un espace euclidien de dimension 3
On suppose que E est un espace euclidien orienté de dimension 3. Soit r de SO(E). Il existe un réel Ø et une base orthonormée directe de E dans laquelle la matrice de r est (C1,C2,C3) avec C1(cosØ,sinØ,0) C2(-sinØ,cosØ,0) et C3(0,0,1)
81
Si f est une isométrie d'un espace euclidien orienté de dim 3, la détermination de m=dim(E1(f)) donne des infos intéressantes sur f
m=3 implique f=Ide
m=2 implique f est une réflexion
m=1 implique f est une rotation
m=0 implique f est la composée commutative d'une réflexion et d'une rotation, donc un automorphisme orthogonal négatif.
82
Définition- Elément caractéristique d'une rotation vectorielle de l'espace
Dans le contexte du corollaire précédent, si E1(r) est une droite vectoriel D orientée par un vecteur unitaire u, alors la droite E1(r) est appelée axe de la rotation r (orientée par u)
De plus Ø est uniquement defini modulo 2pi et indépendant de la base orthonormée directe de la forme (e1,e2,u) dans laquelle la matrice de r est réduite. Le réel Ø est appelé mesure d'angle de la rotation r d'axe D orienté par u.
Bien sur, orienté D par -u revient a changer Ø en -Ø. La forme réduite justifie donc a postériori la terminologie "rotation"
83
Si E1(r) n'est pas une droite
alors r=IdE. Si r diff IdE, on peut trouver Ø (modulo(2pi)) en considérant la trace de r (qui donnera cos(Ø)) et en regardant l'effet de r sur un vecteur non situé sur l'axe de r (ce qui donnera le signe de sin(Ø))
84
Définition - Endomorphisme symétrique d'un espace euclidien
Un endomorphisme u de E est dit symétrique si pour tout x,y de E², (u(x)|y)=(x|u(y))
85
Endomorphisme symétrique, structure
L'ensemble des endomorphismes symétriques de E est un sous-espace vectoriel de L(E)
86
Exemple - Endomorphisme symétrique (2)
Les symétries orthogonales et les projecteurs orthogonaux sont des endomorphismes symétriques. ATT cependant, un projecteur ortho n'est pas une symétrie vectorielle (ie un endo involutif) sauf dans le cas exceptionnelle ou il vaut IdE.
Si F est un ss-ev de E stable par un endo symétrique u, alors u induit un endo symétrique sur F.
87
Soit (e1,...,en) une base de E. L'endomorphisme u de E est symétrique ssi
pt (i,j) de [|1,n|] (u(ei)|ej)=(ei|u(ej))
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Proposition, lien avec les matrices symétriques réelles
Soit u de L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes:
1) u est symétrique
2) Il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de u est symétrique
3) Dans toute base orthonormée de E, la matrice de u est symétrique.
L'ensemble des endo symétriques de E (de dim sup 2) n'est pas stable par composition
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Proposition - caractérisation des projecteurs orthogonaux
Soit p un projecteur de E. Ce projecteur est orthogonal ssi p est symétrique.
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Une autre caractérisation des projecteurs orthogonaux
Soit E un espace euclidien et p un projecteur de L(E). On a les assertions suivantes équivalentes :
1) p est un projo orthogonal
2) pt x de E, ||p(x)|| inf ||x||
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Proposition- Stabilité de l'orthogonal d'un sous espace stable
Soit F un sous espace vectoriel de E, stable par un endomorphisme symétrique u. Le sous espace FT est alors également stable par u
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Lemme d'orthogonalité de sous-espace propre pour un endomorphisme symétrique
Deux sous espaces propres d'un endomorphisme symétrique associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
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Lemme d'existence d'une valeur propre pour un endomorphisme symétrique
Soit u un endomorphisme symétrique de l'espace euclidien E de dim nsup1. Le spectre (réel) de u est alors non vide.
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Théorème spectral
Si u est un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien E, alors E est somme direct orthogonale des sous-espaces propres de u; de manière équivalente, il existe une base orthonormale diagonalisant u
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Interprétation matricielle du théorème spectral
Matriciellement, le théorème spectral peut s'exprimer ainsi: pour toute patrice symétrique réel M de Sn(R), il existe une matrice diagonale réelle D et une matrice orthogonale P tq M=P-1DP=tPDP
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Demo inégalité de parseval (approximation des projetés orthogonaux)
Soit (en)ndeN une suite orthonormale d'éléments de l'espace préhilbertien E de dim infinie. Pour tout n de N, soit pn le projecteur orthogonal de E sur Vect(e1,...,en). Pour tout x de E, (pn(x))ndeN converge alors vers x. et (inégalité de Parseval), som(0,8)(en|x)²=||x||²
Par l'absurde : pt ndeN, soir fn=vect(e0,...,en). On suppose qu'il existe x de E tq (pn(x))ndeN ne converge pas vers x. pt n de N, ||x-pn(x)||=d(x,Fn) or FnCFn+1 donc d(x,Fn+1)infd(x,Fn), par conséquent, la suite réelle positive (d(x,Fn))ndeN, est décroissante positive mais ne converge pas vers 0 car (pn(x))ndeN ne tends pas vers x, donc (d(x,Fn))ndeN converge vers un reel @ positif, et pt n, 0 inf @inf d(x,fn) ie pt ndeN, pt ydeFn, 0 inf @ inf d(x,y) ie 0 inf @ inf d(x,vect(e0,...,en))) or U(ndeN)fn=vect(en)ndeN et 0 inf @inf d(x,vect(en)) puis 0 inf @inf d(x,_vect(en)) (=0) donc absurde,
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Notion d'orientation
Orientation d'un Rev de dim ndeN. Soit B et B' des bases de E, On dit que B' a meme orientation que B si det(PBsurB') sup 0 strictement cela def une relation d'équivalence sur les bases de E, Et PBsurB' = MB(f) avec f l'endomorphisme envoyant B sur B'
Det B' = detBi(B)detB et detB'(B)=det(PB'surB)
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Comment peut on tester matriciellement l'orthogonalité d'un endomorphisme
Etant donné un endomorphisme f de E
euclidien de dimension n, il est intéressant de pouvoir tester matriciellement son orthogonalité. Cela se fait bien si la base B = (e1,..., en) dans laquelle on exprime f est orthonormée. On suppose donc B orthonormée.
Grace a l'interprétation matricielle du produit scalaire, on a, en notant M = MB(f) et C1,...,Cn les
colonnes de M, pour tout (i; j) de [[1; n]]² :
(f(ei)jf(ej)) = (tCi)Cj
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Comment montrer que SO(n) est connexe par arc
On montre que tous les elts de SO(n) peuvent etre joint a In. Soit A de SO(n), on utilise la réduction des isométries, il existe P, p,q,s de N, et @1,...,@s de R\piZ tq A=P-1diag(Ip,-Iq,R(@1)...R(@s))P de plus detA=1 dnc q est pair ie q=2k on regroupe chaque elts de -Iq en bloc de 2 ac R(pi), puis on considère phi de [0,1] dans SO(n) qui a t associe P-1diag(Ip,R(tpi)...R(tpi),R(t@1),...,R(t@s))P, on a bien phi(0)=In et phi(1) = A et phi continue
