Démonstrations Programme Lycée

Question 1

le projeté orthogonal du point M sur la droite Δ est le point de la droite Δ le plus proche du point M.

Answer 1

Prendre un point A quelquonque sur la droite et utiliser Pythagore

Question 2

L’ensemble des nombres premiers est infini

Answer 2

Par l’absurde, considérer un nombre fini de nombres premiers et montrer que p=p1p2…*pn +1 est divisible par un nombre premier différent

Question 3

Identité de Bezout
Théorème de Bezout

Answer 3

prendre un sous ensemble de N constitués des nombre s’ecrivant au+bv et prouver que son plus petit élement est le pgcd(a,b) ( en prouvant que d0/d; et d/d0 et d0 et d sont tous les deux strictement positifs
Réciproque: d divise a et b il divise 1 c’est donc soit 1 soit -1

Question 4

relation ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(1/a = - ln(a)

calcul de la fonction dérivée de ln u, de exp u

Answer 4

prendre le logarithme comme la primitive de 1/x qui s’annule en 1
puis dériver ln(ax) et deux primitives diffèrent d’une constante

dérivée de fonctions composée à redémontrer en repassant à la definition

Question 5

Relation trigonométrique cos²(α)+sin²(α) = 1 dans un triangle rectangle.

Answer 5

utiliser la definition du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle et appliquer Pythagore

Question 6

théorème de Gauss

Answer 6

utiliser le théorème de Bezout a et b premiers entre eux donc au+bv=1 donc auc+bvc=c….

Question 7

démonstration des formules d’addition par la trigo

Answer 7

prendre un repère orthonormal d’origine le centre du cercle trigo placer deux point d’angles a et b et calculer le produit scalaire de deux manières

Question 8

en utilisant le déterminant, établir la forme générale d’une équation de droite

Answer 8

Le repère n’est pas nécessairement orthonormé.Prendre la definition affine d’une droite ( A,u) et caracteriser par le determinant.

Question 9

le nombre de solutions d’une équation polynomiale est inférieur ou égal à son degré

Answer 9

Par reccurence sur le degré de n et par disjonction de cas si le polynome n’a pas de racine, si le polynome a au moins une racine

Question 10

démonstration de la relation de Pascal (par le calcul, par une méthode combinatoire)

Answer 10

dans un arbre succès-echec à n niveaux.. il y’a…. chemins commençant par un échec et aboutissant à k succès et … chemins commencant par un succès…

Mise sous le même dénominateur

Question 11

équation cartésienne du plan normal au vecteur n et passant par le point A

Answer 11

n est normal à P donc orthogonal à tout vecteur de P d’origine A

Question 12

deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle différent d’une constante

Answer 12

La fonction F-G a une dérivée nulle

Question 13

Théorème des valeurs intermédiaires

Answer 13

Par dichotomie en construisant deux suites adjacentes an et bn telles que f(an) et f(bn) convergent vers k et
puis comme f continue on compose et on prouve que f(c)=k par encadrement

Question 14

Étudier la position relative des courbes d’équation y = x, y = x², y = x3, pour x⩾0

variation des fonctions carré, inverse, racine carrée.

Answer 14

Faire la différence des fonctions et résoudre par un tableau de signes

a>b=> (b^^2-a^^2=….) puis tableau de signes
idem pour les autres , penser à la difference.

Question 15

pour une valeur numérique de a, la somme de deux multiples de a est un multiple de a

Answer 15

revenir à la définition

Question 16

calcul du terme général d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique

calcul de 1 + 2 + … + n

calcul de 1 + q + … + q^^n

Answer 16

par récurrence

en regroupant la double somme

en multipliant la somme par 1-q , penser à la factorisation de a^^n-b^^n

Question 17

Pour a et b réels positifs, illustration géométrique de l’égalité (a+b)² = a²+2ab+b²

Answer 17

faire des carrés de côté a et de côté b dans un carré de côté (al+b)

Question 18

ensemble des points M tels que MA.MB = 0 (démonstration avec le produit scalaire)

Answer 18

cercle de diamètre AB , prendre I milieu de AB

Question 19

• calcul de la fonction dérivée de la fonction ln, la dérivabilité étant admise
• limite en 0 de x → x ln(x)

Answer 19

utiliser l’exponentielle ( dérivée composée et limites composées)

Question 20

calcul de sin π/4, cos π/3, sinπ/3

Answer 20

diagonale du carré, triangle isocèle et Pythagore.
Triangle équilateral

Question 21

Formule du binôme (dans R et dans C)

Answer 21

changement d’indices et utilisation de la relation de Pascal

Question 22

démonstration par dénombrement de la relation : ∑ (n,k) =2^^n

Answer 22

le nombre de parties d’un ensemble est constitué de parties à 0,1,2…. n élements

Question 23

• résolution de l’équation différentielle y’ = ay où a est un nombre réel
  puis y’=ay+b

Answer 23

Commencer par la double implication kexp(ax) est solution puis toutes les solutions sont grace à la fonction fi=g(x)exp(-ax)

equation homogene + equation sans second membre

Question 24

Quels que soient les réels positifs a et b, on a √ab = √a √b
Si a et b sont des réels strictement positifs, √(a+b) < √a + √b

Answer 24

élever au carré

Question 25

toute suite croissante non majorée tend vers +∞

Answer 25

passer à la définition de non majorée et de suite divergente.

Question 26

Nombres complexes : point de vue géométrique
formule |z|² = zz ̅. Module d’un produit. Module d’une puissance.

Answer 26

Repasser à la definition du module
elever au carré , et recurrence

Question 27

croissance comparées de x → xn et exp en +∞

Answer 27

penser au developpement en serie entière de exp(x) pour retenir comment commencer

commencer par exp(x)/x >=x^^2/2 ( de nouveau faire la difference et tableau de variation

puis utiliser exp (x/n+1) >= (x/n+1)+1

Question 28

divergence vers +∞ d’une suite minorée par une suite divergeant vers +∞

limite en +∞ et en -∞ de la fonction exponentielle

Answer 28

n2=max (n0,n1)

montrer que e(x)>=x+1 (etude de la difference !)

Question 29

caractérisation d’une loi géométrique par l’absence de mémoire

Answer 29

P(X>k)(X>k+l)=P(X>l) , revenir à la definition de P(x>k+l) et aux probabilités conditionelles

Question 30

Nombres complexes : point de vue algébrique
* conjugué d’un produit, d’un inverse, d’une puissance entière

Answer 30

Passer à l’ecriture algebrique , puis reccurence

Question 31

• intégration par partie

Answer 31

integrer (uv)’

Question 32

le nombre rationnel 1/3 n’est pas décimal

le nombre réel √2 est irrationnel

Answer 32

Revenir à l’écriture d’un nombre décimal puis par l’absurde

Par l’absurde , et en utilisant la propriété n carré pair implique n pair

Question 33

le projet orthogonal d’un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M

Answer 33

Prendre un point quelconque du plan et appliquer pythagore

Question 34

expression de la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli

espérance et variance de la loi binomiale

Answer 34

Nombre de chemins à k succès

inéarité et Variables aléatoires indépendantes

Question 35

deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul

Answer 35

Commencer par ecarter les vecteurs nuls de l’étude ( colinéaires à tout vecteur) montrer ensite la double implication en raisonnant par disjonction de cas : x=0 , x!=0

Question 36

équation de la tangente en un point à une courbe représentative

Answer 36

y=ax+b

Question 37

la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0

fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse

fonction dérivée d’un produit

Answer 37

repasser à la definition

Question 38

*espérance d’une variable aléatoire uniforme sur {1, 2, …, n}

Answer 38

Loi normale f(x)=1/(b-a) sur l’intervalle [a,b] 0 ailleurs
F(x)= intégrale généralisée de f
E(x)= intégrale généralisée de x*f(x)

Intégrale généralisée de x*1/(b-a)

Intégrale généralisée de x*(1/b-a -E(x))^^2

Question 39

factorisation de z^n – an par z – a.
Factorisation de P(z) par z – a si P(a) = 0

Answer 39

la 1ere est evidente, la 2nde utilise la première en faisant P(z)-P(a)=P(z)

Question 40

formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire)

Answer 40

identités de polarisation

Question 41

limite de (qn), après démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli

Answer 41

(1+a)^^n>=1+na

Question 42

pour une fonction positive croissante (ou décroissante) f sur [a,b], la fonction x → ∫f(t)dt (entre a et x) est une primitive de f. pour toute primitive F df, relation ∫f(x)dx (entre a et b)= F(b) – F(a)

Answer 42

encadrement par des fonctions en escalier

Question 43

détermination de l’ensemble Un (racines de l’unité)

Answer 43

passer à l’écriture exponentielle d’un nombre complexe et résoudre , puis comme θ ϵ [0, 2π[ k ϵ [0,n-1]

Question 44

racines d’une fonction du second degré démo

Answer 44

forme canonique

Question 45

dérivée des fonctions usuelles
uv
uov
u-1

Answer 45

(f(a+h)-f(a))/h

Question 46

Médianes concourent au centre de gravité

Answer 46

poser GA+GB++GC=0 où g est le centre de gravité, il existe car si on fixe O… OG=… et prouver qu’il appartient aux 3 médianes par les vecteurs

Question 47

Théorème du toit

Answer 47

Par l’absurde , si les droites ne sont pas parallèlees alors les plans le sont.