Démonstrations Programme Lycée Flashcards
le projeté orthogonal du point M sur la droite Δ est le point de la droite Δ le plus proche du point M.
Prendre un point A quelquonque sur la droite et utiliser Pythagore
L’ensemble des nombres premiers est infini
Par l’absurde, considérer un nombre fini de nombres premiers et montrer que p=p1p2…*pn +1 est divisible par un nombre premier différent
Identité de Bezout
Théorème de Bezout
prendre un sous ensemble de N constitués des nombre s’ecrivant au+bv et prouver que son plus petit élement est le pgcd(a,b) ( en prouvant que d0/d; et d/d0 et d0 et d sont tous les deux strictement positifs
Réciproque: d divise a et b il divise 1 c’est donc soit 1 soit -1
relation ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(1/a = - ln(a)
calcul de la fonction dérivée de ln u, de exp u
prendre le logarithme comme la primitive de 1/x qui s’annule en 1
puis dériver ln(ax) et deux primitives diffèrent d’une constante
dérivée de fonctions composée à redémontrer en repassant à la definition
Relation trigonométrique cos²(α)+sin²(α) = 1 dans un triangle rectangle.
utiliser la definition du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle et appliquer Pythagore
théorème de Gauss
utiliser le théorème de Bezout a et b premiers entre eux donc au+bv=1 donc auc+bvc=c….
démonstration des formules d’addition par la trigo
prendre un repère orthonormal d’origine le centre du cercle trigo placer deux point d’angles a et b et calculer le produit scalaire de deux manières
en utilisant le déterminant, établir la forme générale d’une équation de droite
Le repère n’est pas nécessairement orthonormé.Prendre la definition affine d’une droite ( A,u) et caracteriser par le determinant.
le nombre de solutions d’une équation polynomiale est inférieur ou égal à son degré
Par reccurence sur le degré de n et par disjonction de cas si le polynome n’a pas de racine, si le polynome a au moins une racine
démonstration de la relation de Pascal (par le calcul, par une méthode combinatoire)
dans un arbre succès-echec à n niveaux.. il y’a…. chemins commençant par un échec et aboutissant à k succès et … chemins commencant par un succès…
Mise sous le même dénominateur
équation cartésienne du plan normal au vecteur n et passant par le point A
n est normal à P donc orthogonal à tout vecteur de P d’origine A
deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle différent d’une constante
La fonction F-G a une dérivée nulle
Théorème des valeurs intermédiaires
Par dichotomie en construisant deux suites adjacentes an et bn telles que f(an) et f(bn) convergent vers k et
puis comme f continue on compose et on prouve que f(c)=k par encadrement
Étudier la position relative des courbes d’équation y = x, y = x², y = x3, pour x⩾0
variation des fonctions carré, inverse, racine carrée.
Faire la différence des fonctions et résoudre par un tableau de signes
a>b=> (b^^2-a^^2=….) puis tableau de signes
idem pour les autres , penser à la difference.
pour une valeur numérique de a, la somme de deux multiples de a est un multiple de a
revenir à la définition
calcul du terme général d’une suite arithmétique, d’une suite géométrique
calcul de 1 + 2 + … + n
calcul de 1 + q + … + q^^n
par récurrence
en regroupant la double somme
en multipliant la somme par 1-q , penser à la factorisation de a^^n-b^^n
Pour a et b réels positifs, illustration géométrique de l’égalité (a+b)² = a²+2ab+b²
faire des carrés de côté a et de côté b dans un carré de côté (al+b)
ensemble des points M tels que MA.MB = 0 (démonstration avec le produit scalaire)
cercle de diamètre AB , prendre I milieu de AB
- calcul de la fonction dérivée de la fonction ln, la dérivabilité étant admise
- limite en 0 de x → x ln(x)
utiliser l’exponentielle ( dérivée composée et limites composées)
calcul de sin π/4, cos π/3, sinπ/3
diagonale du carré, triangle isocèle et Pythagore.
Triangle équilateral
Formule du binôme (dans R et dans C)
changement d’indices et utilisation de la relation de Pascal
démonstration par dénombrement de la relation : ∑ (n,k) =2^^n
le nombre de parties d’un ensemble est constitué de parties à 0,1,2…. n élements
- résolution de l’équation différentielle y’ = ay où a est un nombre réel
puis y’=ay+b
Commencer par la double implication kexp(ax) est solution puis toutes les solutions sont grace à la fonction fi=g(x)exp(-ax)
equation homogene + equation sans second membre
Quels que soient les réels positifs a et b, on a √ab = √a √b
Si a et b sont des réels strictement positifs, √(a+b) < √a + √b
élever au carré
toute suite croissante non majorée tend vers +∞
passer à la définition de non majorée et de suite divergente.
Nombres complexes : point de vue géométrique
formule |z|² = zz ̅. Module d’un produit. Module d’une puissance.
Repasser à la definition du module
elever au carré , et recurrence
croissance comparées de x → xn et exp en +∞
penser au developpement en serie entière de exp(x) pour retenir comment commencer
commencer par exp(x)/x >=x^^2/2 ( de nouveau faire la difference et tableau de variation
puis utiliser exp (x/n+1) >= (x/n+1)+1
divergence vers +∞ d’une suite minorée par une suite divergeant vers +∞
limite en +∞ et en -∞ de la fonction exponentielle
n2=max (n0,n1)
montrer que e(x)>=x+1 (etude de la difference !)
caractérisation d’une loi géométrique par l’absence de mémoire
P(X>k)(X>k+l)=P(X>l) , revenir à la definition de P(x>k+l) et aux probabilités conditionelles
Nombres complexes : point de vue algébrique
* conjugué d’un produit, d’un inverse, d’une puissance entière
Passer à l’ecriture algebrique , puis reccurence
- intégration par partie
integrer (uv)’
le nombre rationnel 1/3 n’est pas décimal
le nombre réel √2 est irrationnel
Revenir à l’écriture d’un nombre décimal puis par l’absurde
Par l’absurde , et en utilisant la propriété n carré pair implique n pair
le projet orthogonal d’un point M sur un plan P est le point de P le plus proche de M
Prendre un point quelconque du plan et appliquer pythagore
expression de la probabilité de k succès dans le schéma de Bernoulli
espérance et variance de la loi binomiale
Nombre de chemins à k succès
inéarité et Variables aléatoires indépendantes
deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul
Commencer par ecarter les vecteurs nuls de l’étude ( colinéaires à tout vecteur) montrer ensite la double implication en raisonnant par disjonction de cas : x=0 , x!=0
équation de la tangente en un point à une courbe représentative
y=ax+b
la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0
fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse
fonction dérivée d’un produit
repasser à la definition
*espérance d’une variable aléatoire uniforme sur {1, 2, …, n}
Loi normale f(x)=1/(b-a) sur l’intervalle [a,b] 0 ailleurs
F(x)= intégrale généralisée de f
E(x)= intégrale généralisée de x*f(x)
Intégrale généralisée de x*1/(b-a)
Intégrale généralisée de x*(1/b-a -E(x))^^2
factorisation de z^n – an par z – a.
Factorisation de P(z) par z – a si P(a) = 0
la 1ere est evidente, la 2nde utilise la première en faisant P(z)-P(a)=P(z)
formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire)
identités de polarisation
limite de (qn), après démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli
(1+a)^^n>=1+na
pour une fonction positive croissante (ou décroissante) f sur [a,b], la fonction x → ∫f(t)dt (entre a et x) est une primitive de f. pour toute primitive F df, relation ∫f(x)dx (entre a et b)= F(b) – F(a)
encadrement par des fonctions en escalier
détermination de l’ensemble Un (racines de l’unité)
passer à l’écriture exponentielle d’un nombre complexe et résoudre , puis comme θ ϵ [0, 2π[ k ϵ [0,n-1]
racines d’une fonction du second degré démo
forme canonique
dérivée des fonctions usuelles
uv
uov
u-1
(f(a+h)-f(a))/h
Médianes concourent au centre de gravité
poser GA+GB++GC=0 où g est le centre de gravité, il existe car si on fixe O… OG=… et prouver qu’il appartient aux 3 médianes par les vecteurs
Théorème du toit
Par l’absurde , si les droites ne sont pas parallèlees alors les plans le sont.
