8. Congruences dans Z Flashcards
Plan
0Introduction
a. Le vocabulaire des congruences (calendrier, ou horloge) (cf. Hyperbole)
b. Le théorème de la division euclidienne
=> Un premier exercice : prouver que n(n2+5) est divisible par 3
I) Congruences dans Z
1. Définition
2. Propriétés
a. Relation d’équivalence
b. Propriété fondamentale : caractérisation de la relation d’équivalence
c. Opérations sur les congruences
- Inversibles modulo n
Résolution d’équation avec les congurences dans Z et cryptage affine (cf. Hyperbole)
II) Applications
1. Règles de divisibilité (3,7,9,11…) ( en faire une en exemple au tableau)
2. Triplet pythagoricien divisibles par 60
3. Le petit théorème de Fermat
Codage avec Fermat (cf. Hyperbole)
4. Théorème des restes chinois (cf. Hyperbole)
Théorème de la divisieu Euclidienne dans Z
le démontrer dans N puis disjonction suivant les cas a<0…. considerer r1= b-r quand a est négatif
n(n^2+5) est divisible par 3
Raisonner avec les restes de la division euclidienne par 3
Caracterisation de la relation de congruence
grace au théorème de la division euclidienne
Opérations sur les congruences
Repasser à la caracterisation
Regle de divisibilité par 11
Somme alternée des chiffres ( en partant de 10 puissance 0 ) est divisible par 11 repasser à l’écriture en base 10 et raisonner modulo 11
Petit téhorème de Fermat?
par recurrence sur a en prouvant tout d’avord (a+1)^p congru à a^p+1 (modulo p)
Théorème des restes chinois
coefficient de bezout et inversibles modulo n