10. Utilisation des nombres complexes en géométrie

Question 1

Plan

Answer 1

Leçon 10: Utilisation des nombres complexes en géométrie

I) Distance et angle
	1) Définitions 
	2) Propriété : Argument entre deux vecteurs
	3) Caractérisation de l'orthogonalité et de l'alignement
	4) Ex : démontrer le cas d'égalité dans l'inégalité de Minkovski
	
II) Transformations du plan
	1) Translation
	2) Rotation
	3) Homothétie
	4) Ex: Etude d'une similitude 
	
III) Nombres complexes et constructions géométriques
	1) Racines nième de l'unité
	2) Exercice Construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas
	
IV) Recherche de lieux géométriques
	1) Caractérisation du cercle
	2) Médiatrice d'un segment Exercice d'application, recherche d'un lieu géométrique

Question 2

z * z’barre en fonction du produit scalaire

Answer 2

z*z’barre= u.v + det(u,v)

Question 3

passage des coordonnées cartesienne aux coordonées polaire

Answer 3

on choisit r=+- sqrt(x^2+y^2)
et on a ensuite cosϴ= x/r sinϴ=y/r
ce qui nous donne un couple (r, ϴ) unique pour r>0 par exemple.

Question 4

Caracterisation de l’alignement , de l’othogonalité par les complexes

Answer 4

penser à Arg(Z’/Z)

Question 5

Inégalité de Minkowski , démonstration , cas d’égalité ?

Answer 5

Cauchy Scwartz, puis équivalence , égalité si colinéaire et de même sens

Question 6

Caracterisation d’une similitude par les complexes

Answer 6

translation si a=1
sinon possède un unique point fixe + composée rotation, homotétie de centre le point fixe de rapport |a| et d’argument Arg(a)

Question 7

Démo racines nième de l’unité

Answer 7

revenir à la notation exponentielle et considérer ϴ entre [0,2pi[

Question 8

Droite d’Euler par les complexes

Answer 8

savoir redémontrer