6. Multiples et diviseurs dans N, Nombres premiers

Question 1

Plan

Answer 1

I. Multiples et diviseurs dans N
1. Définition
2. Règles de divisibilité ( 3,5,7,9,11)
3. Division euclidienne dans N, théorème
4. PGCD
a. Définition
b. Lemme d’Euclide D(a;b)=D(b;r)
c. Algorithme d’Euclide
d. Les diviseurs communs de a et b sont les diviseurs de PGCD(a;b)

II. Conséquence du PGCD
1. Identité de Bezout
2. Nombres premiers entre eux
3. Théorème de Gauss

III. Nombre premiers entre eux
1. Définition
2. Théorème de Bezout
3. Théorème de Gauss

IV. Nombres Premiers
1. Definition
2. Plus petit diviseur premier,Crible d’Eratosthene
3. Infinité de nombres premiers
4. Théorème fondamental de l’arithmétique
a. Tout entier naturel est premier ou produit de nombres premiers
b. Unicité de la décomposition
c. Expression du pgcd et du ppcm

V. Petit théorème de Fermat et applications
1. Enoncé du théorème
2. Nombres de Carmichael
3. Coder à l’aide du théorème de Fermat
4. Enigmes et nombres premiers

Question 2

Démonstration des règles de divisibilité

Answer 2

revenir à l’écriture en base 10 et/ou utiliser les congruences

Question 3

Démonstration du théorème de la division euclidienne dans N

Answer 3

existence :Considérer l’ensemble E des entiers naturels tels que nb<=a , possède un plus petit élément q…
unicité: r-r’ divise b |r-r’|<b

Question 4

Algo d’Euclide

Question 5

les diviseurs de deux nombres entiers sont les diviseurs du PGCD

Answer 5

par l’algo d’Euclide

Question 6

Théorème de Gauss : demo

Answer 6

Avec bezout auc+bcv=c

Question 7

Tout nombre >=2 possède au moins un diviseur premier + crible d’eratostene

Answer 7

considérer l’ensemble des k tel que k divise n et montrer que son plus petit élement est p en raisonnant par l’absurde

n=pq , 2<=p<=q => p<= sqrt(n)

Question 8

Infinité de nombre premiers

Answer 8

N!+1

Question 9

Théorème fondamental de l’arithmétique

Answer 9

par reccurence forte sur n , n=pq…

Question 10

Décompo unique en produits de facteurs premiers

Answer 10

décomposer en en produits de pi^ai et pi^bi si ai≠bi on suppose ai>bi et on divise n par pi^ai et onntien en facteur pi qui divise un produit de nombres premier

Question 11

Petit théorème de Fermat

Answer 11

par reccurence sur a et (a+1)^p congru à a^p+1 (modulo p)