31. Théorème des valeurs intermédiaires

Question 1

PLAN

Answer 1

Niveau : Terminale Spécialité
Prérequis : Limites de suites, Fonctions, Limites de fonctions, continuité

Introduction : En terminale , la poursuite de l’étude de la notion de limite de fonction et de continuité nous amène au théorème des valeurs intermédiaires. Son énoncé est très intuitif ( faire un schéma au tableau) et sa démonstration, nous allons le voir , est l’aboutissement des connaissances en analyse d’un élève de terminale.
Ce théorème va permettre de définir la notion de suite un+1=f(un) et d’approximer des solutions d’équations du type f(x)=0

PLAN

Fil rouge , recherche d’une solution de x^2=2 et d’une valeur approchée de sqrt(2)

I. Le Théorème des valeurs intermédiaires
1. Continuité d’une fonction (définition propriétés)
2. Le théorème des valeurs intermédiaires
a) La méthode de la dichotomie
b) Suites adjacentes
c) Image d’une suite par une fonction continue
d) Le théorème des valeurs intermédiaires

II. Prolongements
a. Théorème de la bijection monotone
b. Méthode de Newton: recherche de solutions de l’équation f(x)=0
c. Formule de la moyenne

IV. Exercices
a. Boule dans un cylindre
b. Réciproque du TVI ?

Question 2

Demonstration des suites adjacentes convergent vers la même limite

Answer 2

on choisit (un) croissante , (vn) décroissante et on démontre que (un-vn) est croissante puis on majore un minore vn pui un<=l<v=n

Question 3

Demonstration de l’Image d’une suite par une fonction continue

Answer 3

Repasser aux quantificateurs

Question 4

THéorème de la bijection monotone : pourquoi une bijection ? demonstration ?

Answer 4

f strictement monotone donc f est injective et f est surjective de I sur f(I) d’après le théorème des valeurs intermédiaires

Question 5

demonstration de f strictement croissante => f injective

Answer 5

f(x)=f(x’) et disjonction de cas sur l’ordre relatif de x et x’

Question 6

Théorème du point fixe: démonstration

Answer 6

appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à f(x)-x

Question 7

Contre exemple de la réciproque du tvi

Answer 7

fonction f:x->sin(1/x) et f(0)=0
non continue en 0 (cf; suites 1/((pi/2)+2npi) et 1/(pi+2npi)
mais theorème des valeurs intermédiaires s’applique

Question 8

Methode de Newton preuve de la convergence de la suite xn+1=xn-f(xn)/f’(xn) approchant la racine de f : r

Answer 8

f strictement croissante et convexe et x0>r donc f>0 donc (xn) decroissante majorée par r car f est convexe donc toujours au dessus de ses tangeantes. et l=l-f(l)/f’(l) donc f(l)=0