Tema 22 Flashcards
Introducción los números y el cálculo numérico
Tal y como se establece en la Ley orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de educación (LOE) y la Ley orgánica 3/2020, de 29 de diciembre, por la que se modifica la LOE (LOMLOE), así como el Decreto 155/2022, de 15 de septiembre, por el que se establece la ordenación y el currículo de la educación primaria en la comunidad autónoma de Galicia, una de las finalidades de la etapa es conseguir el desarrollo integral del alumnado. Para ello, es imprescindible que adquieran el pensamiento lógico, el razonamiento, la crítica y la abstracción a la que se puede llegar a través de los contenidos del tema.
Importancia y utilidad de la numeración y de las operaciones aritméticas
La construcción de la noción de número y de las operaciones que pueden realizarse con ellos, han sido y son de importancia para la humanidad. Los números y las operaciones aritméticas son fundamentales para el individuo, la sociedad, la ciencia y la vida cotidiana e intervienen en multitud de actividades.
La numeración y el cálculo son, ante todo, una manera de codificar y comunicar información resumida, por lo que requieren que la escritura tenga la misma legibilidad que se exige al escribir letras en otras áreas. Gómez señala los usos de estos:
1. Para contar: puede ser cardinal.
2. Para numerar según diversos propósitos: para ubicar, para localizar, para nominar.
3. Para medir: describir medidas, valorar, asignar un número a una cantidad discreta.
4. Para operar: sumar, restar…
5. Para ordenar: el primero, el segundo…
Además, su importancia va más allá de su utilidad cotidiana:
1. Constituyen la base para la mayoría de los conocimientos matemáticos.
2. Son fundamentales para otros conocimientos científicos y disciplinas.
3. Tienen un alto valor formativo contribuyendo al desarrollo de capacidades de alto nivel.
El cálculo numérico
El cálculo es la capacidad de las personas para razonar con conceptos numéricos y matemáticos. Se conoce con el nombre de algoritmos de cálculo a todos los procedimientos o métodos que se pueden usar para calcular.
Los cálculos se sustentan en lo que se llama hechos numéricos básicos, resultados que se almacenan en la memoria y que en un momento dado hay que recordar (como la tabla de multiplicar). Son resultados exactos y que se consideran necesarios porque ayudan a alcanzar los automatismos del cálculo. En el proceso de aprendizaje de las operaciones se distinguen varias etapas:
1. Comprensión del número y de las relaciones del sistema numeral.
2. Conocimiento de los hechos numéricos básicos de las cuatro operaciones fundamentales y de sus relaciones.
3. Comprensión del significado de las diferentes operaciones y de las relaciones entre ellas, incluyendo el vocabulario técnico-básico.
4. Destreza en cálculo. Se adquiere fundamentalmente con la práctica.
5. Desarrollo de la aptitud para aplicar las técnicas del cálculo a la resolución de problemas reales y verbales.
Los números y el cálculo numérico en el currículo de EP
En la finalidad de la educación primaria, reflejada en la ley orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa que modifica parcialmente a la ley orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de educación, se hace referencia a las matemáticas como un aspecto importante a desarrollar.
Desde los objetivos de etapa, incluidos en el Decreto 155/2022, se alude directamente a la resolución de problemas como una de las capacidades fundamentales a las que contribuir. Así, un objetivo de etapa es:
g) Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a situaciones de su vida cotidiana.
El currículo también incluye la competencia matemática y competencias en ciencia, tecnología e ingeniería (STEM), que requiere de conocimientos sobre los números, las medidas y las estructuras, así como de las operaciones y las representaciones matemáticas, y la comprensión de términos y conceptos matemáticos. Dicho decreto pretende potenciar el desarrollo de esta competencia, junto con la de comunicación lingüística.
Respecto a los bloques de contenidos, los números y el cálculo numérico se tratan especialmente en el bloque 1 que se denomina “sentido numérico”.
Números naturales
Sirven para contar, asignar un valor a la cantidad de objetos separados de un conjunto o designar el orden en una serie discreta. Entre ellos hay definidas varias operaciones y una relación de orden que permite situarlos en una semirrecta que comienza en cero y no tiene fin.
En esta etapa y desde el primer curso, el trabajo con los números naturales conlleva su conocimiento para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada (concepto ordinal) y para especificar el tamaño de un conjunto finito (concepto cardinal). Su comprensión se facilita sabiendo que se pueden ubicar en una semirrecta, de modo que a cada número le corresponde un punto de la semirrecta, en la cual cada punto se encuentra a la misma distancia uno de otro.
Números enteros
Para que se puede cuantificar, operar, ordenar y para que sea posible la sustracción en todos los casos se amplían los números naturales añadiéndoles los números negativos y conservando todas las propiedades y operaciones.
Sus elementos se pueden situar en la recta numérica sin principio ni fin y sus posibilidades son mayores que las que tenían los números naturales.
Los alumnos se inician en su conocimiento desde el comienzo de la etapa. Además de verse ayudados por su ordenación en la recta numérica, se tratarán desde contextos reales (deudas, temperaturas, pisos…) que les ayuden a comprender su utilidad.
Números fraccionarios
Una fracción es un par ordenado de números enteros con la condición de que el segundo número sea distinto a cero. La expresión que se utiliza para representarla es a/b, donde “a” es el numerador y “b” el denominador que no sea cero.
Una fracción es, pues, una manera de expresar un número. Y no es más que una división, cuyo resultado da el número que queremos representar. Sus tipos son:
- Impropias: cuando el denominador es menor que el numerador el número será superior a 1.
- Propias: cuando el denominador es mayor que el numerador, su resultado es menor que la unidad.
- Unitarias: tienen el mismo numerador y denominador.
- Número mixto: contiene un número entero y una fracción.
- Equivalente: fracciones que representan el mismo valor.
Se iniciará al alumnado en 4º curso, para expresar particiones y relaciones en contexto reales, utilizando la expresión correcta, tanto en su escritura como en la lectura
Números decimales
Son los resultados de divisiones no exactas o con resto no nulo entre números enteros. Tiene dos partes, la entera y la decimal y están separados por una coma.
Dentro de los números decimales están los decimales finitos, cuando la parte decimal tiene un final determinado (1,5) y decimales infinitos, en los que la parte decimal no tiene un final determinado (3,1416…). Estos últimos pueden ser puros o mixtos.
En esta etapa los números decimales se trabajarán hasta las milésimas, desde la lectura, escritura, seriación, ordenación, descomposición, comparación y representación en la recta numérica y en contextos reales.
Sistemas de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir números válidos en el sistema.
A lo largo de la historia se han sucedido innumerables sistemas de numeración, dependiendo, fundamentalmente, de la zona geográfica y las culturas predominantes en dichas zonas. Siguiendo a Casado y Batanero, se clasifican en:
1. Sistemas aditivos: son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas… como sean necesarios hasta completar el número (como los números romanos).
2. Sistemas híbridos/multiplicativos/no posicionales: el número se obtiene multiplicando cada potencia de la base por el valor del símbolo que le precede y sumando los resultados junto con las unidades (como los números chinos actuales).
3. Sistemas posicionales: el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ese símbolo ocupa en el número. El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales. Entre ellos se encuentran los siguientes:
- Sistema decimal: usa un conjunto de símbolos cuto significado depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo, denominado coma decimal, que en caso de ausencia se supone colocada a la derecha. Utiliza como base el 10, que corresponde al número del símbolo que comprende para la representación de cantidades.
- Sistema binario: es el sistema de numeración que utiliza internamente el hardware de los ordenadores actuales. Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0, por tanto, su base es dos (números de dígitos de sistemas).
- Sistema octal: es un sistema de numeración cuya base es 8, es decir, utiliza 8 símbolos para la representación de cantidades.
- Sistema hexadecimal: es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16.
Relaciones entre los números
Desde los números naturales hasta los fraccionarios o decimales ha existido la necesidad de ampliar el campo numérico basándonos en la teoría de conjuntos. De esta forma, se observan los diferentes tipos de números que se han estudiado y cómo se relacionan entre sí.
Los números son reales, ya que se corresponden a un punto en la recta real. Estos se pueden clasificar en irracionales (si no se pueden expresar como fracción) o racionales (si se pueden expresar como fracción).
Estos últimos se clasifican en enteros (sin decimales) o fracciones no exactas (con decimales). Dentro de los enteros tenemos los naturales (positivos), enteros negativos (negativos) y sin signo (0).
Dentro de las fracciones no exactas tenemos las fracciones no periódicas (con decimal exacto) y las fracciones periódicas, clasificadas en puras y mixtas.
Operaciones de cálculo
- La suma o adición: es la operación aritmética de combinar o añadir dos números para obtener una cantidad final o total.
- La sustracción o resta: es la operación aritmética opuesta a la adición y consiste en obtener uno de los sumandos, que recibe el nombre de resta o diferencia, conocida la suma que recibe el nombre de minuendo y el otro sumando, que recibe el nombre de sustraendo.
- La multiplicación: es una operación aritmética que consiste en hallar un número llamado producto a partir de dos números llamados multiplicando y multiplicador, que indican el número que hay que multiplicar y el número de veces que hay que hacerlo.
- La división: es la operación aritmética inversa de la multiplicación. Supone repartir entre partes o grupos iguales.
Cálculo escrito o algorítmico
Consiste en una serie de reglas aplicables en un orden determinado, siempre del mismo modo, independientemente de los datos que garantizan alcanzar el resultado buscado en un número finito de pasos. Las cuentas convencionales que se utilizan para resolver las operaciones constituyen procedimientos de este tipo; en ellas se recurre a una única técnica para una operación dada independientemente de los números en juego. Las principales características del cálculo algorítmico son:
1. Escrito: se refiere a que se utiliza lápiz y papel.
2. Abreviado: se refiere al hecho de ocultar pasos relacionados con las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operaciones.
3. Automático: significa que no necesita ser comprendido para ser ejecutado. Esto conlleva un aprendizaje mecánico y memorístico, pero desde los planteamientos actuales se incide en la necesidad de trabajarlos de forma comprensiva y decidiendo autónomamente el más adecuado a cada caso.
4. Simbólico: se refiere a que se manipulan símbolos son referencia al mundo real.
5. analítico. Este concepto hace referencia al hecho de que las cifras se manipulan separadamente.
6. Confiable. Siempre se utiliza el mismo algoritmo para el mismo tipo de ejercicios.
Cálculo mental
Puede ser definido como un tipo de cálculo en donde no se utiliza lápiz ni papel o cualquier otro implemento adicional, solo procesos mentales. Agrega que muchas situaciones de la vida diaria requieren respuestas exactas, pero para otras es suficiente una respuesta aproximada que pueda estimarse mentalmente. Por lo tanto, encontramos dos tipos de cálculo mental: exacto y aproximado. Las características del cálculo mental son:
1. De memoria: significa que no se puede usar lápiz ni papel o algún otro dispositivo.
2. Rápido: aunque no se debe considerar como su principal finalidad, se adquiere dicha destreza si se practica continuamente.
3. Variable: se pueden seguir diferentes caminos para un mismo problema.
4. Flexible: se busca sustituir o alterar los datos iniciales para trabajar con otros más cómodos o más fáciles de calcular.
5. Activo: quien calcula tiene la facilidad de poder elegir la estrategia que va a desarrollar.
6. Constructivo: las respuestas se van construyendo con resultados parciales, que se resumen después para obtener la respuesta final.
Estimación en el cálculo
Se entiende por cálculo estimativo el proceso de producir una respuesta suficientemente cercana a una respuesta exacta y que permite tomar decisiones, según sea el caso.
Existen tres procedimientos fundamentales de estimación:
1. Redondeo: consiste en suprimir cifras de la derecha de un número y sustituirlas por ceros con el siguiente criterio: si la cifra que se suprime es mayor o igual que 5, la que va a continuación se aumenta en una unidad, en caso contrario, se deja igual.
2. Truncamiento: consiste en suprimir dígitos de un número a partir de un determinado orden de unidades y sustituirlos por ceros.
3. Sustitución: consiste en sustituir los datos por otros próximos a ellos, pero compatibles, en el sentido de que la operación resulte sencilla.
Calculadora
La calculadora nunca debe sustituir ni las estrategias de cálculo mental, ni el entrenamiento en estimación de resultados, ni la práctica del cálculo escrito, sino convertirse en un auxiliar y/o complemento de los anteriores. Su uso es apropiado cuando se quiere centrar la atención en el proceso, en las técnicas de resolución de problemas.
Entre la gran variedad existente en el mercado, se tomarán de referencias los modelos sencillos que cumplan como condiciones mínimas disponer de las siguientes teclas:
- Cuatro reglas (suma, resta, producto y división).
- Tanto por ciento.
- Memoria acumulativa.
También hay que subrayar sus posibilidades como recurso lúdico. Se pueden realizar gran variedad de juegos.
