geometria e geometria analitica Flashcards
postulati euclidei
- si può tracciare una retta da un punto qualsiasi ad un’altro punto
- si può prolungare infinitamente una linea retta
- si può descrivere un cerchio con raggio e centro qualsiasi
- tutti gli angoli retti sono uguali fra loro
- se una retta che interseca altre due rette, forma dalla stessa parte angoli la cui somma è minore di due angoli retti, le due rette si incontreranno.
angoli supplementari
angolo piatto
angoli complementari
angolo retto
ortocentro
punto di incontro delle altezze
- interno se acuto
- esterno se ottusangolo
- coincidente con il vertice se rettangolo
baricentro
punto di incontro delle mediane
- sempre interno
circocentro
punto di incontro degli assi dei lati. è anche il centro della circonferenza circoscritta .
- interno se acuto
- esterno se ottusangolo
- coincidente con il punto medio dell’ipotenusa se rettangolo
incentro
punto di incontro delle bisettrici
- centro della circonferenze inscritta nel triangolo
- sempre interno
somma degli angoli interni
n^2 - n180
lati del triangolo
in ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza
criteri di congruenza tra due triangoli
- congruenti due lati e l’angolo compreso
- congruenti due angoli e il lato comune
- congruenti due angoli e il lato opposto ad uno di essi
- congruenti i 3 lati
perimetro e area triangolo
P = a + b + c A = (bh)/2
raggio della circonferenza iscritta e circoscritta in un triangolo
inscritta: r = A/ P
circoscritta: R= (abc)/4A
raggio della circonferenza in un triangolo rettangolo
inscritta: r= (a + b - c) / 2
circoscritta: R= c/2
teorema di pitagora
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
a^2 + b^2 = c^2
primo teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all’ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa.
secondo teorema di euclide
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
perimetro e area rettangolo
P = 2(ab) A = ab
perimetro e area quadrato
P = 4l A = l^2
perimetro e area rombo
P = 4l A = (d1 d2) / 2
perimetro e area parallelogramma
P = 2(ab) A = (B+b) h/2
apotema
segmento perpendicolare tracciato dal centro di un poligono regolare ad un lato.
Area e perimetro del cerchio
A = π r^2 P = 2πr
area e perimetro settore circolare
P = (πr/ 180) a +2r A= (πr^2) a/360
superficie, volume e diagonale cubo
superficie laterale = s^2
superficie totale = 6s^2
volume = s^3
diagonale = s√3
superficie, volume e diagonale parallelepipedo
superficie laterale = 2c(a+b)
superficie totale = 2(ab+ac+bc)
volume = abc
diagonale = √a^2+b^2+c^2
superficie e volume prisma retto
superficie laterale = Pbase h
superficie totale = Slaterale + 2Sbase
volume = Sbase h
superficie e volume piramide retta
Superficie laterale = perimetro di base x apotema/2
superficie totale = superficie laterale + superficie di base
volume = (Sb h)/3
superficie e volume tronco di piramide
superficie laterale = (Pb + PB) x apotema/2
superficie totale = Slaterale + Sb + SB
volume = (Sb+SB+√Sb SB) x h/3
superficie e volume cilindro
superficie laterale = 2π r h
superficie totale = 2πr(h+r)
volume = π r^2h
superficie e volume sfera
superficie = 4π r^2 volume = 4π r^3/3
superficie e volume cono
superficie laterale = π ra
superficie totale = π r (a+r)
volume = (π r^2 h)/3
superficie e volume tronco di cono
superficie laterale = π (r+R) a
superficie totale = π (r+R)a + π r^2 +π R^2
volume = π /3 x (R^2+r^2+rR)h
relazione di eulero
vale per i poliedri regolari
F+V=S+2
distanza tra due punti
√(X1+X2)^2 +(Y1+Y2)^2
punto medio
X = (X1+X2)/2 Y = (Y1+Y2)/2
condizione di appartenenza di un punto ad una curva
un punto P di coordinate A e B, appartiene alla cura F(x,y) = 0 se si verifica che F(A,B) = 0
luogo geometrico
insieme di tutti i punti che godono di una determinata proprietà
equazione lineare di una retta
ax + by +c = 0
- per insegnare una retta è necessario e sufficiente determinare due punti che le appartengono
rette particolari
1- by + c = 0 : retta orizzontale
2- ax +c = 0 : retta verticale
3- ax + by = 0 : fascio di rette passanti per l’origine
* quando il termine noto è nullo, la retta passa per l’origine
coefficiente angolare e termine noto
coefficiente= -a/b - indice di quanto la retta è inclinata rispetto all’asse x
termine noto= -c/q
coefficiente angolare di rette parallele e perpendicolari
parallele : m1 = m2
perpendicolari : m1 x m2 = -1
equazione di una retta passante per un punto
Y - Y0 = m (X - X0)
distanza punto retta
(√axo + byo + c) ÷ (√a^2 + b^2)
circonferenza
luogo dei punti equidistanti dal centro x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 * manca xy coordinate del centro : X = -a/2 e Y= -b/2 raggio= √X^2 + Y^2 - c
retta e circonferenza
- esterna : d > r
- tangente : d = r
- secante : d < r
ellisse
- luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle sostanze tra due punti fissi (fuochi).
- (x^2/a^2) + (y^2/ b^2) = 1
- semidistanza focale^2 = semi magg. ^2 + semi minore^2
- eccentricità dell’ellisse = semidistanza focale/ semi magg.
- fuochi: F1 = (-c; 0) e F2= (c;0)
parabola
luogo geometrico in cui i punti sono equidistanti da un fuoco e da una retta direttrice.
y = ax^2 + bx + c
Fuoco = ( -b/2a; -Δ/4a + 1/4a)
direttrice = (-Δ/4a)-(1/4a)
vertice = (-b/2a; -Δ/4a)
* parabola con direttrice verticale non è una funzione
iperbole
luogo geometrico per il quale è costante la differenza delle distanze da due fuochi
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1
semidistanza focale ^2 = semi traverso^2 + semi non traverso ^ 2
eccentricità = semidistanza focale/ semiasse traverso
asintoti: y1= (-b/a)x Y2= (b/a)x
-equilatera: gli asintoti sono perpendicolari
riconoscere una conica
- se Δ < 0 ellisse e se A = 0 e B = 0 è circonferenza
- se Δ = 0 parabola
- se Δ > 0 allora iperbole e se A + B = 0 equilatera
postulati definizione
proprietà che accettiamo come vere
teorema definizione
proposizioni che devono essere dimostrate
poligonale
figura costituita da un insieme di cui ciascun segmento e il successivo sono consecutivi
semipiano
è formato dalla retta e da una delle due regioni in cui la retta divide il piano
angoli consecutivi
se hanno in comune il vertice e un lato e giacciono da parti opposte rispetto al lato in comune
angoli adiacenti
se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta
bisettrice dell’angolo
è la semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due angolo congruenti
angoli opposti al vertice
se hanno in comune il vertice e i lati di un angolo sono i prolungamenti dell’altro.
sono uguali
bisettrici dei triangoli
dividono uno degli angoli del triangolo in parti congruenti
mediana
è un segmento che ha per estremi un vertice ed il punto medio del lato opposto
altezza
ha un estremo sul lato opposto al vertice dal quale essa parte e forma con esso due angoli retti.
teorema dell’angolo esterno
ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascun dei due angoli non adiacenti
- la somma degli angoli interni è minore di 180
- in un triangolo ci sono sempre due angoli acuti
- gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono sempre acuti.
lati ed angoli nei triangoli
in ogni triangolo, non equilatero, a lato maggiore si oppone angolo maggiore e viceversa.
ogni angolo esterno di un triangolo è congruente…
alla somma di due angoli non adiacenti ad esso
criteri di congruenza di triangoli rettangoli
sono congruenti se hanno congruenti:
- due cateti, o
- un cateto e un angolo acuto corrispondente, o
- l’ipotenusa e un angolo acuto, o
- l’ipotenusa e un cateto
rettangolo
è un parallelogramma che ha i 4 angoli congruenti
rombo
- parallelogramma che ha 4 lati congruenti
- le sue diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli
- se in un parallelogramma le diagonali sono bisettrici dell’angolo oppure perpendicolari, allora è un rombo
quadrato
- parallelogramma con 4 angoli e 4 lati congruenti
- le diagonali sono congruenti, perpendicolari e bisettrici dell’angolo
- se in un parallelogramma le diagonali sono congruenti e perpendicolari oppure congruenti ed una di essere è bisettrice di angolo, allora è un quadrato.
trapezio
- quadrilatero con soli due lati paralleli
- isoscele: ha i lati obliqui congruenti
- rettangolo: uno dei lati è perpendicolare alla base.
teorema di talete
Dato un fascio di rette parallele intersecato da due trasversali, i segmenti che si formano su una trasversale sono direttamente proporzionali ai segmenti corrispondenti che si formano sull’altra trasversale.
area poligono circoscritto ad una circonferenza
A = rp
area poligono regolare circoscritto ad una circonferenza
A = pa
relazioni triangolo rettangolo
h = l√2 l= (h√2)2
relazioni triangolo esoscele
altezza = (l√3)/2 l = (2h√3)/3
cosa deve avere un quadrilatero per essere inscrivibile?
gli angoli opposti supplementari
cosa deve avere un quadrilatero per essere circoscrivibile?
la somma di due dei lati opposti deve essere congruente con la somma degli altri due.
postulati dello spazio
- Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
- Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano.
- Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli appartengono in due
regioni tali che:
• due punti qualsiasi della stessa regione sono estremi di un segmento che non interseca
il piano;
• due punti qualsiasi di regioni diverse sono estremi di un segmento che interseca il piano.
rette complanari
- incidenti o parallele
- appartengono allo stesso piano
rette sghembe
non appartengono allo stesso piano
retta appartenente
lo è se tutti i suoi punti appartengono al piano
retta incidente al piano
lo è se ha un solo punto in comune con il piano.
è perpendicolare quando è perpendicolare a tutte le rette passanti per il punto in cui è incidente. in tal caso il punto è detto piede della perpendicolare.
retta parallela al piano
lo è se non ha alcun punto in comune con il piano
poliedri
sono figure solide limitate da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni faccia non attraversi il solido.
prisma: definizione
è un poliedro delimitato da due basi che sono poligoni congruenti posti su piani paralleli e da facce laterali che sono parallelogrammi.
la distanza tra i piani delle basi è l’altezza del prisma.
le diagonali sono segmenti che congiungono due vertici non appartenenti alla stessa faccia.
prisma retto: definizione
lo è se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi.
è regolare quando è retto e le sue basi sono poligoni regolari
prisma parallelepipedo: definizione
se anche le basi sono parallelogrammi
piramide: definizione
poliedro delimitato da un poligono, detto base, e da facce laterali triangolari le quali:
-hanno in comune un vertice (=vertice della piramide)
-hanno il lato opposto a tale vertice coincidente con un lato del poligono di base.
la distanza tra il vertice e il piano della base è detta altezza della piramide.
piramide retta: definizione
quando nella sua base si può inscrivere una circonferenza il cui centro è la proiezione ortogonale del vertice della piramide sia piano di base.
l’altezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema.
piramide regolare: definizione
quando è retta e la sua base è un poligono regolare
tronco di piramide: definizione
è limitato da due poligoni simili fra loro su piani paralleli (basi del tronco) e da facce laterali che sono trapezi.
poliedro regolare definizione
quando le sue face sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi diedri e i suoi angoloidi sono congruenti.
solidi di rotazione
- cilidro: generato dalla rotazione completa di un rettangolo intorno a uno dei suoi lati
- cono: generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti
- sfera: è generata dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro
principio di cavalieri
Due solidi che possono essere di- sposti in modo che ogni piano pa- rallelo a un altro fissato, scelto co- me riferimento, li tagli secondo se- zioni equivalenti, sono equivalenti
baricentro di triangolo di vertici A (Xa ; Ya), B (Xb; Yb), C (Xc; Yc)
Xbar = (Xa+Xb+Xc)/3 Ybar = (Ya+Yb+Yc)/3
