Fråga 8 - Copula och specifikt Sklars theorem

Question 1

Innebörden av en Copula

Answer 1

Wiki: “Ett begrepp inom statistiken för ett allmänt sätt att formulera en multivariat fördelning på ett sådant sätt att olika generella varianter av beroende kan representeras.”

Teorin och verktygen för att hantera
multivariata fördelningar. T.ex. multivariat normalfördelning implicerar antagande om en specifik copula.
Med en copula kan den univariata informationen användas för att beskriva den multivariata fördelningsfunktionen.

I allmänhet har man väldigt god uppfattning om den univariata fördelningsfunktionen, Fi(xi), för finansiella variabler

Studier av den svårstuderade multivariata fördelningsfunktionen separeras i två enklare problem
◼ Modellering av den univariata fördelningsfunktionen
◼ Modellering av samvariationen – copula

Copulamodeller är verktyg för att studera multivariata fördelningar, och speciellt för att förstå beroendestruktur. Sammansatta fördelningsfunktioner F: R^n -> R innehåller information om både de marginella fördelningfunktionerna av de individuella stokastiska variablerna och dessutom om beroendet mellan dem.
Copula introduceras för att sära på modelleringen av marginalfördelningar och av samvariationen.

Question 2

Copulas i inlämningsuppgift 1

Answer 2

“Use MLE with Inference for margins given the univariate distributions from the GARCH(1,1) model in problem 2. Determine the copula (Normal, Student-t’s, Gum- bel, Clayton, Frank) that best fits the data by comparing log-likelihood values. (Matlab: copulafit(), copulapdf()). Generate random samples using the copula that provides the best fit and compare these to the (approximately) uniform time series through scatter plots (Matlab: copularnd(), scatter())”.

Diskutera med José <3

Question 3

Hur kan en copula tillämpas inom finansiell riskhantering?

Answer 3

1. Kan dekomponera flerdimensionella fördelningar till marginalfördelningar
2. Kan utnyttja den kunskap man har om de univariata fördelningarna

Question 4

Sklars teorem

Answer 4

Sklars teorem (1959) visar vikten av Copulas inom modellering av multivariata fördelningar. Teoremet består av två delar:
1. Den första delen visar att en copula alltid kan härledas från en sammansatt fördelningsfunktion.
2. Det andra delen visar att en uppsättning av marginalfördelningar kan kombineras med en copula för att åstadkomma en multivariat fördelningsfunktion.
Sklars teorem visar att uppdelningen alltid är möjlig. Givet en samling copulas har vi enligt Sklars teorem automatiskt multivariata fördelningar med vilka marginala fördelningar vi än önskar.

Wiki: “Sklars teorem säger att varje multivariat gemensam fördelning kan skrivas i termer av univariata marginalfördelningsfunktioner och en kopula som beskriver beroendestrukturen mellan variablerna.” (samma som ovan)