Fråga 5 - Volatilitetsestimering

Question 1

Hur definieras procentuella vs logaritmetiska avkastningar matematiskt?

Answer 1

Om ui = procentuella avkastningarna i tidpunkt i
ui= Si-S(i-1)/S(i-1)

Om ui = logaritmetiska avkastningarna i tidpunkt i
ui= ln(Si/S(i-1))

Question 2

Ange för och nackdelar med EqWMA

Answer 2

Fördel:
- Enkel att beräkna

Nackdelar:
- “Ghost effect” uppstår vid stora förändringar i volatilitet. Ovanliga händelser påverkar kraftigt estimaten, för att sedan plötsligt försvinna när de är utanför tidsfönstret

• Vi antar med denna modell implicit att volatiliteten är konstant, vilket ej empirisk data visar
• Ingen mean reversion
• Tar inte hänsyn till trender i datat p.g.a ger all data samma vikt dvs odynamisk vilket gör att uppskattningarna kan inge falsk trygghet .

Question 3

Hur definieras EqWMA matematiskt

Answer 3

För procentuella avkastningar:
σn^2 = 1/m* ∑ u(n-1)^2

För logaritmetiska avkastningar:
σn = 1/(m-1)* ∑ (u(n-1) - u ̅)^2

Question 4

Hur definieras EWMA matematiskt och hur påverkar värden på λ volatiliteten?

Answer 4

σn^2 = λσ(n-1)^2 + (1-λ)u(n-1)^2

ƛ = 0,94 (Risk Metrics) ger ofta bra fit till data

Låg ƛ : Vikterna minskar snabbt, mer vikt åt ny data vilket ger en mer responsiv modell. Dvs gammal data fasas ut snabbt.

Hög ƛ : Vikterna minskar långsamt, mindre vikt åt ny data vilket ger en mindre responsiv modell. Dvs gammal data fasas ut långsamt.

OBS! EWMA är ett specialfall av GARCH(1,1), med parametrar ω = 0 , α = 1 − λ , β = λ

Question 5

Vad finns det för fördelar/nackdelar med EWMA?

Answer 5

Fördelar:
Enkel att beräkna
Tar bort feta svansar
Få parametrar (endast 1)

Nackdelar:
Kan bli numeriska problem vid initiering av metoden.
Ingen mean reversion.

Question 6

Hur definieras GARCH matematiskt?

Answer 6

Generella GARCH: tar de p senaste avkastningarna och q senaste varianserna enligt
σn^2 = ω + ∑αiu(n-1)^2 + ∑βiσ(n-1)^2

GARCH(1,1):
σn^2 = ω + αu(n-1)^2 + βσ(n-1)^2
där ω=γ*VL och γ+β+α=1

VL = Historisk genomsnittlig volatilitet (Volatility targeting)

Question 7

Vad innebär mean reversion?

Answer 7

Antagandet att marknadspriserna kommer gå mot medelvärdet över tid

Question 8

Vad finns för fördelar/nackdelar med GARCH?

Answer 8

Fördelar: 
- Tar bort feta svansar
- Mean reversion
Om β+α<1 : Mean revision
Om β+α=1 : Ingen mean revision

Nackdelar:

• Fler parametrar, mer komplex
• Kan bli instabil –> Om β+α>1 : Instabil, välj EWMA istället

Question 9

Beskriv maximum likelihood-estimering generellt

Answer 9

Maximum likelihood-metoden genererar de mest troliga parametrarna för ett dataset.

För en stickprov x1…xn ur de slumpade variablerna X1..Xn med fördelningsfunktionen f(x1,…,xn;Θ) är likelihood-funktionen definierad som:

L(Θ)= f(x1,…,xn;Θ)

Maximum likelihood estimeringen är värdet Θ* som maximerar funktionen ovan, dvs:

Θ*=argmax L(Θ)

Question 10

Redogör också för hur parametrar till EWMA och GARCH(1,1) kan bestämmas genom
Maximum likelihood-estimering.

Answer 10

f(un,…,u1;Θ) = f(u1;Θ) * ∏f(ui | ui-1,…,u1; Θ )

där,
f(ui | ui-1,…,u1; Θ )= (1 / sqrt(2πσj^2)) e^ (-ui^2/2σj^2)

Vi låter vi=σj^2 och får likelihood funktionen:

L(Θ)= ∏[ (1/sqrt(2πvi))* e^ (-ui^2/2*vi)]

Eftersom den logaritmetiska funktionen strikt stiger kan vi förenkla till:
ln( L(Θ) )= ∑ ln ( (1/sqrt(2πvi))* e^ (-ui^2/2*vi)) =

= ∑ ln(1) - (1/2) * ln(2πvi ) - ui^2 / 2*vi =

= ∑ - (1/2) * ln(2πvi ) - ui^2 / 2*vi

Om vi ignorerar konstanterna får vi:

Θ=argmax ( ∑ - ln(2π*vi ) - ui^2 / vi )
där vi=vi(Θ)=σj(Θ)^2