Fråga 4 - Empirska observationer tidsserier

Question 1

Förklara begreppet lägesmått

Answer 1

Lägesmått, eller centralmått, är inom statistik och matematisk statistik ett sammanfattande mått på “det genomsnittliga” värdet av observerade data eller en sannolikhetsfördelning .

Question 2

Ge exempel på olika lägesmått och förklara dem

Answer 2

• Typvärde(Mode): Det värde som förekommer flest gånger.
• Median: Mittersta talet i en sorterad datamängd
• Aritmetiskt medelvärde: Aritmetiskt medelvärde , ofta bara kallat medelvärde, är det genomsnittliga värdet av en uppsättning tal {X1, …, Xn}. Dvs summan(x1+..+xn)/n
• Geometriskt medelvärde: Ett geometriskt medelvärde av n positiva tal a1,…, an beräknas enligt (a1…an)^(1/n) (n:te roten ur produktsumman)

Question 3

Förklara begreppet spridningsmått:

Answer 3

Beskriver hur mycket utfallen tenderar att avvika från sitt lägesmått

Question 4

Ge exempel på olika spridningsmått och förklara dem:

Answer 4

• Varians: Väntevärdet för den kvadratiska avvikelsen från medelvärdet
  1/N*∑(xi-x ̅)^2
• Semivarians: Kvadratisk avvikelse från medelvärdet på den positiva alt. negativa planhalvan
  1/n*∑(max(xi-x ̅,0))^2
• Genomsnittlig absolut avvikelse: Absolut beloppet av skillnaden från avsett värde och observerat värde
  1/N*∑(xi-m(x)) där m(x) är observationens lokalisering

-Variationskoefficient: normaliserad standardavvikelse och uttrycker standardavvikelsen som procentandelar av medelvärdet
100*S/x ̅ (%), där s=sampel volatility
–>Variationskoefficenten gör alltså standardavvikelser på olika skalor jämförbara.

Question 5

Skevhet

Answer 5

Statistiskt mått på hur asymmetrisk en sannolikhetsfördelning av en stokastisk variabel är.

Definieras som det tredje normaliserade centrala momentet:
γ1 = E[ ((X-μ)/σ)^3 ]= m3/σ^3

γ1>0: Höger svans är lång/tjock i förhållande till vänster svans.

γ1<0: Vänster svans är lång/tjock i förhållande till höger svans.

Normalfördelningen har noll skevhet.

Question 6

Kurtosis

Answer 6

Hur sannolika de mer extrema utfallen är för en given sannolikhetsfördelning.

Definieras som det fjärde normaliserade centrala momentet:
γ2 = E[ ((X-μ)/σ)^4 ]= m4/σ^4

γ2=0: Fördelningens peak vid medelvärdet liknar normalfördelning. (Mesokurtisk)

γ2>0: Fördelningens pekar mer vid medelvärdet och har tjockare svansar. (Leptokurtisk)

γ2<0: Fördelningens har en lägre peak vid medelvärdet och har tunnare svansar. (Platykurtisk)

Question 7

Ge exempel på empiriska egenskaper som är vanliga hos finansiella tidsserier och förklara.

Answer 7

• Tjocka svansar (Heavy/Fat Tails)
  En “heavy tailed” fördelning har en svans som är tjockare än en exponentialfunktion och går långsammare mot noll.
  Fördelningen tenderar att ha många outliers med väldigt höga/låga värden. –> Mer värden än förväntat i svansarna än med normalfördelning. Ju tjockare svans ju större sannolikhet för fler oproportionerligs värden i urvalet.
• Volatilitetsklustring:
  Volatilitet klustring är tendensen att stora förändringar i priserna på finansiella tillgångar kluster tillsammans, vilket resulterar i en ihållande effekt. –> Stora förändringar tenderar att följas av stora förändringar och små förändringar tenderar att följas av små förändringar. Modeller som GARCH syftar till att beskriva effekten bättre tillsammans med kurtosis. Tanken är att ta hänsyn till tidigare relationer mellan tillgången och volatiliteten, volatiliteten tenderar att återgå till något slags medelvärde och inte röra sig monotont över tid.
• Aggregerad normalitet:
  Ju större tidsspann du tittar på i en tidsserie desto mer kommer den att likna en normalfördelning. D.v.s. fördelningen för tidsserier för samma tillgångar kommer se olika ut beroende på hur lång tidsserien är. –> Effekten av outliers minskar om vi tittar på större tidspann.
• Hävstångseffekt (Leverage effect):
  Volatilitet och avkastning tenderar att vara negativt korrelerade –> Volatiliteten tenderar att öka när avkastningar sjunker och tvärt om

Question 8

Koppla vanliga empiriska egenskaper till Inlämningsuppgift 1

Answer 8

• Skevhet: Vi kunde se tendenser av skevness < 0 för OMX och skevness>0 för SEK
• Kurtosis : Vi kunde se att fördelningarna för alla tidsserier pekade mer vid medelvärdet och hade tjockare svansar, dvs Leptokurtisk.
• Volatilitetsklustring: De tidsserier som undersöktes kakao och USD/SEK kan båda konstateras varaheteroskedastiska dvs. tidsserierna är präglade av perioder med hög respektive låg volatilitet som uppkommer i “kluster”.
• Aggregerad normalitet: Genom att QQ-plotta avkastningarna från de båda tidsserierna OMX och SEK kunde konstateras att avkastningarna på veckobasis stämde bättre överens med motsvarande normalkvantiler om vi jämför med avkastningarna på veckobasis vilket kunde ses genom att dessa avvek mer från “normallinjen” på QQ-plotten. Vilket stämmer överens med teorin.
• Hävstångseffekt: Hävstångseffekt kunde ses när under finanskrisen samt 2012 då volatiliteten ökade kraftigt samtidigt som avkastningarna låg långt under normala nivåer för både OMX och SEK. Och tvärtom annars