7 Funkcia a jej vlastnosti

Question 1

Funkcia

Answer 1

funkcia je každá množina usporiadaných dvojíc [x,y]∈M, pre ktoré platí:
ku každému x∈M existuje práve jedno y∈R tak, že platí [x,y]∈f; y = f(x)

Question 2

Definičný obor

Answer 2

• množina všetkých x∈R, ku ktorým existuje aspoň jedno y∈R; y= f(x)

Question 3

Obor hodnôt

Answer 3

oborom hodnôt označujeme množinu H(f), čo je množina všetkých y∈R, ku ktorým
existuje aspoň jedno také x∈R, že platí y= f(x)

Question 4

Graf

Answer 4

graf funkcie f je množina všetkých bodov so súradnicami[x,y] v karteziánskej sústave,
kde x∈D(f) a y ∈H(f).

Question 5

párnosť

Answer 5

• párna
  * ak ∀ x∈D(f) ∃ (-x) ∈D(f): f(-x) = f(x)
  * graf je súmerný podľa osi y
  * napr. y=x^2
• nepárna
  * ∀ x∈D(f) ∃ (-x) ∈D(f): f(-x) = -f(x)
  * graf je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy
  * napr. y=x^3
• ani párna, ani nepárna
  * neexistuje (-x)∈D(f)
  * y= √x

Question 6

monotónnosť

Answer 6

• rastúca
  * rastúca na množine M, ak pre každé dve x1,x2∈D(f):
  x1<x2 a f(x1)<f(x2)
• klesajúca
  * klesajúca na množine M, ak pre každé dve
  x1,x2∈D(f):x1<x2 a f(x1)>f(x2)
• konštantná
  * konštantná na množine M, ak pre každé dve
  x1,x2∈D(f): x1<x2 ⇒ f(x1) = f(x2)
  * konštantná funkcia má ľubovolnú periódu – je
  periodická

Question 7

prostá funkcia

Answer 7

• funkcia je prostá ak pre každé dve x1,x2∈D(f): x1≠x2 tak f(x1)≠f(x2)
• napr. y = x^3
• existuje inverzná funkcia

Question 8

ohraničenosť

Answer 8

• zhora: ∃ h∈R, ∀ x∈D(f): f(x) ≤ h
• zdola: ∃ d∈R, ∀ x∈D(f): f(x) ≥ d
• funkcia je ohraničená, ak je súčasne ohraničená zhora aj zdola d ≤ f(x) ≤ h
• napr. y= sin x (h = 1, d = -1)

Question 9

lokálne extrémy

Answer 9

nech funkcia f je definovaná v okolí bodu a:
* maximum:
* maximum v bode a má funkcia,
ak existuje také okolie O bodu a; ∀ x∈O: f(x) ≤ f(a)
* minimum:
* minimum v bode a má funkcia,
ak existuje také okolie O bodu a; ∀ x∈O: f(x) ≥ f(a)

Question 10

inverzná funkcia

Answer 10

f(x) = y, tak f^−1(y) = x.

Question 11

periodickosť

Answer 11

• funkcia je periodická, ak existuje p>0 tak, že:
  1.) ∀ x∈R; ∀ x∈D(f) ⇒ [(x + p)∈D(f)] ∧ [(x – p)∈ D(f)]
  2.) x∈D(f); f (x + p) = f (x)
• napr. y= sin x