25 Stereometria: polohové úlohy

Question 1

Stereometria

Answer 1

a vyšetruje geometrické útvary v priestore
a ich vzťahy. Úlohy riešené v stereometrii môžu byť dôkazové alebo výpočtového
charakteru, resp. môže ísť o úlohy konštrukčné

Question 2

Základné stereometrické pojmy

Answer 2

bod, priamka, rovina, priestor môžeme
charakterizovať sústavou základných viet stereometrie:
o Ku každej priamke v priestore existujú body, ktoré na tejto priamke ležia
a body ktoré na nej neležia
o Ľubovoľnými dvoma bodmi A,B v priestore prechádza práve jedna priamka p
(A≠B, p≡AB)
o Priamkou p a bodom A, ktorý na nej neleží, prechádza práve jedna rovina
(ρ≡pA)
o Ak ležia dva rôzne body A,B v rovine ρ potom priamka nimi určená rovnako
leží v rovine ρ
o Dve rôzne roviny ρ, σ, ktoré majú spoločný bod, majú spoločnú priamku p
týmto bodom prechádzajúcu a okrem tejto priamky už nemajú žiadny spoločný
bod

Question 3

Veta o vzájomnej polohe dvoch priamok

Answer 3

Dve priamky v priestore majú
práve jednu z týchto vzájomných polôh:
 sú totožné (rovnobežné, totožné)
 majú jeden spoločný bod (rôznobežné)
 nemajú žiadny spoločný bod a ležia v rovine (rovnobežné)
 nemajú žiadny spoločný bod a neležia v rovine (mimobežné)

Question 4

Veta o vzájomnej polohe priamky a roviny

Answer 4

Priamka má vzhľadom
k rovine práve jednu z týchto vzájomných polôh:
 leží v rovine
 nemá s rovinou žiadny spoločný bod (rovnobežné)
 má s rovinou práve jeden spoločný bod (rôznobežné)

Question 5

Veta o vzájomnej polohe dvoch rovín

Answer 5

Dve roviny majú práve jednu
z týchto vzájomných polôh:
 sú totožné
 nemajú žiadny spoločný bod (rovnobežné)
 majú spoločnú práve jednu priamku (rôznobežné)

Question 6

Karteziánska sústava súradníc v priestore

Answer 6

je
pravotočivá trojrozmerná ortonormálna sústava súradníc
25. Stereometria: Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy
2
Inými slovami je to trojica čísiel x, y, z (značených aj x1, x2, x3),
nazývaných karteziánske súradnice, pre ktoré platí, že:
o vektory prislúchajúce k jednotlivým súradniciam (tzv. osi súradníc, takisto
označované x, y, z alebo x1, x2, x3):
 majú spoločný bod s hodnotou 0 (tzv. začiatok karteziánskej sústavy
súradníc)
 sú na seba kolmé
o jednotky dĺžky pre všetky osi súradníc sú rovnaké
o prvá súradnica v poradí (x resp. x1) značí prvý pohyb (kvázi “doprava”), druhá
súradnica v poradí (y resp. x2) značí následný pohyb kolmo doľava (a nie
doprava) - podľa toho je prvá súradnica abscisa a druhá ordináta

Question 7

Vzájomná poloha dvoch priamok

Answer 7

o rovnobežné (ležia v jednej rovine a nemajú spoločný bod)
o rovnobežné – totožné (ležia v jednej rovine a majú spoločné všetky body)
o rôznobežné (ležia v jednej rovine a majú spoločný práve jeden bod)
o mimobežné (neležia v jednej rovine)
Poznámka: Priamky v priestore môžu byť určené len parametrickými rovnicami!

Question 8

Vzájomná poloha dvoch rovín

Answer 8

o rovnobežné
o rovnobežné – totožné
o rôznobežné (spoločná priamka)