Interner Zinssatz (dynam. Inv.) Flashcards
Wie kann man die funktionale Beziehung zwischen dem Zinssatz i und dem Kapitalwert K abbilden?
Durch eine Kapitalwertfunktion K(i)
Wenn zu Beginn nur eine Auszahlung und nachfolgend nur Einzahlungen auftreten, wird der Kapitalwert mit steigendem i sinken oder ansteigen?
Woran liegt das?
sinken
daran, dass die Anfangsauszahlung undiskontiert und damit unabhängig vom Zinssatz in den Kapitalwert eingeht und die Einzahlungen bei steigendem Zinssatz immer stärker diskontieren werden.
Kapitalwertfunktion
—> siehe Buch Seite 54
…
Beim Zinssatz von null tritt keinerlei Diskontierung auf und der Kapitalwert entspricht einfach der Summe aller Einzahlungsüberschüsse.
Wahr/Falsch?
Wahr
Bei einem Zinssatz von fast -100% geht der Bruttozins q = 1 + i gegen null und die Barwerte der einzelnen zukünftigen Einzahlungsüberschüsse werden unendlich klein.
Wahr/Falsch?
FALSCH !
…werden unendlich GROß!
(Also auch der Kapitalwert des Zahlungsstroms)
—> Darum nähert sich die Kapitalwertkurve in der Abbildung im Buch der gestrichelten Asymptote bei i = -1 an
Ein Bruttozins, der gegen null geht, bedeutet, dass alternative Anlagen nicht nur keine Verzinsung liefern, sondern auch mit einem fast vollständigen ?? verbunden sind.
Kapitalverzehr
Wenn i gegen Unendlich geht, wird unendlich stark abgezinst.
Durch was wird der Kapitalwert dann nur noch bestimmt?
durch die Anfangsauszahlung
Was versteht man unter dem internen Zinssatz ?
Kalkulationszinssatz i*, bei dem der Kapitalwert einer Investition den Wert Null annimmt.
K(i*) = 0
Investition ist in der Lage, einen Kreditzins bis i* zu verkraften.
Wahr/Falsch?
Wahr
Wie lautet das Vorteilhaftigkeitskriterium beim internen Zinssatz?
Investition lohnt, wenn i < i*
Wie wird der interne Zinssatz berechnet?
Über Nullstellenberechnung eines
Polynoms T-Grades
e0 + e1 * (1+i)^-1 + e2 * (1+i)^-2 + … + eT * (1+i*)^-T = 0
Den internen Zinssatz über die Nullstellenberechnung eines T-Grades zu bestimmen führt zu Problemen, denn: ??
- geschlossene Lösungen nur bis T = 4 möglich
- möglicherweise mehrere Lösungen, keine reelle Lösung, keine positive Lösung
Bei Polynomen ab 5.Grades sind algebraische Lösungen nur noch in Spezialfällen möglich. Diese Schwierigkeiten sind jedoch theoretischer Natur, denn für jeden konkreten Zahlungsstrom lassen sich auch numerische Approximationslösungen für die Nullstellen finden.
Mit welchem Verfahren bspw. möglich?
Newtonsches Näherungsverfahren
Kapitalwertfunktion K(i)
K(i) = Summe(t=0 bis T) et * (1+i)^-t
K‘(i) = Summe(t=1 bis T) -t * et * (1+i)^-(t+1)
K‘‘(i) = Summe(t=1 bis T) t*(t+1) * (1+i)^(t+2)
Wenn ab t=1 nur noch positive Einzahlungsüberschüsse (also et > 0 ab t >= 1), dann K‘(i) < 0 und K‘‘(i) > 0 für alle i > 100 %
—> Kurvenverlauf?
Konvexer Verlauf, monoton fallend
—> siehe Folie 59 VL
—> oder siehe B.S.54
Wenn i gegen Unendlich geht, wird unendlich stark abgezinst. Dann wird der Kapitalwert nur noch durch die Anfangsauszahlung bestimmt.
An was nähert sich die Kapitalwertkurve darum an?
Nähert sich (gestrichelten) waagerechten Asymptote bei e0 = -A0 an.
—> siehe VL Folie 59
Newtonsches Näherungsverfahren
Siehe Vorlesung Folien 60+61
…
Newtonsches Näherungsverfahren
- Start mit einem beliebigen Wert ?(1)?.
- Kapitalwert K(q0) und Ableitung K‘(q0) berechnen
- außerdem gilt:
1) tan(alpha) = ?(3)?
2) tan(alpha) = ?(3)? - Gleichsetzen von 1) und 2)
—> ?(4)? - auflösen nach q1: ?(5)?
- berechnete Werte von ?(6)? und ?(6)? einsetzen und so q1 ermitteln
- Test, ob ?(7)? an der Stelle q1 bereits fast ?(8)? ist
- falls nicht ist was nötig? (9)
- hierfür in obiger Gleichung q0 durch ?(10)? ersetzen und q1 durch ?(11)? ersetzen
- weitere Näherungsschritte bis Kapitalwert hinreichend nahe an ?(12)? und ?(12)? gefunden
(1) q0
(3) :
1) tan(alpha) = K(q0) / (q1 - q0)
2) tan(alpha) = - K‘(q0)
(4) —> K‘(q0) = K(q0) / (q1-q0)
(5) auflösen nach q1: q1 = q0 - ( K(q0) / K‘(qo) )
(6) K(q0) und K‘(q0)
(7) Kapitalwert
(8) null
(9) zweiter Näherungsschritt, bei dem q2 ermittelt wird
(10) q1
(11) q2
(12) Null und q* gefunden
Beispiel: Newtonsches Näherungsverf. zur Bestimmung des internen Zinssatzes
Bsp.: B.S.57+58
—> oder VL Folie 63-65
…
Bei Normalinvestitionen treten zunächst nur Auszahlungsüberschüsse und anschließend ausschließlich Einzahlungsüberschüsse auf.
Wahr/Falsch?
Wahr
Wie viele Vorzeichenwechsel haben Normalinvestitionen in der Zahlungsreihe?
Nur einen Vorzeichenwechel
—> weil zunächst nur Auszahlungsüberschüsse
—> anschließend nur Einzahlungsüberschüsse
Im ökonomisch sinnvollen Bereich q >= 0 besitzt eine Normalinvestition genau einen einzigen internen Zinssatz.
Wahr/Falsch?
Wahr
Aufgabe Buch Seite 59+60
…
Ein einzelnes Projekt kann durchaus einen negativen internen Zinssatz haben
Beispielsweise das Projekt (80; 70). Der negative Zinssatz berechnet sich über:
-80 + 70 * q^-1 = 0
q* = 7/8 = 0,875
—> i* = -0,124 = -12,5%
…
Fälle wo es keinen internen Zinssatz gibt.
K(i) < 0 für alle i —> lohnend?
K(i) > 0 für alle i —> lohnend?
K(i) < 0 für alle i —> NIE LOHNEND
—> Bsp.: (-200; 10; -100)
K(i) > 0 für alle i —> STETS LOHNEND
—> Bsp.: (200; -10; 100)
Fälle bei denen kein reeller interner Zinssatz auftritt sind uninteressante Sonderfälle und untypische Investitionen.
Wahr/Falsch?
Wahr
—> siehe Verläufe auf Folie 70
Suche nach einem internen Zins für (-200; 10; -100)
—> Rechnung mit Lösung siehe Folie 71
…
Interessanter sind Fälle, in denen ein Projekt ?? aufweist.
mehrere interne Zinssätze
Mehrere reelle interne Zinssätze
Bsp.: e = (-100; 235; -138)
Berechne die internen Zinssätze!
Nullstellenberechnung:
(Kapitalwert = 0 )
- 100 + 235/ q - 138/q^2 = 0
—> q1,2 = 1,175 +/- 0,025
—> interne Zinssätze:
i1* = 15 % und i2* = 20%
(—> Graph siehe Folie 72)
Was bezeichnet man als Wiederanlageprämisse?
Die implizite Annahme, dass bei negativer Kapitalbindung das Guthaben ebenfalls zum Zinssatz angelegt werden kann.
-> eine solche Annahme ist allerdings abwegig
Die implizite Annahme, dass bei negativer Kapitalbindung das Guthaben ebenfalls zum Zinssatz angelegt werden kann bezeichnet man auch als?
Wiederanlageprämisse
—> Annahme allerdings abwegig
Das Kriterium des internen Zinssatzes ist nur wann sinnvoll?
Nur, wenn die Kapitalbindung(bei Kalkulation mit dem internen Zinssatz) während der gesamten Projektlaufzeit positiv ist.
Kriterium des internen Zinssatzes ist nur dann sinnvoll, wenn Kapitalbindung stets negativ.
Wahr/Falsch?
FALSCH!!
Stets POSITIV !!!!!!
Positive Kapitalbindung ist bei allen ?(1)? erfüllt, aber auch bei anderen denkbar.
Dann gilt Kapitalwert ist genau dann positiv, wenn Kalkulationszinssatz größer/kleiner(2)??? ist als der interne Zinssatz.
Dann Interpretation: i* ist ?(3)? auf das im Zeitablauf gebundene Kapital.
(1) Normalinvestitionen
(2) kleiner
(3) Rendite
Aufgabe Buch S.67
a) Was ist eine Normalinvestition?
a) Investitionszahlungsreihe besitzt nur genau einen Vorzeichenwechsel
Aufgabe Buch S.67
b) Was besagt die sogenannte Wiederanlageprämisse bei Verwendung des internen Zinsfußes?
Falls eine negative Kapitalbindung (=Guthaben) auftritt, kann es zum internen Zins angelegt werden.
(Man reinvestiert Geld in die Investition)
Aufgabe Buch S.67
c) WIeso ist die Wiederanlageprämisse bei der Entscheidung über die Vorteilhaftigkeit einer Normalinvestition unnötig?
Denn negative Kapitalbindung ist bei einer Normalinvestition ausgeschlossen!
Aufgabe Buch S.67
d) Als Zahlungsreihe eines Investitionsprojektes wird übermittelt:
et = (-10.000; 3000; 4000; 1000; ??)
Die Größe e4 ist durch einen Übertragungsfehler verloren gegangen, nicht aber der interne Zinsfuß, der mit i* = 0,1 angegeben wird. Berechne e4 !!
Bed. für internen Zinssatz: K0(i*) = 0
Somit:
- 10.000 + 3000/1,1 + 4000/1,1^2 + 1000/1,1^3 + e4/1,1^4 = 0
-3215,627348 + e4/1,1^4 = 0
e4 = 4708
Auswahlentscheidung mit dem internen Zinssatz
A besser als B, wenn iA* > iB*
Wahr/Falsch?
Falsch
—> sicher lässt sich das nur sagen, wenn:
KsubA(i) > KsubB(i) (für alle i)
Auswahlentscheidung mit dem internen Zinsfuß
A ist besser als B, wenn:
—> iA* > iB* und KsubA(i) > KsubB(i) für alle i gilt
Wahr/Falsch?
Wahr
—> richtige Auswahl mit internem Zinssatz
—> falsche Auswahl mit internen Zinssatz
—> siehe Graphen B.S.72
…
Klausuraufgabe machen
—> B.S.68
…
- festverzinsliche Wertpapiere
- leisten zu festen Termien (z.B. quartalsweise, halbjährig, jährlich) jeweils eine Zinszahlung
—> Bsp. Investition: A: (-100;6;6;6;6;106)
—> Wie nennt man die Art der Anleihe und welcher interne Zinssatz liegt vor?
Kuponanleihe
iA* = 6% (Kuponzinssatz(interner Zinssatz))
- gesamtgefällige, unverzinsliche Anleihe, die während der Gesamtlaufzeit keine Zinszahlungen mit sich bringt
- Halterendite ergibt sich aus dem „Disagio“
—> Disagio = Differenz zws. Kaufpreis und Rückzahlungsbetrag (Nominalwert)
Bsp. Investition: B:(-100;0;0;0;0;133,83)
—> Wie nennt man die Art der Anleihe und welcher interne Zinssatz liegt vor?
Zerobonds
iB* = 5Wurzel(133,82/100) - 1 = 0,059996 (= 6%)
—> Zerobondzinssatz(interner Zins)
(Allg.: i*t,T = T-tWurzel(Nennwert/Bt,T(Nennwert)) - 1 )
Beispiel:
Projekt A hat den Zahlungsstrom (− 80; 49,6; 44,8). Projekt B führt zum Zahlungsstrom (− 150; 90; 82,5).
—> iA* = 10%
—> iB* = 12 %
Berechnung von î: ??
Berechnung über Gleichsetzen beider Kapitalwerte:
-150 + 90/q - 82,5/q^2 = -80 + 49,6/q + 44,8/q^2
—> auflösen nach q und dann auflösen nach î.
—> wie berechnet???
—> î = 7,7%
—> trotz iB* > iA* ist für i < î Projekt A besser als B.
—> Test bei i = 6% —> KsubA = 8,33 > KsubB = 6,66
Vorgehen bei Auswahl zwischen Normalinvestition A und B mit Hilfe des internen Zinssatzes
Sind A und B lohnend? -> iA* > i und iB* > i ?
—> falls nein:
entsprechend Projekt unvorteilhaft, kein Auswahlproblem
—> falls ja: WEITER! (Im Bsp. mit i = 6% erfüllt)
- hat Investition mit höherer Kapitalbindung auch höheren internen Zinsfuß? (Problem: Kapitalbindung vorab bestimmen)
—> falls ja: „große“ Investition A besser
(im Bsp. nicht wegen iA* < iB*)
—> falls nein: „kleine“ Investition B könnte besser sein.
- Übergang von „kleiner“(rentierlicheren) zu „großer“ Investition vorteilhaft? Was muss man dafür betrachten?
Betrachtung der „Differenzinvestition“
Zahlungsstrom, der zusätzlich entsteht, wenn man anstelle des „kleineren“ Projekts das „größere“ wählt
Zahlungsstrom, der zusätzlich entsteht, wenn man anstelle des „kleineren“ Projekts das „größere“ wählt.
Nennt man wie?
Berechnet man wie?(Bspw.)
Differenzinvestition
eB = (− 150; 90; 82,5)
- eA = (− 80; 49,6; 44,8)
———————————————-
eB−A = (− 70; 40,4; 37,7)
Interpretation Differenzinvestition
eB = (− 150; 90; 82,5)
- eA = (− 80; 49,6; 44,8)
———————————————-
eB−A = (− 70; 40,4; 37,7)
Wenn also anstelle des kleineren Projekts A das Projekt B gewählt werden würde, dann käme es in t=0 zu einer ?(1)? von 70. In t=1 wäre ?(2)? 40,4 und in t =2 wäre sie 37,7.
Ist Differenz eine Normalinvestition?
—> falls nein: ?(3)?
—> falls ja: ?(4)?
(1) Mehrauszahlung
(2) Mehreinzahlung
(3) falls nein: i* nicht zweckmäßig; spätestens jetzt Kapitalwertkriterium Ksub(A-B)
(4) falls ja: Übergang zu großer Investition A genau dann lohnend, wenn i(A-B)* > i
—> im Bsp. i(A-B)* = 7,7% > i = 6%, also A besser als B
Erkenntnisse zum internen Zinssatz
- oft nur numerisch lösbar, jedoch kein Gegenargument
- echte Probleme bei Nicht-Normalinvestition
—> Mehrdeutigkeit
—> Wiederanlageprämisse bei negativer Kapitalbindung - bei Normalinvestition
—> Durchführung lohnend, wenn i* > i
—> Auswahlentscheidung ggf. mit Differenzinvestition
REKONSTRUKTION DER RICHTIGEN ENTSCHEIDUNG IST MÜHSAM. KAPITALWERT IST VORZUZIEHEN.
(Nur lesen)
…
Erkenntnisse zum internen Zinssatz
Rekonstruktion der richtigen Entscheidung ist mühsam. Kapitalwert ist vorzuziehen.
Wahr/Falsch?
Wahr
Klausuraufgabe(Theorie)
—> B.S. 73+74!!!!
…
Gegeben ist die Investition A:
IA: (-100; 0; 0; 0; 146,41)
Ermittle den Kapitalwert bei unverzinslicher Alternativanlage
Unverzinsliche Alternativanlage
—> spricht i=0 und somit q=1
Somit:
-100 + 146,41/q^4 = -100+146,41 = 46,41
—> also im Prinzip einfach nur die Summe des Zahlungsstroms nehmen, also Zahlungen aufaddieren…
