Diskontieren (5.2) Flashcards
Wie vergleiche ich Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen?
Zwei Möglichkeiten:
1) zeitliche Verschiebung von Zahlungen durch Markttransaktionen auf einen einheitlichen Zeitpunkt (objektiver Vergleich)
2) subjektiver Vergleich der Zahlungen durch indiv. Zeitpräferenzen
Vergleich mittels Markttransaktionen
Variante A:
Transformation von z0 in die Zukunft t durch Anlage
Gebe die Formel zur Berechnung des Betrags nach:
- 1 Jahr: ??
- 2 Jahr: ??
- t Jahren: ??
nach 1 Jahr: (1+i) * z0
Nach 2 Jahren: (1+i)^2 *z0
Nach t Jahren: (1+i)^t *z0
(i = Zinssatz)
Bsp.: Zeitliche Transformation über Markttransaktionen
Variante A: Transformation von z0 in die Zukunft t durch Anlage
Was ist besser, z0 = 100.000 oder z10 = 250.000, wenn…
a) der Zinssatz i = 8% beträgt
b) der Zinssatz i = 10% beträgt
allg. (1+i)^t * z0
a) (1+0.08)^10 * 100.000 = 215.892 < 250.000
—> Somit wäre z10 vorzuziehen
__________
b) (1+0,1)^10 * 100.000 = 259.374 > 250.000
—> dann sollte man sich für z0 entscheiden
Zeitliche Transformation über Markttransformationen
Variante B: Transformation von zt in die Gegenwart durch Kreditaufnahme
—> zt muss für Tilgung und Bedienung aller Zinsen und Zinseszinsen einer gegenwärtigen Kreditaufnahme zum Zinssatz i ausreichen (also welcher heutige Betrag kann als Äquivalent für den künftigen Betrag zt angesehen werden?)
Formel zur Berechnung des Kreditbestands inklusive Zinseszinsen in t (Dt)?
________
Anforderung die dabei erfüllt sein muss und Vergleich?
Formel: Dt = (1+i)^t * D0
—> wobei D0: aufnehmbarer Kreditbetrag in t = 0
__________
Anforderung: zt = Dt = (1+i)^t *D0
—> umstellen nach D0 = (1+i)^-t * zt (=zt / (1+i)^t)
—> nun Vergleich mit z0 möglich: z0 >(
Vergleich mittels Markttransaktionen
Variante B: Transformation von zt in die Gegenwart durch Kreditaufnahme
Bsp.: z0 = 100 oder z2 = 120 besser ?
a) für i = 8%
b) für i = 10%
allg. : (1+i)^-t * zt
a) (1,08)^-2 * 120 = 102,88 > 100 —> z2 besser!
b) (1,1)^-2 * 120 = 99,17 < 100 —> z0 besser
In Abhängigkeit der subjektiven Zeitpräferenz und Anfangsausstattung kann es optimal sein, die heutigen Konsum- und Investitionsausgaben (teilweise) auf Kredit zu finanzieren.
Welcher Zins wäre dann anzuwenden?
Sollzins
Es kann sein, dass im Optimum zusätzlich zu den Sachinvestitionen Geld angelegt wird
Welcher Zins wäre dann relevant?
Habenzins
Wenn es optimal ist weder Geld anzulegen noch aufzunehmen.
Weder der Soll- noch der Habenzins dann relevant. Ein intertemporaler Vergleich wär mit Hilfe der subjektiven Zeitpräferenz vorzunehmen.
Wahr/Falsch?
Wahr
Es stellt sich die Frage, wann der Soll- und wann der Habenzins anzuwenden ist?
Mit Hilfe von welchem Modell kann dies beantworten?
mit Hilfe eines Modells von Hirshleifer
Eine Zahlung zt in einen beliebigen Zeitpunkt t^* transformieren, lässt sich ganz allgemein über folgende Gleichung beschreiben: ??
Wann benutzt man Aufzinsung und wann Abzinsung?
Bsub(t) = (1+i)^(t-t) * zt
t* > t: Aufzinsung
t* < t: Abzinsung
Sonderfälle
- t* = 0: B0 heißt ??
- t* = T: BT heißt ?? (Mit T als Ende des Planungshorizonts)
- B0 heißt Barwert
- BT heißt Endwert
Als Barwert wird derjenige Wert bezeichnet, den eine Zahlung oder auch eine Zahlungsreihe aufweist, wenn man sie auf das Ende des Planungshorizontes T transformiert (also, wenn t* = T gesetzt wird.
Wahr/Falsch?
FALSCH
Als Barwert wird derjenige Wert bezeichnet, den eine künftige Zahlung oder auch Zahlungsreihe aufweist, wenn man sie in die Gegenwart transformiert (also, wenn t* = 0 gesetzt wird).
Als Barwert wird derjenige Wert bezeichnet, den eine künftige Zahlung oder auch Zahlungsreihe aufweist, wenn man sie in die Gegenwart transformiert (also, wenn t* = 0 gesetzt wird).
Wahr/Falsch
WAHR
Als Endwert wird derjenige Wert bezeichnet, den eine Zahlung oder auch eine Zahlungsreihe aufweist, wenn man sie auf das Ende des Planungshorizontes T transformiert (also, wenn t* = T gesetzt wird). Der Planungshorizont ist die Zeitdauer, für die explizit geplant wird.
Wahr/Falsch?
Wahr
Anlässlich einer Erbschaft kann Rita Röck zwischen einem Wertpapiervermögen und einer dreijährigen Rente wählen. Die Wertpapiere sind in 2 Jahren fällig und erbringen die Zahlungen 1 Mio. € nach dem 1. Jahr und 10 Mio. € nach dem 2. Jahr. Die Rente führt zu jährlichen Zahlungen i.H.v. 4 Mio. nach dem 1., 2. und 3. Jahr.
Welches Erbteil wählt Rita, wenn sie einen Zinssatz von 10 % zugrunde legt?
Lösung siehe Buch Seite 20+21
Unterjährige Verzinsung
Welche 2 Formen der Verzinsung gibt es?
- diskrete Verzinsung
- kontinuierliche Verzinsung
Diskrete Verzinsung
Ein unterjähriger Zins r (hier z.B. Monatszins) entspricht einem Jahreszins i mit: ??
(1 + r)^12 = 1 + i
Diskrete Verzinsung (umgekehrt)
Bsp.:
- der Jahreszins beträgt i = 5%
Was wäre äquivalent dazu der Monatszins r ?
—> umformen von (1+r)^12 = 1 + i
r = 12Wurzel(1 + i) - 1
= 12Wurzel(1,05) -1 = 0,00404 = 0,4%
—> Monatszins r = 0,4% wird monatlich ausgeschüttet und wiederverzinslich zu Monatszinssätzen von 0,4 % angelegt
Ein Betrag B verzinst sich nach jedem unendlich kleinen Zeitintervall und diese Zinsen erwirtschaften danach wiederum Zinsen usw.
Um welche Art von unterjähriger Verzinsung handelt es sich?
Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung
Unterjährige Verzinsung
Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung
Ein Betrag B verzinst sich nach jedem unendlich kleinen Zeitintervall und diese Zinsen erwirtschaften danach wiederum Zinsen usw.
- Erhöhung von B(t) nach unendlich kleinem Zeitintervall dt um dB
- Verzinsung p nach diesem Zeitintervall
p (roh) = ?? = ?? = ?? = ??
___________________________________________
- p soll im Zeitablauf t konstant sein
—> dann ist die Verzinsung r pro Zeiteinheit (1 Periode bzw. 1 Jahr)
r = ?? = ??
___________________________________________
- Integration von r sowie der rechten Seite über t = ??
___________________________________________ - beide Seiten als Exponent zur Basis e (Eulersche Zahl): ??
Werterhöhung/Kapitaleinsatz = dB / B(t)
= ((dB/dt) / B(t) ) * dt = ( B‘(t) / B(t) ) * dt
(—> erweitert mit dt)
___________________
r = p / dt = B‘(t) / B(t)
___________________
r * t + A = ln(B(t))
—> A Integrationskonstante
—> ln(B(t)), weil 1/B(t) = ln(B(t))
___________________
e^(rt+A) = e^(ln(B(t)))
—> umformen zu: e^A * e^(rt) = B(t)
Unterjährige Verzinsung
Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung
e^A * e^(r*t) = B(t)
—> für t=0 folgt: ??
—> einsetzen führt zu: ??
______________________
Das Startkapital B(0) verzinst sich also nach Zeitdauer t mit dem ?? e^(r*t) auf den Betrag B(t)
______________________
r bzw. p(roh) heißen „zeitstetige“ oder „kontinuierliche“ Zinsrate (bezogen aufs Jahr bzw. auf unendl. kleinen Zeitraum)
—> e^A = B(0)
—> B(t) = B(0) * e^(r*t)
___________________________
dem AUFZINSUNGSFAKTOR e^(r*t)
Unterjährige Zinsen
Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Zinsrate und Jahreszinssatz
Definiere: 1 Jahr läuft von t = 0 bis t = 1
Aufzinsungsfaktor für ein Jahr ist also: ??
_____________________________________________
Welcher Jahreszins i führt zum gleichen Endbetrag nach einem Jahr wie eine kontinuierliche Verzinsung mit r?
Aufzinsungsfaktor für ein Jahr: e^(r1)
(Weil allg.: e^(rt) )
______________________________________________
- Endwerte gleichsetzten
Endwert bei kontinuierlicher Verzinsung
= Endwert mit einfachem Jahreszins
—> B(0) * e^r = B(0) * (1+i)
—> umstellen nach r: r = ln(1 + i)
Die zu einem diskreten Jahreszins passende zeitkontinuierliche Zinsrate beträgt:
r = ln(1 + i)
Wahr/Falsch ?
Wahr
Bsp.: Kontinuierliche Verzinsung
Eine Anleihe ist mit einem diskreten Zinssatz von i = 5% pro Jahr ausgestattet.
Die dazu passende kontinuierliche Zinsrate wäre etwas geringer, und zwar:
r = ??
r = ln(1,05) = 0,04879 = 4,879 %
Bei der diskreten Verzinsung werden zwischendurch ständig Zinsen berechnet, auf die wiederum Zinsen verdient werden.
Wahr/Falsch?
FALSCH
Bei der diskreten Verzinsung werden die Zinsen erst am Ende berechnet
Bei der diskreten Verzinsung werden die Zinsen erst am Ende berechnet
Wahr/Falsch ?
Wahr
Bei der kontinuierlichen Verzinsung werden zwischendurch ständig Zinsen berechnet, auf die wiederum Zinsen verdient werden.
Wahr/Falsch?
Wahr
In der Praxis werden unterjährige Zinsen mitunter vereinfacht berechnet.
Wie nennt man allgemein die Verzinsung?
Zeitanteilige Verzinsung
Verfahren bei dem es darum geht, wie mit den zwischenzeitlich abgelaufenen Zinsen einer Anleihe verfahren wird, wenn diese Anleihe vor dem nächsten Zinstermin verkauft wird ?
Stückzinsberechnung
—> der Käufer der Anleihe zahlt dem Verkäufer die zwischenzeitlich aufgelaufenen Zinsen (Stückzinsen)
Bsp.:
Geg.:
- Anleihe mit Nennwert 100€
- Zinssatz von 5% pro Jahr
- Zinszahlung jährlich am 31.12 nach dem letzten Zinstermin
Ber.:
Käufer zahlt einen Zeitanteil von 73/365 = 1/5 der Jahreszinsen an den Verkäufer (zusätzlich zum Kurs der Anleihe, sog. Clean Price)
—> r = 5% / 5 = 1% für 1/5 Jahr
Fehler durch Vereinfachung, denn Korrektur unterjähriger Zins r für 1/5 Jahr bei gegebenem Jahreszins i = 5% wäre ungefähr: ??
Wie lautet die Reaktion des Käufers darum?
r = 5Wurzel(1+i) -1 = 0,98% < 1% zeitanteiliger Zins
—> Käufer zahlt also 0,02% zu viel
—> Reaktion:
Kompensation durch Kursabsenkung um 0,02%
Falls keine Stückzinsen extra gezahlt werden, sondern der Kurs bereits den (korrekten) Zinsanspruch des Verkäufers beinhaltet, handelt es sich um den sog. ??
Dirty Price
Käufer zahlt einen Zeitanteil von 73/365 = 1/5 der Jahreszinsen an den Verkäufer (zusätzlich zum Kurs der Anleihe)
Sogenannter?
Clean Price
Bsp.:
Sie erwerben am 30.09 eine Anleihe, die zum Ende des aktuellen Jahres fällig wird. Die Zinsen werden jährlich am 31.12. ausbezahlt. Die Anleihe hat einen Nennwert von 1000€ und eine Verzinsung von jährlich 7%.
Wie hoch ist der Zinsanteil nach Stückzinsberechnung, den der Verkäufer verlangen wird?
—> Stückzinsberechnung ist eine Art Überschlagsberechnung
r = 3/4 * 7% = 5,25% (für 3/4 Jahr)
1000€ * 0,0525 = 52,5€
Als Habenzinsen bezeichnet man aus der Sicht der Bank die Zinsen, die der Kreditnehmer für einen erhaltenen Kredit zahlen muss.
Wahr/Falsch
Falsch
—> dies sind die Sollzinsen
Habenzinsen sind die Zinsen, die die Bank den Anlegern für die Sparkonten zahlt.
Wahr/Falsch?
Wahr
Als Sollzinsen bezeichnet man aus der Sicht der Bank die Zinsen, die der Kreditnehmer für einen erhaltenen Kredit zahlen muss.
Wahr/Falsch?
Wahr
Aufgabe: Indifferenzkurve
—> Buch S.28+29
…
Geld stiftet nur Nutzen, wenn es für Güter eingetauscht werden kann, die unmittelbar Nutzen spenden.
Wahr/Falsch?
Wahr
Alles, was unmittelbar Nutzen spendet, nennt sich ??
Konsumgut
U(c0;c1;…;cT)
Was beschreibt die Funktion?
den Nutzen, den man aus dem für heute geplanten Konsum c0, dem für morgen geplanten Konaum c1 usw. insgesamt aus heutiger Sicht erzielt.
Eigenschaften die Nutzenfunktionen U typischerweise aufweisen?
- der Grenznutzen sinkt im Konsum
—> Grenznutzen = 1.Abl. Der Nutzenfkt.
—> 2.part. Abl. der Funktion im jeweiligen Konsum c0,… negativ - Konsumgrößen c0, c1,… gegenseitig substituierbar
—> weniger an c0 kann man z.B. durch ein Mehr an c1 kompensieren
Unter Zuhilfenahme der Nutzenfkt. lassen sich alle (c0,c1,…)-Kombinationen beschreiben, die zu ein und demselben ?? führen
Nutzenniveau
Wie nennt man die „Indifferenzkurve“ noch?
„Isonutzenlinie“
Je weiter eine Indifferenzkurve vom Ursprung entfernt liegt, desto höher ist das fixierte ??, das mit den c0,c1-Kombinationen, die auf dieser Kurve liegen, erreicht wird
Nutzenniveau
Eine Indifferenzkurve ergibt sich aus der individuellen Nutzenfunktion des jeweiligen Entscheiders. Sie drückt also eine individuelle ?? aus
Präferenz
Jeder Investor wird versuchen, auf eine Indifferenzkurve zu gelangen, die möglichst weit entfernt vom Ursprung liegt
Wahr/Falsch?
Wahr
Intertemporaler Vergleich über Zeitpräferenzen
Bei dieser Vorgehensweise wird die Möglichkeit außer Acht gelassen eine Zahlung über eine Geldanlage oder Kreditaufnahme in einen anderen Zeitpunkt zu transferieren.
Diese Entscheidungssituation ist also eine unter Vernachlässigung des ??
Kapitalmarkts
Indifferenzkurve bestimmen, Bsp.:
U = c0^0,4 * c1^0,5
—> umstellen nach c1
c1 = UStrich^2 / c0^0,8 (Indifferenzkurve, Hyperbel)
Bewertung zweier unterschiedlicher Konsumpläne
Plan A: (c0;c1) = (40;60)
Plan B: (c0;c1) = (60;40)
Investor 1: U1 = c0^0.5 * c1^0,4
Investor 2: U2 = c0^0,4 * c1^0,5
—> welchen Plan bevorzugt der jeweilige Investor?
Investor 1:
- U1(A) = 32,53
- U1(B) = 33,88
—> bevorzugt B
Investor 2:
- U2(A) = 33,88
- U2(B) = 32,53
—> bevorzugt A
—> Investor 1 hat stärkere Gegenwartspräferenz
Subjektive Bewertung von Konsumplänen
Erkenntnis:
Je steiler Indifferenzkurve, desto stärker Neigung zu ?? Konsum, desto größer „??“
Je steiler Indifferenzkurve, desto stärker Neigung zu gegenwärtigem Konsum, desto größer „individuelle Diskontrate“
Je steiler Indifferenzkurve, desto stärker Neigung zu gegenwärtigem Konsum, desto größer „individuelle Diskontrate“
Wahr/Falsch?
Wahr
Vergleich von Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten anhand von subjektivem und objektivem Vergleich
Wie nennt man dies allgemein?
Diskontieren
Stückzins = ??
= (Betrachteter Zeitraum / gesamte Periodendauer) * i
