Diskontieren (5.2) Flashcards
Wie vergleiche ich Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen?
Zwei Möglichkeiten:
1) zeitliche Verschiebung von Zahlungen durch Markttransaktionen auf einen einheitlichen Zeitpunkt (objektiver Vergleich)
2) subjektiver Vergleich der Zahlungen durch indiv. Zeitpräferenzen
Vergleich mittels Markttransaktionen
Variante A:
Transformation von z0 in die Zukunft t durch Anlage
Gebe die Formel zur Berechnung des Betrags nach:
- 1 Jahr: ??
- 2 Jahr: ??
- t Jahren: ??
nach 1 Jahr: (1+i) * z0
Nach 2 Jahren: (1+i)^2 *z0
Nach t Jahren: (1+i)^t *z0
(i = Zinssatz)
Bsp.: Zeitliche Transformation über Markttransaktionen
Variante A: Transformation von z0 in die Zukunft t durch Anlage
Was ist besser, z0 = 100.000 oder z10 = 250.000, wenn…
a) der Zinssatz i = 8% beträgt
b) der Zinssatz i = 10% beträgt
allg. (1+i)^t * z0
a) (1+0.08)^10 * 100.000 = 215.892 < 250.000
—> Somit wäre z10 vorzuziehen
__________
b) (1+0,1)^10 * 100.000 = 259.374 > 250.000
—> dann sollte man sich für z0 entscheiden
Zeitliche Transformation über Markttransformationen
Variante B: Transformation von zt in die Gegenwart durch Kreditaufnahme
—> zt muss für Tilgung und Bedienung aller Zinsen und Zinseszinsen einer gegenwärtigen Kreditaufnahme zum Zinssatz i ausreichen (also welcher heutige Betrag kann als Äquivalent für den künftigen Betrag zt angesehen werden?)
Formel zur Berechnung des Kreditbestands inklusive Zinseszinsen in t (Dt)?
________
Anforderung die dabei erfüllt sein muss und Vergleich?
Formel: Dt = (1+i)^t * D0
—> wobei D0: aufnehmbarer Kreditbetrag in t = 0
__________
Anforderung: zt = Dt = (1+i)^t *D0
—> umstellen nach D0 = (1+i)^-t * zt (=zt / (1+i)^t)
—> nun Vergleich mit z0 möglich: z0 >(
Vergleich mittels Markttransaktionen
Variante B: Transformation von zt in die Gegenwart durch Kreditaufnahme
Bsp.: z0 = 100 oder z2 = 120 besser ?
a) für i = 8%
b) für i = 10%
allg. : (1+i)^-t * zt
a) (1,08)^-2 * 120 = 102,88 > 100 —> z2 besser!
b) (1,1)^-2 * 120 = 99,17 < 100 —> z0 besser
In Abhängigkeit der subjektiven Zeitpräferenz und Anfangsausstattung kann es optimal sein, die heutigen Konsum- und Investitionsausgaben (teilweise) auf Kredit zu finanzieren.
Welcher Zins wäre dann anzuwenden?
Sollzins
Es kann sein, dass im Optimum zusätzlich zu den Sachinvestitionen Geld angelegt wird
Welcher Zins wäre dann relevant?
Habenzins
Wenn es optimal ist weder Geld anzulegen noch aufzunehmen.
Weder der Soll- noch der Habenzins dann relevant. Ein intertemporaler Vergleich wär mit Hilfe der subjektiven Zeitpräferenz vorzunehmen.
Wahr/Falsch?
Wahr
Es stellt sich die Frage, wann der Soll- und wann der Habenzins anzuwenden ist?
Mit Hilfe von welchem Modell kann dies beantworten?
mit Hilfe eines Modells von Hirshleifer
Eine Zahlung zt in einen beliebigen Zeitpunkt t^* transformieren, lässt sich ganz allgemein über folgende Gleichung beschreiben: ??
Wann benutzt man Aufzinsung und wann Abzinsung?
Bsub(t) = (1+i)^(t-t) * zt
t* > t: Aufzinsung
t* < t: Abzinsung
Sonderfälle
- t* = 0: B0 heißt ??
- t* = T: BT heißt ?? (Mit T als Ende des Planungshorizonts)
- B0 heißt Barwert
- BT heißt Endwert
Als Barwert wird derjenige Wert bezeichnet, den eine Zahlung oder auch eine Zahlungsreihe aufweist, wenn man sie auf das Ende des Planungshorizontes T transformiert (also, wenn t* = T gesetzt wird.
Wahr/Falsch?
FALSCH
Als Barwert wird derjenige Wert bezeichnet, den eine künftige Zahlung oder auch Zahlungsreihe aufweist, wenn man sie in die Gegenwart transformiert (also, wenn t* = 0 gesetzt wird).
Als Barwert wird derjenige Wert bezeichnet, den eine künftige Zahlung oder auch Zahlungsreihe aufweist, wenn man sie in die Gegenwart transformiert (also, wenn t* = 0 gesetzt wird).
Wahr/Falsch
WAHR
Als Endwert wird derjenige Wert bezeichnet, den eine Zahlung oder auch eine Zahlungsreihe aufweist, wenn man sie auf das Ende des Planungshorizontes T transformiert (also, wenn t* = T gesetzt wird). Der Planungshorizont ist die Zeitdauer, für die explizit geplant wird.
Wahr/Falsch?
Wahr
Anlässlich einer Erbschaft kann Rita Röck zwischen einem Wertpapiervermögen und einer dreijährigen Rente wählen. Die Wertpapiere sind in 2 Jahren fällig und erbringen die Zahlungen 1 Mio. € nach dem 1. Jahr und 10 Mio. € nach dem 2. Jahr. Die Rente führt zu jährlichen Zahlungen i.H.v. 4 Mio. nach dem 1., 2. und 3. Jahr.
Welches Erbteil wählt Rita, wenn sie einen Zinssatz von 10 % zugrunde legt?
Lösung siehe Buch Seite 20+21
Unterjährige Verzinsung
Welche 2 Formen der Verzinsung gibt es?
- diskrete Verzinsung
- kontinuierliche Verzinsung
Diskrete Verzinsung
Ein unterjähriger Zins r (hier z.B. Monatszins) entspricht einem Jahreszins i mit: ??
(1 + r)^12 = 1 + i
Diskrete Verzinsung (umgekehrt)
Bsp.:
- der Jahreszins beträgt i = 5%
Was wäre äquivalent dazu der Monatszins r ?
—> umformen von (1+r)^12 = 1 + i
r = 12Wurzel(1 + i) - 1
= 12Wurzel(1,05) -1 = 0,00404 = 0,4%
—> Monatszins r = 0,4% wird monatlich ausgeschüttet und wiederverzinslich zu Monatszinssätzen von 0,4 % angelegt
Ein Betrag B verzinst sich nach jedem unendlich kleinen Zeitintervall und diese Zinsen erwirtschaften danach wiederum Zinsen usw.
Um welche Art von unterjähriger Verzinsung handelt es sich?
Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung
Unterjährige Verzinsung
Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung
Ein Betrag B verzinst sich nach jedem unendlich kleinen Zeitintervall und diese Zinsen erwirtschaften danach wiederum Zinsen usw.
- Erhöhung von B(t) nach unendlich kleinem Zeitintervall dt um dB
- Verzinsung p nach diesem Zeitintervall
p (roh) = ?? = ?? = ?? = ??
___________________________________________
- p soll im Zeitablauf t konstant sein
—> dann ist die Verzinsung r pro Zeiteinheit (1 Periode bzw. 1 Jahr)
r = ?? = ??
___________________________________________
- Integration von r sowie der rechten Seite über t = ??
___________________________________________ - beide Seiten als Exponent zur Basis e (Eulersche Zahl): ??
Werterhöhung/Kapitaleinsatz = dB / B(t)
= ((dB/dt) / B(t) ) * dt = ( B‘(t) / B(t) ) * dt
(—> erweitert mit dt)
___________________
r = p / dt = B‘(t) / B(t)
___________________
r * t + A = ln(B(t))
—> A Integrationskonstante
—> ln(B(t)), weil 1/B(t) = ln(B(t))
___________________
e^(rt+A) = e^(ln(B(t)))
—> umformen zu: e^A * e^(rt) = B(t)
Unterjährige Verzinsung
Zeitstetige (kontinuierliche) Verzinsung
e^A * e^(r*t) = B(t)
—> für t=0 folgt: ??
—> einsetzen führt zu: ??
______________________
Das Startkapital B(0) verzinst sich also nach Zeitdauer t mit dem ?? e^(r*t) auf den Betrag B(t)
______________________
r bzw. p(roh) heißen „zeitstetige“ oder „kontinuierliche“ Zinsrate (bezogen aufs Jahr bzw. auf unendl. kleinen Zeitraum)
—> e^A = B(0)
—> B(t) = B(0) * e^(r*t)
___________________________
dem AUFZINSUNGSFAKTOR e^(r*t)
