spline cubica Flashcards
Cos’è una spline cubica?
Nella spline cubica, ogni intervallo è rappresentato da un polinomio di terzo ordine (polinomio cubico).
Quante incognite ci sono in una spline cubica?
Per n+1 punti, ci sono n intervalli, quindi ci sono 4n incognite (i coefficienti ai, bi, ci, di per ogni intervallo).
Qual è la forma del polinomio usato in ogni intervallo della spline cubica?
Ogni intervallo è rappresentato da un polinomio del terzo ordine: f(x) = aix^3 + bix^2 + cix + di.
Quali sono le equazioni necessarie per determinare i coefficienti nella spline cubica?
-Le due funzioni adiacenti devono passare per i punti interni: 2(n-1) equazioni.
-La prima e l’ultima funzione devono passare per i punti finali: 2 equazioni.
-Le derivate prime nei punti interni devono essere uguali: (n-1) equazioni.
-Le derivate seconde nei punti interni devono essere uguali: (n-1) equazioni.
-Le derivate seconde nei nodi finali sono assunte nulle: 2 equazioni (condizioni di spline naturale).
Come si risolvono le equazioni per trovare i coefficienti nella spline cubica?
Le 4n equazioni lineari devono essere risolte simultaneamente per determinare i 4n coefficienti.
Cosa succede se si desidera la continuità della terza derivata?
La continuità della derivata terza non è garantita dalla spline cubica, poiché non c’è un vincolo esplicito per questa derivata.
Qual è il processo per ottenere il valore interpolato in un punto x?
Dopo aver risolto il sistema lineare e trovato le derivate seconde nei nodi, si trova l’intervallo in cui x appartiene e si calcola il valore interpolato con una formula che coinvolge i valori di f(x), le derivate seconde e i coefficienti nei nodi adiacenti.
Come si costruisce la matrice del sistema lineare per la spline cubica?
La matrice del sistema lineare è tridiagonale e coinvolge le derivate seconde nei nodi interni, con condizioni specifiche sulle derivate seconde nei nodi finali.
Cosa significa “condizioni di spline naturale”?
Le condizioni di spline naturale assumono che le derivate seconde nei nodi finali siano nulle, il che stabilisce i vincoli finali per il sistema di equazioni.
Qual è l’algoritmo generale per la spline cubica?
L’algoritmo deve controllare che i dati siano in ordine crescente, costruire la matrice del sistema lineare per le derivate seconde, risolvere il sistema, e poi calcolare i valori interpolati usando i coefficienti ottenuti.
Quali sono le equazioni utilizzate per determinare le derivate seconde nella spline cubica?
L’equazione generale per determinare le derivate seconde nei nodi è:
xi - xi-1 f’‘(xi-1) + 2(xi+1 - xi-1) f’‘(xi) + xi+1 - xi f’‘(xi+1) = 6 [fx(xi+1) - fx(xi)] + 6 [fx(xi) - fx(xi-1)].
Cosa significa che la matrice del sistema è tridiagonale?
Significa che la matrice che rappresenta il sistema lineare ha non-zero valori solo sulla diagonale principale e sulle due diagonali adiacenti, rappresentando così un sistema di equazioni con una struttura relativamente semplice da risolvere.
