radici multiple

Question 1

Cosa si intende per radice multipla?

Answer 1

Comportamento della derivata:

Una radice multipla 𝑟 è anche una radice della derivata 𝑃′(𝑥), se 𝑚≥2.
Ad esempio, se 𝑃(𝑥)=(𝑥−𝑟)**2, allora 𝑃′(𝑥)=2(𝑥−𝑟)P, e 𝑟 è radice sia di 𝑃(𝑥) che di
𝑃′(𝑥).
Aspetto grafico:
Una radice multipla pari (𝑚 pari) crea un punto di tangenza sull’asse 𝑥 (il grafico “tocca” l’asse ma non lo attraversa).
Una radice multipla dispari (𝑚 dispari) fa sì che il grafico attraversi l’asse 𝑥, ma con una curva più piatta rispetto a una radice semplice.

Question 2

Perché il metodo di Newton può essere lento nelle radici multiple?

Answer 2

Perchè il metodo di newton raphson, come anche quello delle secante, utilizzano le derivate prime al denominatore che ne caso di radici multiple possono essere nulle o tendere a zero.

Question 3

Cosa succede se il metodo di Newton non è adattato alle radici multiple?

Answer 3

Il metodo di Newton potrebbe non convergere correttamente o potrebbe divergere.

Question 4

Quali sono le tecniche per gestire le radici multiple?

Answer 4

1. Modifica del metodo di Newton (con correzioni). 2. Metodo della secante adattato. 3. Metodo di Müller. 4. Risoluzione algebrica della funzione.

Question 5

Metodo di Newton-Raphson Modificato

per la risoluzione di radici multiple

Answer 5

xi+1 = xi - (f’(xi) / f(xi)) * (1 / (1 - ([f’(xi)]^2 / (f(xi) * f’‘(xi)))))

Formula iterativa (Newton-Raphson per u(x)):
xi+1 = xi - u(xi) / u’(xi)

u’(x) = ([f’(x)]^2 - f(x) * f’‘(x)) / [f’(x)]^2

Question 6

Perché le radici multiple sono un problema nei metodi numerici?

Answer 6

Perché causano una convergenza più lenta o addirittura la divergenza dei metodi numerici standard, come il metodo di Newton.