quadratura di gauss

Question 1

Cos’è la quadratura di Gauss?

Answer 1

È un metodo numerico per calcolare integrali definiti, scegliendo i punti di integrazione e i coefficienti in modo ottimale per massimizzare la precisione.

Question 2

In cosa differisce la quadratura di Gauss dalle formule di Newton-Cotes?

Answer 2

Newton-Cotes utilizza punti regolari, mentre la quadratura di Gauss sceglie punti e coefficienti ottimali.

Question 3

Qual è la formula base della quadratura di Gauss a due punti?

Answer 3

I ≈ f(-1/√3) + f(1/√3)

Question 4

Quali sono i coefficienti e i punti della quadratura di Gauss a due punti?

Answer 4

c0 = 1, c1 = 1
x0 ≈ -0.5773503, x1 ≈ 0.5773503

Question 5

Domanda: Per quali polinomi è esatta la quadratura di Gauss a due punti?

Answer 5

È esatta per polinomi fino all’ordine 3.

Question 6

Qual è il cambio di variabile per adattare l’integrale a [-1, 1]?

Answer 6

x = (b + a)/2 + (b - a)/2 * xd, dx = (b - a)/2 * dxd

Question 7

Qual è la formula della quadratura di Gauss a tre punti?

Answer 7

I ≈ c0 * f(x0) + c1 * f(x1) + c2 * f(x2)
Dove:
c0 ≈ 0.555555556, c1 ≈ 0.888888889, c2 ≈ 0.555555556
x0 ≈ -0.774596669, x1 = 0, x2 ≈ 0.774596669

Question 8

Per quali polinomi è esatta la quadratura di Gauss a tre punti?

Answer 8

È esatta per polinomi fino all’ordine 5.

Question 9

Qual è la formula generale della quadratura di Gauss per n punti?

Answer 9

I ≈ Σ (ci * f(xi)), dove i valori di ci e xi sono calcolati imponendo esattezza per polinomi di ordine 2n - 1.

Question 10

Qual è il vantaggio principale della quadratura di Gauss rispetto ad altri metodi?

Answer 10

Richiede meno valutazioni della funzione per raggiungere un’accuratezza maggiore rispetto a metodi con punti equispaziati.