flashcards_iterazione_punto_fisso
Cos’è l’iterazione di punto fisso?
È un metodo numerico per trovare una soluzione di un’equazione f(x) = 0, riscrivendola come x = g(x) e iterando x_(n+1) = g(x_n).
Qual è l’obiettivo del metodo di iterazione di punto fisso?
Trovare un valore x* tale che x* = g(x*), cioè il punto fisso della funzione g(x).
Qual è la formula generale dell’iterazione di punto fisso?
x_(n+1) = g(x_n), dove g(x) è una funzione scelta opportunamente.
Quali sono le condizioni di convergenza dell’iterazione di punto fisso?
- g(x) deve essere continua nell’intervallo di interesse. 2. |g’(x)| < 1 in un intorno del punto fisso.
Cosa succede se |g’(x)| >= 1?
Il metodo non converge e potrebbe divergere.
Qual è il criterio di arresto nell’iterazione di punto fisso?
Si arresta quando |x_(n+1) - x_n| < epsilon o quando |f(x_n)| < epsilon, dove epsilon è una tolleranza fissata.
Quali sono i vantaggi dell’iterazione di punto fisso?
- È semplice da implementare. 2. Può convergere rapidamente se g(x) è ben scelta.
Quali sono gli svantaggi dell’iterazione di punto fisso?
- La convergenza non è garantita se |g’(x)| >= 1. 2. Dipende dalla scelta della trasformazione g(x). 3. Sensibile al punto iniziale x_0.
Com’è la velocità di convergenza del metodo di punto fisso?
La convergenza è lineare, cioè l’errore si riduce proporzionalmente a ogni iterazione. Può essere più rapida se |g’(x*)| è vicino a 0.
Fornisci un esempio semplice dell’iterazione di punto fisso.
Per f(x) = x^2 - 4 = 0, riscriviamo x = g(x) = (x^2 + 4)/2. Iteriamo x_0 = 1: x_1 = 2.5, x_2 = 3.125, ecc.
