interpolazione di lagrange Flashcards
Cos’è l’interpolazione polinomiale di Lagrange?
È un metodo per determinare un polinomio che passa attraverso un insieme di punti dati, formulato in modo conciso e diretto rispetto ai polinomi di Newton.
Come si esprime il polinomio di Lagrange di ordine n?
Il polinomio è dato dalla somma dei prodotti dei termini Li(x) e f(xi), ossia:
fn(x) = Σ (Li(x) * f(xi)) dove la sommatoria va da i = 0 a n.
Cosa è un termine Li(x) nel polinomio di Lagrange?
Li(x) è un prodotto che dipende da tutti gli altri punti tranne quello in questione, ed è definito come:
Li(x) = Π ( (x - xj) / (xi - xj) ) per j ≠ i.
Qual è il comportamento di Li(x) per x = xi?
Li(x) vale 1 per x = xi e vale 0 per tutti gli altri valori xj.
Come contribuisce ciascun termine Li(x) * f(xi) nel polinomio di Lagrange?
Ogni termine Li(x) * f(xi) contribuisce solo al valore f(xi) nel punto xi, mentre gli altri termini sono annullati.
Cosa si intende per errore di troncamento nei polinomi di Lagrange?
L’errore di troncamento è legato alla derivata (n+1)-esima della funzione, ed è simile a quello che si ottiene nei polinomi di Newton.
Qual è il vantaggio del metodo di Newton?
Il metodo di Newton è preferibile per calcoli esploratori, quando l’ordine del polinomio non è conosciuto a priori, e per la sua similitudine con la serie di Taylor.
Qual è il vantaggio del metodo di Lagrange?
Il metodo di Lagrange è preferibile quando l’ordine del polinomio è già noto e si desidera ottenere un’unica interpolazione, ed è più semplice dal punto di vista computazionale.
Qual è la principale differenza tra i metodi di Newton e Lagrange?
Newton è più adatto per calcoli esploratori e calcola differenze finite, mentre Lagrange è più efficiente computazionalmente quando l’ordine del polinomio è noto a priori.
Perché il metodo di Lagrange è computazionalmente più facile?
Lagrange non richiede il calcolo delle differenze finite, il che lo rende più semplice da implementare rispetto al metodo di Newton.
