monecarlo e sigma rejection Flashcards
A cosa serve e come funziona il metodo di Box-Muller?
È un metodo per generare numeri casuali distribuiti secondo una distribuzione gaussiana (media zero, varianza unitaria) trasformando numeri casuali uniformi. Usa due numeri uniformi x1 e x2 per produrre due numeri gaussiani y1 e y2 attraverso funzioni trigonometriche e logaritmiche.
Qual è l’obiettivo dell’integrazione Monte Carlo?
Stimare un integrale su un volume
𝑉
V campionando punti casuali.
Qual è la formula base dell’integrazione Monte Carlo?
integrale di f dV ≈ V * media f ± V * radice quadrata di (media f^2 - media f al quadrato) diviso radice di N.
Come cambia l’errore aumentando il numero di punti N nell’implementazione di Montecarlo?
L’errore diminuisce con 1 / radice di N.
Cosa fare se il volume V ha una forma complicata?
Racchiuderlo in un volume più semplice, accettando un errore maggiore.
A cosa serve il metodo della trasformazione inversa?
Generare numeri casuali secondo una distribuzione p(y) trasformando numeri uniformi.
Qual è la legge di trasformazione per ottenere y da x?
|p(y) dy| = |p(x) dx|
Da cui
P(y) =p(x) |(dx)/(dy)|
Qual è la trasformazione inversa per ottenere una distribuzione esponenziale?
Assumendo ad esempio la relazione
y(x) = -ln(x)
Invertendo la relazione si ha
x = exp(-y)
Da cui
dx=-exp(-y)dy
Pertanto
p(y) dy = exp(-y)dy
Come funziona il metodo della rejection?
Genera numeri secondo g(x), accettandoli con probabilità f(x) diviso g(x).
Quali caratteristiche deve avere g(x)?
Deve soddisfare g(x) maggiore o uguale a f(x) ovunque e preferibilmente essere efficiente.
Qual è la formula per trasformare numeri uniformi in Gaussiani con Box-Muller?
y1 = sqrt(-2ln(x_1)) cos(2pix_2)
y2 = sqrt(-2ln(x_1)) sin(2pix_2)
Che possono essere invertiti così
x_1= exp[-½(y_1² +y_2²]
x_2 =½1/Pi tan-¹(y_2/y_1)
