B - Proposições quantificadas (AULA 02) Flashcards
Proposições quantificadas
Para transformar uma sentença aberta em uma proposição, podemos recorrer a duas alternativas:
Alternativa 1)
Quantifica-se uma sentença aberta de duas formas:
1) Podemos atribuir um valor para a variável
20 + 10 = 50
Substituímos o 𝑥 por 20 e agora é possível julgar a expressão. Temos uma proposição falsa, uma vez que o
resultado dessa soma é 30 e não 50.
Professor, então quer dizer que “x+10=50” é uma sentença aberta e “20+10=50” é uma sentença fechada (proposição)?
Sim! Quando atribuímos um valor para a variável, passamos a poder avaliar a sentença e, por isso, ela se transforma em fechada.
Proposições quantificadas
Para transformar uma sentença aberta em uma proposição, podemos recorrer a duas alternativas:
Alternativa 2)
- Quantificador A
Podemos usar os quantificadores
Os quantificadores são palavras e/ou expressões que, ao serem usados em sentenças abertas, permitem transformá-las em proposições. Essas proposições passam a ser chamadas de proposições quantificadas.
Existem dois tipos de quantificadores. Vamos detalhá-los.
A) Quantificador Universal - ∀
Matematicamente, o quantificador universal é representado pelo símbolo ∀ (“para todo”, “para qualquer”, “qualquer que seja”).
∀𝒙, 𝑥 + 10 = 50
Lemos essa expressão da seguinte forma: “qualquer que seja 𝒙, x mais dez é igual a cinquenta.”. De início, já percebemos que é possível atribuir um valor lógico a essa expressão. A igualdade acima não será satisfeita para qualquer valor de 𝑥 e, por esse motivo, é falsa.
Todo homem é careca.
Substituímos “aquele” na expressão original pelo quantificador universal “todo”. Veja que se trata de uma proposição quantificada e que facilmente conseguimos julgá-la como verdadeira ou falsa.
Proposições quantificadas
Para transformar uma sentença aberta em uma proposição, podemos recorrer a duas alternativas:
Alternativa 2)
- Quantificador B
Podemos usar os quantificadores
Os quantificadores são palavras e/ou expressões que, ao serem usados em sentenças abertas, permitem transformá-las em proposições. Essas proposições passam a ser chamadas de proposições quantificadas.
B) Quantificador Existencial - ∃
O quantificador existencial é representado pelo símbolo ∃ (“existe”, “algum”, “pelo menos um”).
∃𝒙 ∶ 𝑥 ≤ 𝜋
Lemos essa expressão como “existe 𝒙 tal que 𝑥 é menor ou igual a pi.”. Atente-se que, mais uma vez, é possível atribuir um valor lógico à expressão. De fato, existem números que são menores que pi.
Algum homem é careca.
Podemos usar também “algum” para denotar o quantificador existencial. E aí? Está começando a perceber como os quantificadores atuam? Vejam que, de fato, eles transformam sentenças abertas em proposições.
Proposição Universal Afirmativa
Proposição Universal Afirmativa:
É toda proposição iniciada por um quantificador universal e cujo predicado é uma afirmação.
- Todo marinheiro é pescador.
- Toda profissão é digna.
Proposição Universal Negativa
Proposição Universal Negativa:
É toda proposição iniciada por um quantificador universal e cujo predicado é uma negação. Além desse caso, podemos identificar como proposições universais negativas todas aquelas que utilizam o quantificador “nenhum”.
- Todo brasileiro não é mentiroso.
- Nenhuma estudante é preguiçosa.
“Todo brasileiro não é mentiroso” é equivalente a “Nenhum brasileiro é mentiroso”?
Siiiiiiiiiiiuu
Sempre que estivermos lidando com expressões do tipo “todo… não…” poderemos trocá-la por “nenhum”. Não há mudança de sentido ao reescrever as proposições usando esse tipo de substituição:
- “Todo brasileiro não é mentiroso.” = “Nenhum brasileiro é mentiroso.”
- “Toda estudante não é preguiçosa.” = “Nenhuma estudante é preguiçosa.”
- “Todo trabalhador não acorda tarde.” = “Nenhum trabalhador acorda tarde.”
Proposição particular afirmativa
Proposição Particular Afirmativa:
É toda proposição iniciada por um quantificador existencial e cujo predicado é uma afirmação.
Existe um matemático que é engenheiro.
Pelo menos uma empresa é honesta.
Algum advogado é médico.
Proposição particular negativa
É toda proposição iniciada por um quantificador existencial e cujo predicado é uma negação.
Existe um matemático que não é engenheiro.
Algum advogado não é médico.
Pelo menos uma empresa não é honesta.
A negação de “todo brasileiro gosta de futebol” é:
A) Nenhum brasileiro gosta de futebol [+ Explicação do porquê de ser ou não ser]
B) Algum brasileiro não gosta de futebol [+ Explicação do porquê de ser ou não ser]
C) Pelo menos um brasileiro não gosta de futebol [+ Explicação do porquê de ser ou não ser]
O primeiro passo para negar esse tipo de proposição é compreender que se temos uma sentença do tipo “todo brasileiro gosta de futebol”, para negá-la não podemos dizer que “nenhum brasileiro gosta de futebol”. Esse tipo de erro é bastante comum entre os alunos.
Para negar o fato de que “todo brasileiro gosta de futebol” devemos falar que “pelo menos um brasileiro não gosta de futebol”. Afinal, só basta um brasileiro não gostar de futebol para que a sentença “todo brasileiro gosta de futebol” não seja verdade.
Então, comece a perceber que para negar uma proposição quantificada, precisamos substituir o seu quantificador por outro. Nesse caso, estamos substituindo um quantificador universal por um quantificador existencial. Além de realizar essa troca, estamos negando sempre o predicado da oração.
“p: Todo brasileiro não gosta de música clássica.”
Qual é a negação da proposição p?
~p: Existe um brasileiro que gosta de música clássica.
Substituímos “todo” que é um quantificador universal por “existe um” que é um quantificador existencial.
Além disso, tínhamos o predicado “não gosta de música clássica”, ao negá-lo ficamos com “gosta de música
clássica”.
“q: Nenhum investidor quer perder dinheiro.”
Qual é a negação da proposição q?
~q: Pelo menos um investidor quer perder dinheiro.
Observe que quando temos o quantificador universal “nenhum”, não precisamos negar o predicado. Isso
acontece pois quando falamos “nenhum”, na verdade já temos uma negação subentendida.
“p: Existem pessoas que não pegaram COVID-19”
Qual é a negação da proposição p?
¬p: Todas as pessoas pegaram Covid-19.
“r: Pelo menos uma pessoa participou do congresso.”
Qual é a negação da proposição r?
¬r: Nenhuma pessoa participou do congresso.
Considerando que a proposição “com óculos, todas as fotos são nítidas” é FALSA. É correto afirmar que: “Sem óculos, alguma foto não é nítida”, é verdadeira?
NOOOOOOP GUERREIROS
Galera, se você identificou que está diante de um problema de negação de proposição quantificada, você deve focar no que vimos aqui: substituir o quantificador e negar o predicado. O resto não muda!!!
O examinador vai tentar te pegar jogando termos assim na proposição. Vamos ver alguns exemplos.
p: À noite, todas as estrelas aparecem no céu.
¬p: À noite, alguma estrela não aparece no céu.
q: Todo dia quente agrada aos turistas.
¬q: Algum dia quente não agrada aos turistas.
r: Quando virou à esquerda, todos os semáforos estavam verdes.
¬r: Quando virou à esquerda, algum semáforo não estava verde.
Observe que em nenhuma negação nós substituímos “noite” por “dia”, “quente” por “frio”… O foco é a substituição do quantificador e a negação do predicado. Não caiam nessas pegadinhas!
