A - Álgebra de proposições Flashcards
Do que trata a Álgebra de Proposições?
A álgebra de proposições trata do uso sequencial de equivalências lógicas e de outras propriedades para
simplificar expressões.
Por que é interessante utilizar a álgebra de proposições?
O uso dessa ferramenta é interessante para resolver questões de um modo mais rápido. Além disso, pode ser muito útil em questões mais diretas de equivalências lógicas, quando a banca tenta “esconder” a equivalência nas alternativas.
Propriedade comutativa
- O que é?
- Quais conectivos gozam dessa propriedade?
Todos os conectivos, exceto o condicional (se…então; →), gozam da propriedade comutativa. Isso quer dizer que é possível trocar a ordem dos componentes em uma proposição composta sem afetar o resultado da tabela-verdade:
p∧q ≡ q∧p
p∨q ≡ q∨p
p∨q ≡ q∨p
p↔q ≡ q↔p
Propriedade Associativa
- Explicação da aplicação em multiplicações e adições
Na álgebra elementar, quando realizamos uma multiplicação, é comum ouvirmos a frase “a ordem dos
fatores não altera o produto”. Essa frase resume a propriedade associativa para a multiplicação.
Vamos supor que queremos realizar a multiplicação 3×5×7. Ela pode ser feita de duas formas:
- Multiplicamos 3×5 e depois multiplicamos esse resultado por 7, obtendo (3×5)×7; ou
- Multiplicamos 3 pelo resultado da multiplicação de 5×7, obtendo 3×(5×7).
Ou seja, na álgebra elementar, a propriedade associativa nos diz que em uma multiplicação de diversos termos, podemos realizar as operações de multiplicação na ordem que bem entendermos que o resultado será o mesmo:
(𝟑 × 𝟓) × 𝟕 = 𝟑 × (𝟓 × 𝟕)
O mesmo vale para a adição de termos:
(𝟑 + 𝟓) + 𝟕 = 𝟑 + (𝟓 + 𝟕)
Uso da propriedade associativa nas proposições
+ Equivalências de:
(p∧q)∧r
(p∨q)∨r
Na álgebra de proposições temos algo muito semelhante à aplicação na algebra elementar. Dizemos que a conjunção (e; ∧) e a disjunção inclusiva (ou; ∨) gozam da propriedade associativa, sendo válidas as equivalências:
(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)
(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)
Propriedade comutativa nas proposições
A proposição: p→q: “Se [eu correr], então [chego a tempo].” é equivalente a ~q∧p: “Não chego a tempo e corro.”?
p→q: “Se [eu correr], então [chego a tempo].”
Sabemos que essa condicional não goza da propriedade comutativa. A negação dessa condicional, pedida pela questão, pode ser encontrada pela seguinte equivalência:
~ (p→q) ≡ p∧~q: “Corro e não chego a tempo.”
Suponha agora que, dentre as alternativas da questão, você não encontre a proposição composta “Corro e
não chego a tempo”, porém encontre “Não chego a tempo e corro”. Pode marcar essa alternativa sem medo!
Isso porque, usando a propriedade comutativa, a conjunção obtida p∧~q pode ser escrita como ~q∧p:
~ (p→q) ≡ p∧~q ≡ ~q∧p: “Não chego a tempo e corro.”
É correto afirmar que t é equivalente a p∨~p?
p∨~p é uma tautologia
É correto afirmar que c é equivalente a p∨~p?
NAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAO
p∨~p é uma tautologia
É correto afirmar que t é equivalente a p∧~p?
NAAAAAAAAAO
p∧~p é uma contradição
É correto afirmar que c é equivalente a p∧~p?
p∧~p é uma contradição
É correto afirmar que quando temos uma sequência só de
conjunções (e; ∧) ou só de disjunções inclusivas (ou; ∨), podemos remover os parênteses/colchetes?
Certamente que sim.
Propriedade distributiva na álgebra elementar: multiplicação com relação à adição
Na álgebra elementar, a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição consiste em realizar
a seguinte operação:
3×(5 + 7) = 3 × 5 + 3 × 7
Da mesma forma, podemos partir do lado direito da equação acima chegar ao lado esquerdo “colocando o
número 3 em evidência”:
3 × 5 + 3 × 7 = 3 × (5 + 7)
Quais são as propriedades distributivas na álgebra de proposições?
Na álgebra de proposições temos as seguintes propriedades distributivas:
- Da conjunção (e; ∧) com relação à disjunção inclusiva (ou; ∨); e
- Da disjunção inclusiva (ou; ∨) com relação à conjunção (e; ∧);
Propriedade distributiva da conjunção com relação à disjunção inclusiva
A propriedade distributiva do conectivo “e” em relação ao “ou” é dada pela equivalência abaixo. Perceba que nela “p∧” é distribuído.
p∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨ (p∧r)
É importante também reconhecer a propriedade “de trás para frente”. Isso significa que podemos colocar o termo “p∧” em evidência.
(p∧q)∨(p∧r) ≡ p∧(q∨r)
Propriedade distributiva da disjunção inclusiva com relação à conjunção
A propriedade distributiva do conectivo “ou” em relação ao “e” é dada pela equivalência abaixo. Perceba que nela “p∨” é distribuído.
p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
É importante também reconhecer a propriedade “de trás para frente”. Isso significa que podemos colocar o termo “ p∨” em evidência.
(p∨q)∧(p∨r) ≡ p∨(q∧r)
