Equivalências Lógicas Flashcards
O que é a equivalência lógica?
Quando duas proposições apresentam a mesma tabela-verdade
Quais são as equivalências fundamentais?
1 - Equivalência Contrapositiva
2 - Transformação da condicional em disjunção inclusiva
3 - Transformação da disjunção inclusiva em condicional
Equivalência contrapositiva
P → Q ≡ ~Q → ~P
Transformação da condicional em disjunção inclusiva
P → Q ≡ ~P ∨ Q
Transformação da disjunção inclusiva para condicional
P ∨ Q ≡ ~P → Q
É correto afirmar que a negação de P∧Q , pode ser representada por ~(P∧Q), que corresponde a ~P∨~Q?
Sim, ou seja:
- Podemos dizer que a negação de P∧Q é ~P∨~Q
- Podemos dizer que ~(P∧Q) é equivalente a ~P∨~Q
Não é verdade que Joãozinho não comeu chocolate é equivalente a Joãozinho comeu chocolate? (Questão de dupla negação de proposição simples)
Sim, pois a negação de ~P sempre tem valor lógico igual a proposição P
Leis de Morgan
Negação da conjunção:
1 nega-se ambas a parcelas da conjunção
2 troca-se a conjunção pela disjunção inclusiva
Ou seja:
~(P∧Q)≡~P∨~Q
Negação da disjunção inclusiva:
1 - Negam-se ambas as parcelas da disjunção inclusiva; e
2 - Troca-se a disjunção inclusiva pela conjunção
Ou seja:
~(P∨Q)≡~P∧~Q
Negação da condicional
1 - Mantém-se o primeiro termo
2 - Troca-se a condicional pela conjunção
3 - Nega-se o segundo termo
~(P→Q) ≡ P∧~Q
Negação da conjunção para a forma condicional
São duas formas:
~(P∧Q) ≡ P→~Q
~(P∧Q) ≡ Q→~P
Conjunção de condicionais
São duas equivalências:
(P→R)∧(Q→R) ≡ (P∨Q)→R
(P→Q)∧(P→R) ≡ P → (Q∧R)
Equivalências da disjunção exclusiva
São 3:
P ⊻ Q:
1 - (~P) ⊻ (~Q)
2 - (~P) ↔ Q
3 - P ↔ (~Q)
+ Bônus:
P ⊻ Q ⬄
(P ∨ Q) ∧ ~(P ∧ Q)
Negações da disjunção exclusiva
São 4:
1 - P ↔ Q
2 - (~P) ↔ (~Q)
3 - (~P) ⊻ Q
4 - P ⊻ (~Q)
Equivalências da Bicondicional
São 4:
1 - (P → Q) ∧ (Q → P)
2 - (~P) ↔ (~Q)
3 - (~P) ⊻ Q
4 - P ⊻ (~Q)
Negações da Bicondicional
São 5 (as mais comuns):
1 - P ⊻ Q
2 - (~P) ⊻ (~Q)
3 - (~P) ↔ Q
4 - P ↔ (~Q)
5 - [P ∧ (~Q)] ∨ [Q ∧ (~P)]
Observe que a bicondicional é equivalente a [(P → Q) ∧ (Q → P)]: isso é um “se e somente se”, mas, a negação é:
~(P → Q): P ∧ (~Q).
~ ( ∧ ): v
~(Q → P): Q ∧ (~P).
Ficando:
[P ∧ (~Q)] ∨ [Q ∧ (~P)]
Estudo, trabalho e não me canso pode ser negado da seguinte forma:
Não estudo ou não trabalho ou me canso
Essa vírgula, tem papel de conjunção
Sim, é equivalente à proposição: “estudo e trabalho e não me canso
Podendo ser negada da seguinte forma:
não estudo ou não trabalho ou me canso
P v Q ∧ ~ (P ∧ Q) é equivalente a:
Primeiramente, temos que perceber que se trata de uma disjunção exclusiva, como se fosse:
P ou Q, mas não ambos, ou
Ou P ou Q.
Tem várias equivalências e negações, mas o ponto que pretendíamos chegar já foi alcançado, que era perceber que se trata de uma disjunção exclusiva.
~[(P v Q) ∧ ~(P ∧ Q)]
Temos que negar o ∧.
~[(P v Q) ∧ ~(P ∧ Q)]
1º: ~(P v Q): (~P ∧ ~Q)
2º: Negar a negação de “~(P ∧ Q)”
: P ∧ Q.
Ficando, no final das contas:
(~P ∧ ~Q) v (P ∧ Q)
“Ana não vai à igreja se e somente se Maria não tem fé”
é equivalente a negação de “Maria tem fé ou Maria vai à igreja, mas não ambos”
Errado, a bicondicional é a negação da disjunção exclusiva (e vice-versa).
Ambas aceitam comutatividade.
“Ou Maria tem fé ou Maria vai à igreja, mas não ambos” também estaria correta. De acordo com as bancas: o “mas não ambos” reforça a ideia da exclusividade.
“Ou Maria tem fé ou Ana vai à igreja” é equivalente a “Maria tem fé e Ana vai à igreja, ou Maria não tem fé e Ana não vai à igreja”.
(M ∧ A) v (~M ∧ ~A)
“Ou Maria tem fé ou Ana vai à igreja” é equivalente a NEGAÇÃO de “Maria tem fé e Ana vai à igreja, ou Maria não tem fé e Ana não vai à igreja”.
Ou Maria tem fé ou Ana vai à igreja
= (M ⊕ A)
= (M v A) ∧ ~(M ∧ A)
~[(M v A) ∧ ~(M ∧ A)]
= (~M ∧ ~A) v (M ∧ A)
Com a comutatividade da disjunção inclusiva:
“Maria tem fé e Ana vai à igreja, ou Maria não tem fé e Ana não vai à igreja”
O “ou” aceita comutatividade, podendo ficar:
“Maria não tem fé e Ana não vai à igreja, ou Maria tem fé e Ana vai à igreja”.
