A - Equivalências Lógicas

Question 1

O que é a equivalência lógica?

Answer 1

Quando duas proposições apresentam a mesma tabela-verdade

Question 2

Quais são as equivalências fundamentais?

Answer 2

1 - Equivalência Contrapositiva

2 - Transformação da condicional em disjunção inclusiva

3 - Transformação da disjunção inclusiva em condicional

Question 3

Equivalência contrapositiva

Answer 3

P → Q ≡ ~Q → ~P

Question 4

Transformação da condicional em disjunção inclusiva

Answer 4

P → Q ≡ ~P ∨ Q

Question 5

Transformação da disjunção inclusiva para condicional

Answer 5

P ∨ Q ≡ ~P → Q

Question 6

É correto afirmar que a negação de P∧Q , pode ser representada por ~(P∧Q), que corresponde a ~P∨~Q?

Answer 6

Sim, ou seja:

• Podemos dizer que a negação de P∧Q é ~P∨~Q
• Podemos dizer que ~(P∧Q) é equivalente a ~P∨~Q

Question 7

Não é verdade que Joãozinho não comeu chocolate é equivalente a Joãozinho comeu chocolate? (Questão de dupla negação de proposição simples)

Answer 7

Sim, pois a negação de ~P sempre tem valor lógico igual a proposição P

Question 8

Leis de Morgan

Answer 8

Negação da conjunção:

1 nega-se ambas a parcelas da conjunção
2 troca-se a conjunção pela disjunção inclusiva

Ou seja:
~(P∧Q)≡~P∨~Q

Negação da disjunção inclusiva:

1 - Negam-se ambas as parcelas da disjunção inclusiva; e
2 - Troca-se a disjunção inclusiva pela conjunção

Ou seja:
~(P∨Q)≡~P∧~Q

Question 8

Negação da condicional

Answer 8

1 - Mantém-se o primeiro termo
2 - Troca-se a condicional pela conjunção
3 - Nega-se o segundo termo

~(P→Q) ≡ P∧~Q

Question 8

Negação da conjunção para a forma condicional

Answer 8

São duas formas:

~(P∧Q) ≡ P→~Q

~(P∧Q) ≡ Q→~P

Question 8

Conjunção de condicionais

Answer 8

São duas equivalências:

(P→R)∧(Q→R) ≡ (P∨Q)→R

(P→Q)∧(P→R) ≡ P → (Q∧R)

Question 9

Equivalências da disjunção exclusiva

Answer 9

São 3:

1 - P ⊻ Q: (~P) ⊻ (~Q)
2 - (~P) ↔ Q
3 - P ↔ (~Q)

+ Bônus: P ⊻ Q ⬄ (P ∨ Q) ∧ ~(P ∧ Q)

Question 10

Negações da disjunção exclusiva

Answer 10

São 4:

1 - P ↔ Q
2 - (~P) ↔ (~Q)
3 - (~P) ⊻ Q
4 - P ⊻ (~Q)

Question 10

Equivalências da Bicondicional

Answer 10

São 4:

1 - (P → Q) ∧ (Q → P)
2 - (~P) ↔ (~Q)
3 - (~P) ⊻ Q
4 - P ⊻ (~Q)

Question 10

Negações da Bicondicional

Answer 10

São 5 (as mais comuns):

1 - P ⊻ Q
2 - (~P) ⊻ (~Q)
3 - (~P) ↔ Q
4 - P ↔ (~Q)
5 - [P ∧ (~Q)] ∨ [Q ∧ (~P)]

Observe que a bicondicional é equivalente a [(P → Q) ∧ (Q → P)]: isso é um “se e somente se”, mas, a negação é:

~(P → Q): P ∧ (~Q).
~ ( ∧ ): v
~(Q → P): Q ∧ (~P).

Ficando:

[P ∧ (~Q)] ∨ [Q ∧ (~P)]

Question 11

Estudo, trabalho e não me canso pode ser negado da seguinte forma:

Não estudo ou não trabalho ou me canso

Answer 11

Essa vírgula, tem papel de conjunção

Sim, é equivalente à proposição: “estudo e trabalho e não me canso

Podendo ser negada da seguinte forma:

não estudo ou não trabalho ou me canso

Question 12

P v Q ∧ ~ (P ∧ Q) é equivalente a:

Answer 12

Primeiramente, temos que perceber que se trata de uma disjunção exclusiva, como se fosse:

P ou Q, mas não ambos, ou
Ou P ou Q.

Tem várias equivalências e negações, mas o ponto que pretendíamos chegar já foi alcançado, que era perceber que se trata de uma disjunção exclusiva.

Question 13

~[(P v Q) ∧ ~(P ∧ Q)]

Answer 13

Temos que negar o ∧.

~[(P v Q) ∧ ~(P ∧ Q)]

1º: ~(P v Q): (~P ∧ ~Q)

2º: Negar a negação de “~(P ∧ Q)”
: P ∧ Q.

Ficando, no final das contas:

(~P ∧ ~Q) v (P ∧ Q)

Question 14

“Ana não vai à igreja se e somente se Maria não tem fé”
é equivalente a negação de “Maria tem fé ou Maria vai à igreja, mas não ambos”

Answer 14

Certo, a bicondicional é a negação da disjunção exclusiva (e vice-versa).

Ambas aceitam comutatividade.

“Ou Maria tem fé ou Maria vai à igreja, mas não ambos” também estaria correta. De acordo com as bancas: o “mas não ambos” reforça a ideia da exclusividade.

Question 15

“Ou Maria tem fé ou Ana vai à igreja” é equivalente a “Maria tem fé e Ana vai à igreja, ou Maria não tem fé e Ana não vai à igreja”.

Answer 15

(M ∧ A) v (~M ∧ ~A)

“Ou Maria tem fé ou Ana vai à igreja” é equivalente a NEGAÇÃO de “Maria tem fé e Ana vai à igreja, ou Maria não tem fé e Ana não vai à igreja”.

Ou Maria tem fé ou Ana vai à igreja

= (M ⊕ A)
= (M v A) ∧ ~(M ∧ A)

~[(M v A) ∧ ~(M ∧ A)]
= (~M ∧ ~A) v (M ∧ A)

Com a comutatividade da disjunção inclusiva:

“Maria tem fé e Ana vai à igreja, ou Maria não tem fé e Ana não vai à igreja”

O “ou” aceita comutatividade, podendo ficar:

“Maria não tem fé e Ana não vai à igreja, ou Maria tem fé e Ana vai à igreja”.