Z/nZ et Z

Question 1

sous groupes de (Z,+),Idéal de (Z,+,*)

Answer 1

Tout sous groupe de (Z,+) est de la forme
nZ.Tout idéal I de (Z,+,*) est de la forme
nZ.

Question 2

Relation linéaire

Answer 2

reflexivité : xRx
transitivité : (xRy et yRz)=> xRz
sym : xRy => yRx
antisym : (xRy et yRx)=> x=y

R est une relation d’ordre si elle est antisym, reflexive et transitive.

R est une relation d’eq si elle est sym, reflexive et transitive.

Question 3

Z/nZ

Answer 3

(Z/nZ,+) est un groupe abélien de neutre 0, il est cyclique et engendré par 1.
(Z/nZ,+,*) est un anneau comm de neutre 1 pour *.
soit a de Z/nZ. a est premier avec n a engendre Z/nZ a est inversible.

Question 4

morphisme de groupe k->a^k

Answer 4

Soit (G,*) un groupe quelconque. Soit a différent de 1 dans G.
Alors l’aplication fa de Z dans G qui à k associe a^k est un morphisme de groupe.
Im(fa)=Za=<a> est le sous groupe de G engendré par a.
Le noyeau de fa est donc un sous groupe de (Z,+), ker(fa)=nZ.
Si n=0 <a> est isomorphe à (Z,+).
si n>1, <a> est isomorphe à (Z/nZ,+)</a></a></a>

Question 5

groupes cycliques

Answer 5

Soit G un groupe cyclique de card n.

Alors G est isomorphe à (Z/nZ,+).

Question 6

Théorème de Lagrange

Answer 6

Soit G un groupe fini de card n.
Pour tout a de G, a^n=1 si la loi est *
( na=0 si la loi est +).

Question 7

Petit thm de fermat

Answer 7

p premier et a non multiple de p => a^(p-1) est congru à 1 mod(p)
Viens du fait que Z/pZ est un corps et que Z/pZ{0} est un groupe multiplicatif de card n-1, on aplique le thm de lagrange.

Question 8

Caractéristique d’un anneau

Answer 8

Soit f de Z dans A qui à k associ k*1.

f est un morphisme d’anneau et ker(f) est un idéal de Z et est donc de la forme nZ. n est la caractéristique de A.

Question 9

Propriété

Answer 9

La caractéristique d'un anneau intègre est soit 0 soit un nombre premier.
exemple carac(Z)=0 et carac(Z/nZ)=n.

Question 10

Lemme de Lagrange

Answer 10

Soit G un groupe fini.

Alors le cardinal d’un sous groupe de G divise celui de G