Séries

Question 1

Série harmonique

Answer 1

Hn=1+1/2+1/3+1/4+…
Hn ~ ln(n)
Hn=ln(n)+y+o(1)
avec y la constante d’euler.

Question 2

reste d’une série convergente

Answer 2

Soit Rn le reste d’une série cv.

lim(Rn)=0

Question 3

coordonnées sur une base

Answer 3

la série des u(n) converge ssi les séries des coordonnés de u(n) cv.

Question 4

Critère de Cauchy

Answer 4

Soit E de dim finie donc complet.
la série des u(n) cv ssi 
pour tout e>0
il existe n0 tq pour tout n>=n0, pour tout p>n
||som(k=n+1..p)(u(k))||<=e

Question 5

CVA

Answer 5

Soit E de dim finie donc complet.
si som(||u(n)||) cv alors som(u(n)) cv (on dira qu’elle converge absolument).
On a de plus
||som(inf)(u(n))||<=som(inf)(||u(n)||)

Question 6

Série réelles positives

Answer 6

Sn est croissante donc Sn est majorée ssi

elle converge.

Question 7

comparaison de série positive

Answer 7

si u(n) = O(v(n)), alors si la série des v(n) converge, celle des u(n) aussi.
si u(n) ~ v(n), la série des u(n) cv ssi celle
 des v(n) cv.
si u(n)=o(v(n)) alors si la série des v(n) converge, celle des u(n) aussi.

Question 8

Reiemann

Answer 8

la série des 1/(n^a) cv ssi a>1

Question 9

D’alembert

Answer 9

Soit u(n) positive
si u(n+1)/u(n) tend vers l>1 la série des u(n) div grossièrement.
si u(n+1)/u(n) tend vers l<1 la série cv

Question 10

Comparaison intégrale série

Answer 10

si f de R+* dans R est continue et décroissante, alors

int(n..n+1)(f)<=int(n-1..n)(f)

Question 11

Leibniz

Answer 11

Soit u(n) le terme gen d'une série alternée.
si |u(n)| tend vers 0 en décroissant, alors la série converge. Si c'est le cas, Rn, le reste d'ordre n (som(n+1..inf)(u(n))) est du signe de u(n+1) et |Rn|<=|u(n+1)|

Question 12

Série de Riemann alternée

Answer 12

la série de terme gen (-1/a)^n
div gross si a1
cv si 0<a><=1</a>

Question 13

Sommation sur les restes pour les série positive convergentes.

Answer 13

Soit v(n) le terme gen d'une série positive convergente. Soit u(n) le terme gen d'une série réelle ou complexe :
si u(n)=(O,o,~)(v(n)) alors on peut passer aux restes des séries.

Question 14

Sommation sur les sommes partielle pour les série positive divergentes.

Answer 14

Soit v(n) le terme gen d'une série positive
divergentes. Soit u(n) le terme gen d'une série réelle ou complexe :
si u(n)=(O,o,~)(v(n)) alors on peut passer aux sommes partielles.

Question 15

produit de Cauchy

Answer 15

w(n)=sum(k=0..n)(u(k)v(n-k)

si les deux séries U et V sont cvA, alors leur produit de cauchy W est cvA

Question 16

Thm de relèvement

Answer 16

Soit I un intervalle de R, f de I dans C de classe Ck(I), k>0. Si f ne s’annule pas sur I,
alors il existe une fonction A Ck(I) à valeur dans R tq :
f(t)=|f(t)|exp(iA(t))