Calcul Diff

Question 0

f Différentiable en a implique ?

Answer 0

f continue en a
f est C1 (elle admet donc des dérivées partielles)
df(a)(h)=h1D1f(a)+…+hnDnf(a)

Question 1

Différentiabilité

Answer 1

U ouvert de E. Soit a un élément de U.Soit f de U dans F. f diff en a ssi il existe L de L(E,F) et e tq lim(0)(e)=0 tq, pour h voisin de 0,
f(a+h)=f(a) + L(h) + ||h||e(h)
Dj(f(a))=df(a)(ej)

Question 2

Si f est C1 sur U

Answer 2

Alors f est diff

si une des dérivées partielles n’est pas continue, alors c’est mort

Question 3

Regulaité pratiques

Answer 3

Le quotient de deux fonctions poly est Ck sur Le domaine de def de f privé de ses pôles.
Si f et g sont Ck alors, af+bg, fg et g∘f aussi.
f Ck ssi f1…fn sont Ck

Question 4

Jacobienne

Answer 4

Soit f de E dans F différentiable.
f(x)=(f1(x)…fp(x)).
La jacobienne Jf(a) de f en a est la matrice de df(a) dans les bases Be et Bf.
[Jf(a)]ij=Dj( fi(a) )

Question 5

f Ck

Answer 5

f est Ck si toutes les dérivées partielles successives existent et sont continues jusqu’à l’ordre k

Question 6

Schwarz

Answer 6

f Ck alors l’ordre des dérivations est sans importance.

Question 7

Diff d’une composée

Answer 7

si f est diff en a et g diff en f(a), alors h=g∘f est diff en a.
d(g∘f)(a)=dg(f(a))∘df(a)
On a donc Jh(a)=Jg(f(a))Jf(a)
Soit : Djhi(x)=sum(k)(Dk( gi(f(x)) ) Dj( fk )

Question 8

Difféaumorphisme de classe Ck

Answer 8

U et V ouvert.
f diffeo de classe Ck(U) si f est Ck(U) , si f est bij et si f-1 est Ck(V)
Si f est diffeo, alors :
df(a) est bij et (df(a))-1=d(f-1)(f(a))
Soit Jf-1(f(a))=Jf(a)-1
Dj(f-1)=Dj(f)-1

Question 9

Thm d’inversion

Answer 9

U ouvert
Si f est Ck(U), k>0, f est injective sur U, et donc bijective sur f(U) et si df(x) est inversible pour tout x dans U, alors f(U) est ouvert et f-1 est Ck

Question 10

Diffeo sur R

Answer 10

f de I⊂R dans R.

Si f est Ck sur R et que f´(x)≠0 alors f-1 existe et est Ck sur f(I).

Question 11

Extremum local.

Answer 11

f admet un mini ou un maxi en un a si il existe un voisinage V de a tq pour tout x de V f(x)≥f(a) ( resp f(a)≥f(x) )
Si I est ouvert, extremum en a implique f´(a)=0

Question 12

Point critique

Answer 12

Soit f C1(U)
a est un point critique de f si df(a)=0 ssi df(a) est nul sur la base cano ssi toutes les dérivées partielle sont nulles en a.

Question 13

Si a est un extremum local de f…

Answer 13

Alors a est un point critique pour f.

Question 14

IAF

Answer 14

f de U dans F de classe C1, U ouvert et convexe.
||f(a)-f(b)||≤||b-a||M
M=sup{||df(x)||L , x dans [a,b]}
Si M existe.
[a,b]={(1-t)a + tb, t dans [0,1]}

Question 15

Taylor Young

Answer 15

Si f est C2(U), soit a dans U
La hessienne Hf(a) est symétrique et donc, la forme quadratique qa dont la matrice dans la base cano est Hf(a) ( qa(x)=tXHf(a)X ) est tq
f(a+h)=f(a) + df(a)(h) +1/2*qa(h) +
||h||²e(h)

Question 16

Si a est un point critique de f…

Answer 16

Si f est C2, alors on etudie la hessienne :
Si son det est positif alors on a un extremum, si il est négatif alors on a pas d’extremum. S’il est nul, on ne sait pas.
Si le det est positif, alors :
Si la trace est négative c’est un Max si la trace est positive c’est un min.
Remarque : le signe de r ou t suffit car r et t ont le même signe.

Question 17

Forme diff

Answer 17

dxj(h)=hj
dx1…dxn est la base dual de la base cano.
df(x)=sum (df/dxj)(x) dxj
df=sum (df/dxj)dxj
On appelle forme diff toute appli w de U dans le dual de Rn
w(x) = sum ak(x) dxk

Question 18

Forme exacte

Answer 18

Une forme diff w est exacte si il existe f de U dans R C1 tq w(x)=df(x) pour tout x de U.
C’est à dire que aj(x)=(df/dxj)(x)
f est alors la primitive de w.

Question 19

Forme fermée.

Answer 19

Soit w=sum ak dxk une forme diff C1 sur U
w est fermé si dai/dxj = daj/dxi.
w C1 + exacte alors w fermée.

Question 20

Thm de point carré

Answer 20

Si U est étoilé, si w est une forme diff C1(U) alors

w exacte ssi w fermée.

Question 21

Intégrale curviligne

Answer 21

Soit G un arc paramètré ( appli de I=[a,b] dans Rn) C1. w= sum ak dxk une forme diff continue.
G(t)=(x1(t)...xn(t))
On appelle int curviligne le long de G de w le réel noté ∫(G)w=∫[a,b]phi(t)dt
Avec phi(t)=sum ak(G(t))xk´(t)

Question 22

Intégrale curviligne pour une forme exacte.

Answer 22

Si w est une forme diff continue et exact et si G est un arc parametré sur [a,b] tq
G( a)=G(b) (arc fermé) alors ∫(G)w=0