Fourier

Question 0

Série de fourier

Answer 0

Sn(f)(x)=∑(-n,n)ck(f)exp(ikx)
Sn(f)(x)=a0(f)/2+
∑(1,n)(ak(f)cos(kx)+bk(f)*sin(kx))

Question 1

Coefficient de fourier

Answer 1

Cn(f)=1/2π∫(2π)(f(t)exp(-int)dt)
an(f)=1/π∫(2π)(f(t)cos(nt)dt)
bn(f)=1/π∫(2π)(f(t)*sin(nt)dt)

Question 2

Propriétés de parité

Answer 2

Si f est paire, alors les bn(f) sont nuls.

Si f est impaire, alors les an(f) sont nuls.

Question 3

Comportement asymptotique des coefficients de Fourier

Answer 3

Lim(+∞)(cn(f))=0
Lim(-∞)(cn(f))=0
Si f est Ck alors cn(f)=o(1/n^k)
cn(f´)=in*cn(f)
Si f est C1pm et continue, alors cn(f)=o(1/n)

Question 4

Dirichlet

Answer 4

Si f est 2π périodique et C1pm, alors la série de fourier de f CVS vers fr, la régularisé de f. On dit que f est DSF

Question 5

Formule de Parseval

Answer 5

f continue et 2π périodique.
Alors ∑|ck(f)|² converge vers 1/2π∫(2π)|(f(t)|²dt
Si f est Cpm et 2π périodique, alors c’est encore vrai.

Question 6

L’espace préhilbertien C2π

Answer 6

c’est l’espace des fct continue et 2π périodique.
produit scalaire :
(f|g)=1/2π∫(2π)conj(f(x))*g(x)dx
Les fonctions x->exp(inx) forme une base orthonormale de P ( les poly trigo ), sev de C2π. Pn est le sev de P engendré par les poly trigo de deg ≤ n. P est l’union des Pn.

Question 7

Interprétation des coefficients de Fourier et de la série

Answer 7

f continue et 2π périodique.
ck(f)=(en|f) avec en : x-> exp(inx)
Sn(f) est la proj orthonormale dans C2π de f sur Pn.
d(f,Pn)=inf {||f-p||, p∈Pn} est tq :
d(f,Pn)²=||f-Sn(f)||²=||f||²-||Sn(f)||²
=||f||²-∑|ck(f)|²
d(f,Pn) tend vers 0 quand n tend vers l’infini

Question 8

Parseval avec an et bn

Answer 8

1/2π∫(2π)|(f(t)|²dt =

a0(f)²/4 + 1/2∑(an(f)²+bn(f)²)

Question 9

Suites de carré sommable

Answer 9

L²(Z) est le C ev des suites u de complexes indexé par Z tq ∑|u(n)|² converge.
Si f est dans C2π, alors cn(f) est dans L²(Z) (parseval)
Si u et v sont dans L²(Z), alors la série de terme général uv CVA.
(u|v)=∑conj(u(n))v(n)
Soit F : f-> (cn(f)) de C2π dans L²(Z).
Alors F est linéaire, injective, et conserve la norme( et donc le produit scalaire )

Question 10

Convergence normale.

Answer 10

soit f 2π périodique, C1pm et continue.

Alors la série de fourier de f CVN vers f sur R.