Espaces Euclidiens 1

Question 1

Matrice d’une forme bilinéaire sur E

Answer 1

soit B=(e1...en) une base de E.
Soit f une forme bilinéaire sur E.
On def la matrice de f dans B def par
A[i,j]=f(ei,ej)
On a donc f(X,Y)=trans(X)AY
=som(i=1..n)(som(j=1..n)(xi*aij*yj))
f symétrique ssi A sym.

Question 2

forme bilinéaire d’une matrice

Answer 2

Soit A une matrice et soit f def par :
f(X,Y)=trans(X)AY dans une base B
Alors f est bilinéaire et sa matrice est A dans B.

Question 3

Changement de bases pour la matrice d’une forme bilinéaire

Answer 3

Soit f une forme bilinéaire dont la matrice
dans la base Ba est A. Soit Bn une
nouvelle base de E. Alors la matrice de f
dans cette base est B=trans(P)AP avec P la matrice de passage de Ba à Bn.

Question 4

Matrices congruentes

Rang d’une forme bilinéaire

Answer 4

A et B sont congruentes s’il existe une matrice inversible P tel que B=trans(P)AP
Deux matrices congruentes sont eq et ont donc le même rang, donc dans toutes les bases, les matrices d’une forme bilinéaire ont le même rang. On parle alors du rang d’une forme bilinéaire.

Question 5

Matrice d’une forme Quadratique

Answer 5

La matrice d’une forme quadratique est la
matrice de sa forme polaire. Elle est sym
q(x)=f(x,x)=trans(X)AX.
On def le rang d’une forme quadratique par le rang de sa forme polaire. q est non dégénéré si son rang est n c’est à dire si la matrice de q est inversible.

Question 6

forme quadratique d’une matrice sym

Answer 6

Soit A une matrice sym et q(X)=trans(X)AX
dans une baser B.
Alors q est une forme quadratique de forme polaire f(X,Y)=trans(X)AY et de matrice A dans B.

Question 7

Matrice sym positive

Answer 7

Soit A une matrice sym.
A est dite positive si pour tout x trans(X)AX>=0 (cad la forme quadratique asso est positive).
A positive (resp def positive) ssi toutes les vp de A sont positives (resp strictement positive).

Question 8

Matrice sym def positive

Answer 8

Soit A une matrice sym. A est def positive si pour tout X non nul, trans(X)AX>0 (cad la forme quadratique asso est def positive).

Question 9

Matrice d’un produit scalaire

Answer 9

A est la matrice d’un ps dans une base (e1..en) si aij=(ei|ej), elle est sym def positive. B est orthononal ssi A=In

Question 10

isomorphisme de E dans E*

Answer 10

l’aplication de E dans E* qui à x associe la forme linéaire (x|.) est un iso d’ev.
On a donc : pour tout f dans E*, il existe un unique x dans E tq f=(x|.)

Question 11

hyperplan

Answer 11

Soit H un hyperplan.
Alors il existe une forme lin f tq H=ker(f).
de plus, il existe un unique x tq f=(x|.) donc
H={y tq (x|y)=0}=ortho(vect(x))

Question 12

adjoint

Answer 12

Soit u un endo.
Il existe un unique endo u* tq
(u(x)|y)=(x|u*(y))

Question 13

propriétés de l’adjoint

Answer 13

la matrice de u* est la transposé de celle de u. On a donc toutes les pptés de la transposée à u* (rg(u)=rg(u), tr(u)=tr(u)
u=u, u et u ont même poly caract, même
det, (uov)=vou,…)
ker(u)=ortho(Im(u))
Im(u)=ortho(ker(u))

Question 14

Stabilité d’un sev par u*

Answer 14

Soit F un sev de E

F stable par u ssi ortho(F) est stable par u*

Question 15

endomorphisme auto-adjoint

Answer 15

u est auto-adjoint ssi (u(x)|y)=(x|u(y))

u auto-adjoint ssi sa matrice est sym

Question 16

Forme quadratique d’un endo auto-adjoint

Answer 16

Soit u auto-adjoint. q(x)=(u(x)|x) est une forme quadratique dont la matrice est la même que celle de u.
On dira que u est positif (resp def positif) si q l’est.

Question 17

Opérateur orthogonal

Answer 17

u est un Opérateur orthogonal
ssi u*=inv(u)
ssi u conserve le ps ( (u(x)|u(y))=(x|y) )
ssi u conserve la norme ||u(x)||=||x||
ssi l’image d’une BON par u est une BON
ssi sa matrice dans une BON est orthogonal

Question 18

Groupe orthogonal de E

Answer 18

O(E), l’ensemble des opérateurs orthogonaux de E, est un groupe pour o
C’est un sous-groupe de GL(E).
Si u est dans O(E), alors |det(u)|=1

Question 19

Groupe spécial orthogonal

Answer 19

SO(E)={u de O(E) tq det(u)=1} est un sous-groupe de O(E). Les élément de SO(E) sont les rotations.

Question 20

Matrice orthogonal et matrices de passage

Answer 20

Soit Ba une BON et soit Bn une base.
Soit P la matrice de passage de Ba à Bn.
P est orthogonal ssi Bn est orthonormal.

Question 21

Matrice orthogonal

Answer 21

A orthogonal
ssi trans(A)=inv(A)
ssi ses colonnes forment une BON
ssi ses lignes forment une BON

Question 22

réduction des endo-auto adjoints

Answer 22

Soit u un endo auto adjoint.
Alors u est diagonalisable et les sep de u sont orthogonaux.
Il existe donc une BON propre pour u.

Question 23

réduction des matrices sym réelle

Answer 23

Soit A une matrice symétrique réelle.
Alors A est diagonalisable et les sep sont orthogonaux. Il existe donc une BON propre pour A. il existe P orthogonal et D diagonal tq A=PDinv(P)=PDtrans(P)

Question 24

Forme analytique d’une forme quadratique

Answer 24

q(x)=trans(X)AX=som(i=1..n)(som(j=1..n)(xiaijxj))=som(i=1..n)(aiixi²) +
2som(i<j)(xiaijxj)
On rappelle que A est sym donc aij=aji

Question 25

Réduction d’une forme quadratique

Answer 25

Soit q une forme quadratique sur E. Alors il
existe une BON dans laquelle la matrice de q est diagonal.
On a donc dans cette base
q(x)=som(i=1..n)vi*xi² avec les vi vp de la matrice de q et xi les coordonnés de x dans cette base.