Espaces Euclidiens 1 Flashcards
Matrice d’une forme bilinéaire sur E
soit B=(e1...en) une base de E. Soit f une forme bilinéaire sur E. On def la matrice de f dans B def par A[i,j]=f(ei,ej) On a donc f(X,Y)=trans(X)AY =som(i=1..n)(som(j=1..n)(xi*aij*yj)) f symétrique ssi A sym.
forme bilinéaire d’une matrice
Soit A une matrice et soit f def par :
f(X,Y)=trans(X)AY dans une base B
Alors f est bilinéaire et sa matrice est A dans B.
Changement de bases pour la matrice d’une forme bilinéaire
Soit f une forme bilinéaire dont la matrice
dans la base Ba est A. Soit Bn une
nouvelle base de E. Alors la matrice de f
dans cette base est B=trans(P)AP avec P la matrice de passage de Ba à Bn.
Matrices congruentes
Rang d’une forme bilinéaire
A et B sont congruentes s’il existe une matrice inversible P tel que B=trans(P)AP
Deux matrices congruentes sont eq et ont donc le même rang, donc dans toutes les bases, les matrices d’une forme bilinéaire ont le même rang. On parle alors du rang d’une forme bilinéaire.
Matrice d’une forme Quadratique
La matrice d’une forme quadratique est la
matrice de sa forme polaire. Elle est sym
q(x)=f(x,x)=trans(X)AX.
On def le rang d’une forme quadratique par le rang de sa forme polaire. q est non dégénéré si son rang est n c’est à dire si la matrice de q est inversible.
forme quadratique d’une matrice sym
Soit A une matrice sym et q(X)=trans(X)AX
dans une baser B.
Alors q est une forme quadratique de forme polaire f(X,Y)=trans(X)AY et de matrice A dans B.
Matrice sym positive
Soit A une matrice sym.
A est dite positive si pour tout x trans(X)AX>=0 (cad la forme quadratique asso est positive).
A positive (resp def positive) ssi toutes les vp de A sont positives (resp strictement positive).
Matrice sym def positive
Soit A une matrice sym. A est def positive si pour tout X non nul, trans(X)AX>0 (cad la forme quadratique asso est def positive).
Matrice d’un produit scalaire
A est la matrice d’un ps dans une base (e1..en) si aij=(ei|ej), elle est sym def positive. B est orthononal ssi A=In
isomorphisme de E dans E*
l’aplication de E dans E* qui à x associe la forme linéaire (x|.) est un iso d’ev.
On a donc : pour tout f dans E*, il existe un unique x dans E tq f=(x|.)
hyperplan
Soit H un hyperplan.
Alors il existe une forme lin f tq H=ker(f).
de plus, il existe un unique x tq f=(x|.) donc
H={y tq (x|y)=0}=ortho(vect(x))
adjoint
Soit u un endo.
Il existe un unique endo u* tq
(u(x)|y)=(x|u*(y))
propriétés de l’adjoint
la matrice de u* est la transposé de celle de u. On a donc toutes les pptés de la transposée à u* (rg(u)=rg(u), tr(u)=tr(u)
u=u, u et u ont même poly caract, même
det, (uov)=vou,…)
ker(u)=ortho(Im(u))
Im(u)=ortho(ker(u))
Stabilité d’un sev par u*
Soit F un sev de E
F stable par u ssi ortho(F) est stable par u*
endomorphisme auto-adjoint
u est auto-adjoint ssi (u(x)|y)=(x|u(y))
u auto-adjoint ssi sa matrice est sym
Forme quadratique d’un endo auto-adjoint
Soit u auto-adjoint. q(x)=(u(x)|x) est une forme quadratique dont la matrice est la même que celle de u.
On dira que u est positif (resp def positif) si q l’est.
Opérateur orthogonal
u est un Opérateur orthogonal
ssi u*=inv(u)
ssi u conserve le ps ( (u(x)|u(y))=(x|y) )
ssi u conserve la norme ||u(x)||=||x||
ssi l’image d’une BON par u est une BON
ssi sa matrice dans une BON est orthogonal
Groupe orthogonal de E
O(E), l’ensemble des opérateurs orthogonaux de E, est un groupe pour o
C’est un sous-groupe de GL(E).
Si u est dans O(E), alors |det(u)|=1
Groupe spécial orthogonal
SO(E)={u de O(E) tq det(u)=1} est un sous-groupe de O(E). Les élément de SO(E) sont les rotations.
Matrice orthogonal et matrices de passage
Soit Ba une BON et soit Bn une base.
Soit P la matrice de passage de Ba à Bn.
P est orthogonal ssi Bn est orthonormal.
Matrice orthogonal
A orthogonal
ssi trans(A)=inv(A)
ssi ses colonnes forment une BON
ssi ses lignes forment une BON
réduction des endo-auto adjoints
Soit u un endo auto adjoint.
Alors u est diagonalisable et les sep de u sont orthogonaux.
Il existe donc une BON propre pour u.
réduction des matrices sym réelle
Soit A une matrice symétrique réelle.
Alors A est diagonalisable et les sep sont orthogonaux. Il existe donc une BON propre pour A. il existe P orthogonal et D diagonal tq A=PDinv(P)=PDtrans(P)
Forme analytique d’une forme quadratique
q(x)=trans(X)AX=som(i=1..n)(som(j=1..n)(xiaijxj))=som(i=1..n)(aiixi²) +
2som(i<j)(xiaijxj)
On rappelle que A est sym donc aij=aji
Réduction d’une forme quadratique
Soit q une forme quadratique sur E. Alors il
existe une BON dans laquelle la matrice de q est diagonal.
On a donc dans cette base
q(x)=som(i=1..n)vi*xi² avec les vi vp de la matrice de q et xi les coordonnés de x dans cette base.
