Espaces Préhilbertiens Flashcards
Polarisation
q(x+y)=q(x)+2Re(f(x,y))+q(y)
Schwarz
|f(x,y)|≤(q(x)q(y))^1/2 si q positive
Si q def et positive, alors il y a égalité ssi (x,y) est liée
Produit scalaire
Forme bilinéaire symétrique définie positive
Norme associée (.|.)^1/2
Identité du Parallélogramme
||x+y||²+||x-y||²=2(||x||²+||y||²)
Fonction de carré intégrable
Int(I)(f*g) est un ps sur lc²(I,R)
Norme asso est appelée norme de la convergence quadratique
Produit scalaire complexes
Forme sesquilineaire (linéaire à droite, semi-linéaire à gauche) hermitienne (conjf(x,y)=f(y,x)) définie et positive
Semi-Polarisation complexe
4(x|y)=
||x+y||²-||x-y||²+i(||ix+y||²-||ix-y||²)
Espace hermitien
Eph complexe de dim finie
x|y)=sum(j=1..n)(conj(xj)(yj
Orthogonalité
x|y=0 si x≠y, 1sinon
Une famille orthogonale est libre
Si x est ortho à tout vect de E alors x=0
Orthogonal d’un sev
Ft=
{x de E tq pour tout y de F, x|y=0}
Ft sev de E
F inclu dans (Ft)t
F et Ft sont en somme directeProjection orthogonale
Soit F tq F+Ft=E
Alors pf la proj sur F // à Ft est appelée projection ortho sur F
Familles de sev ortho
F1 et F2 sont ortho si pour tout x1 de F1, x2 de F2, (x1|x2)=0
C.-à-d. F1 inclu dans F2t et F2 inclu dans F1t
Si F1…Fn sont ortho, ils sont en somme direct
Orthonormalisation de schimdt
u=(u1..un) une famille libre. Alors il existe (e1..en) ON tq Vect(u1..uk)=vect(e1..ek) pour tout k Et tq (uk|ek)>0 En dim. Finie, on a de plus Il existe des BON dans un eh Base incomplète Soit B1 une base de E et B2 la BON de schimdt, alors la mat de passage de B1 à B2 est triangulaire sup à coefficient diagonaux >0
Sev de dim finie d’un ph
Soit E ph quelconque
F sev de E de dim finie.
Alors E=F+Ft
Donc la proj ortho est def
Distance a un sev
D(x,F)=inf{||x-a||,a de F}
Il existe un unique a tq D(x,F)=||x-a||
a = pf(x)
D(x,F)²=||x||²-||pf(x)||²
