Convergence Uniforme Flashcards
Convergence simple ?
Pour tout x de I, fn(x) converge dans F.
Convergence uniforme ?
Si sup ||f(x) - fn(x)|| -> 0
Si (fn) CVU ?
Alors (fn) CVS.
De plus, si les fn sont continues en x, alors lim( fn ) est continue en x.
Inversion des limites ?
Si (fn) CVU vers f, alors
lim(x->a)( lim(n->infini)( fn(x) ))=
lim(n->infini)( lim(x->a)( fn(x) )).
Vrai que si lim(x->a)(fn(x)) existe APCR. a peut être infini.
Dérivation d’une limite de suite de fonctions ?
Si les fn sont C1
Si (fn) CVS vers f
Si (fn’) CVU vers g
Alors f est C1 et f’ = g
Approximation uniforme des fonctions continue sur un segment.
Si f est continue sur un segment, alors il existe une suite de fonctions en escalier CVU vers f sur ce segment.
Stone - Weierstrass.
Soit f continue sur [a,b] de R ou C. Alors il existe une suite de polynôme CVU vers f sur [a,b].
Polynôme trigonométrique,
Stone-Weirstrass
ek(x)=exp(ikx)=cos(kx)+isin(kx)
Un poly trigo est une CL de la famille (ek).
Un poly trigo est de la forme somme de k=-n à +n de (ckexp(ik*x))
Un poly trigo est 2Pi périodique.
Soit f continue et 2Pi périodique, alors il existe (fn) de poly trigo CVU vers f.
L’ev des poly sur [a,b] est dense dans (C[a,b],||.||infini).
Si B est l’ev des fonctions bornées muni de ||.||infini, alors ?
C([a,b],R) est une partie fermée de B([a,b],R) pour ||.||infini
Série de fonction. CVS.
Sigma(un) CVS ssi pour tout x, Sigma(un(x)) CV.
Série de fonction. CVU.
Sigma(un) CVU ssi
CVS et sup||Somme de k=n+1 à l’infini des (uk(x)) ||-> 0
Transfert des thm sur les suites de fonctions aux séries de fonctions.
Sn=(Somme pour k=0 à n des uk) est une suite de fonction, tous les thm sont donc transférés.
Convergence Normale
Sigma(un) CVN si Sigma( ||un||infini) CV.
CVN implique ?
Si Sigma(un) CVN, alors pour tout x, Sigma(un(x)) CVA, et Sigma(un) CVU.
