Suites Et Fonctions Def Par Des Intégrales

Question 1

Théorème de convergence dominée

Answer 1

Soit (fn) une suite de fonctions
Si
- Chaque fn cpm
- (fn) CVS vers f cpm
- il existe g cpm et intégrable tq pour tout n, pour tout t, |fn(t)|<=g(t)
Alors
f et fn intégrable et (int(fn)) cv vers int(f)

Question 2

Théorème d’interversion intégrale- série

Answer 2

Si Sigma(un) CVS vers S cpm, si chaque un est cpm et intégrable et si sigma(int|un(x)|dx) cv
Alors S est int et sigma(int(un)) cv et int(lim(sigma(un(x))))dx=lim(sigma(int(un(x))dx))

Question 3

Théorème de continuité d’une intégrale à paramètre

Answer 3

Si pour tout x de A
t->f(x,t) cpm et int sur I
Si pour tout t de I
x->f(x,t) continue sur A
Si il existe g de I dans R cpm et int sur I tq
Pour tout (x,t) de AI |f(x,t)|<=g(t)
Alors int(I)(f(x,t)dt) existe et est continue sur A.

Question 4

Inégalité des accroissement finis partiels

Answer 4

Si pour tout (x,t) df/dx existe et
Si x->df/dx(x,t) est continue
( donc si x-> f(x,t) est C1)
Alors pour tout a,b 
|f(b,t)-f(a,t)|<=
|b-a|.sup(c€[a,b])|(df/dx)(c,t)|

Question 5

Théorème de Leibniz

Answer 5

Si pour tout x de A, t->f(x,t) est cpm et int sur I
Si x->f(x,t) est C1
Si t->df/dx(x,t) est Cpm
Si il existe g cpm et int sur I tq |df/dx(x,t)| int(I)(f) existe et est c1 de derivé int(I)(df/dx(x,t)dt)

Question 6

Fonction gamma d’Euler

Answer 6

G : x->int(0..inf)(t^(x-1)exp(-t)dt)
Domaine de def : ]0,inf[
G(x+1)=xG(x)
G est Cinf(]0,inf[)
Dérivé k- ième de x =
int(0..inf)((ln(t)^k)t^(x-1)exp(-t)dt
Il existe c tq ]1,2[ tq G´(x)=0
G(x)~(0)(1/x)

Question 7

Lemme de Lebesgue

Answer 7

Si f cpm sur [a,b] alors 
lim(n->inf)(int(a..b)(f(t)exp(-int)dt))=0
lim(n->inf)(int(a..b)(f(t)exp(int)dt))=0
Implique
lim(n->inf)(int(a..b)(f(t)cos(nt)dt))=0
lim(n->inf)(int(a..b)(f(t)sin(nt)dt))=0