Intégrale

Question 1

Critère de nulité

Answer 1

Si f est CONTINUE et positive, alors si son int est nulle elle est nulle.

Question 2

Interversion intégrale limite sur un segment

Answer 2

si les fn sont continues sur le segment et CVU vers f.
Alors
f est continue sur le segment et on peut intervertir int et lim

Question 3

interversion intégrale série sur un segment

Answer 3

soit u(n) le terme générale continue d’une serie de fct CVU vers f. Alors la série de terme gen int(u(n)) cv et on peut inverser int et série.

Question 4

Somme de Riemann d’une fct continue

Answer 4

Sn=((b-a)/n)*som(k=0..n-1)(f(a+k(b-a)/n)) cv vers int(a..b)(f)

Question 5

intégrale fct de sa borne

Answer 5

Si f est cpm sur I
soit t0 dans I, g t->int(t0..t)(f) est continue sur I et dérivable en tout point où f est continue et g’ = f
si f est continue, g est une primitive de f.

Question 6

Formule de Taylor avec reste intégrale

Answer 6

Soit f de classe C(n+1)
f(b)=som(k=0..n)((b-a)^k)*f^(k)(a)/(k!) +
int(a..b)((b-t)^n)f^(n+1)(t)/(n!)dt

Question 7

Changement de variable

Answer 7

On peut faire un changement de variable sur un segment (en prenant une fct C1) si f
est continue.
Si f est seulement cmp sur un intervalle quelconque, le changement doit
être en plus strictement monotone.

Question 8

suite intégrante

Answer 8

f positif int sur I ssi int(Jn)(f) cv avec Jn segment cv vers I.

Question 9

Comparaison aux bornes

Answer 9

si g int et que f=O(g) alors f int
si g ~ f alors f int ssi g int
s g int et f=o(g) alors f int

Question 10

Intégrale impropre

Answer 10

si f est POSITIF alors f int sur I ssi int(Jn)(f) cv avec Jn segment cv vers I.
Mais si f est quelconque, on peut avoir une non intégrabilité et avoir une intégrale convergente.

Question 11

Comparaison intégrale série

Answer 11

f cpm de R+ dans R décroissante positive.
w(n)= - f(n)+int(n-1..n)(f(t)dt, alors :
les w(n) sont positifs et la série de termes gen w(n) cv.
f int sur R+ la série de terme gen f(n) cv