Polynôme + espace vectoriel

Question 1

Idéaux de K[X]

Answer 1

I est de la forme PK[X] où P est le plus petit

polynôme de l’idéal I. P est unique si on l’impose unitaire.

Question 2

PGCD

Answer 2

PK[X]+QK[X] est un idéal de K[X] donc il existe D tel que :

PK[X]+QK[X]=DK[X], D est le Pgcd de P et Q.

Question 3

thm de gauss

Answer 3

si P divise QR et est premier avec R, alors il divise Q.

Question 4

PPCM

Answer 4

PK[X] inter QK[X] est un idéal engendré par M appelé PPCM de P et Q.

Question 5

E1…En sont en somme directe

Answer 5

ssi pour tout(x1,…,xn) de E1…En, la somme des xi est nul implique que chaque xi est nul.
ssi pour tout x de E1+…+En, il existe un unique (x1,…,xn) de E1…En tel que x est la somme des xi.
E1 et E2 sont en somme directe ssi leur intersection est {0}.
Quand la somme direct est égal à E tout entier, les sev sommés sont supplémentaires

Question 6

projection, symétrie

Answer 6

Soit E la somme directe de deux supplé E1 et E2.
Alors x=x1+x2.
Soit p la proj sur E1 // E2, p(x)=x1
Soit s la sym par rapport à E1 // E2,
s(x)=x1-x2

Question 7

propriétés des sym et des proj

Answer 7

p(p(x))=p(x) et s(s(x))=x, p et s sont linéaire
si un endomorphisme p est tq p(p(x))=p(x), alors ker(p-id) et ker(p) sont supplé et p est la proj sur ker(p-id) // ker(p)

Question 8

Si E est de dim finie et admet 2 sev supplé

Answer 8

si F et G sont des supplé de E, dim(E)=dim(F)+dim(G)

Question 9

f de E dans F et G un suplé de ker(f) dans E, alors

Answer 9

G et Im(f) sont isomorphes et la restriction de f à G dans Im(f) est un isomorphisme.

Question 10

codimention

Answer 10

Soit E un ev et F sev de E. Alors les supplés de F sont tous isomorphes.
En particulier, s’il sont de dim finie p, alors p est la codimention de F.

Question 11

thm du rang

Answer 11

E de dim finie, F quelconque, f dans L(E,F)

dim(E)=dim(ker(f))+dim(Im(f))=dim(ker(f))+rg(f)

Question 12

Formule de Grassmann

Answer 12

E de dim finie, F1 et F2 deux sev de E :

dim(F1+F2)=dim(F1)+dim(F2)-dim(F1 inter F2)

Question 13

Dualité

Answer 13

le dual de E (noté E) est l’ensemble des formes linéaire sur E. E=L(E,K).
si E est de dim finie n, dim(E*)=n
Soit (e1..en) une base de E. Alors (f1…fn) tq fi(ej)=(1 si i=j, 0 sinon) est la base dual de la base (e1..en). On a donc fi(x) est la ième coordonné de x dans (e1..en).
f(ej) est la jème coordonné de f dans (f1…fn).

Question 14

Hyperplan

Answer 14

Un hyperplan est un sev de codimension 1.
H hyperplan il existe f une fomre linéaire non nul tq H=ker(f)
Si E est de dim finie n, un hyperplan est de dim n-1.

Question 15

base anté-duale

Answer 15

Soit (f1..fn) une base de E*.
il existe une unique base B de E tel que (f1..fn) soit la base dual de B.
B est donc la base anté dual de (f1..fn).

Question 16

systeme d’equation lin

Answer 16

E de dim finie n et F sev de E de dim p.
Alors F est l’intersection de (n-p) hyperplan.
On a donc l’existence de (n-p) formes linéaires tels que x appartient à F ssi il est dans les noyaux de toutes ces formes linéaires (elles formes une base du sev de E* def par
{f de E* tq pour tout x dans F, f(x)=0}

Question 17

intersection d’hyperplans

Answer 17

soit f1..fq q forme lin indépendantes de E.
l’intersection de leurs noyaux est un sev de E de dim n-q.
dim(F)=n-rg(f1..fn)
(f1..fn) est un base de E ssi l’intersection de leur noyaux vaut {0}.