Séries Entières

Question 1

Lemme d’Abel

Answer 1

∑anz^n une série entière.

Si il existe d>0 tq (and^n) est bornée, alors pour tout z tq |z|<d, on a anz^n=O(z/d)^n et donc ∑anz^n CVA

Question 2

Rayon de convergence

Answer 2

∑anz^n
Il existe un unique R tel que :
|z| ∑anz^n CVA
|z|>R => ∑anz^n div
R=sup{p réel tq (anp^n) est bornée}

Question 3

Comparaison de rayon

Answer 3

∑anz^n et ∑bnz^n de rayon de conv Ra et Rb
Si pour tout n, |an|≤|bn|
Alors Rb≤Ra

Question 4

Multiplication par un scalaire

Answer 4

∑anz^n de rayon R
h complexe non nul.
Alors ∑hanz^n est de rayon R

Question 5

Addition de deux série entière

Answer 5

∑anz^n et ∑bnz^n De rayon Ra et Rb
Alors ∑(an +bn)z^n de rayon R tq
R≥Min( Ra,Rb) et si |z|<Min( Ra,Rb)
Alors  
∑(an +bn)z^n=∑anz^n+∑bnz^n

Question 6

Produit de cauchy

Answer 6

∑anz^n et ∑bnz^n
Le produit de cauchy est ∑cnz^n
Avec cn = ∑a(k)b(n-k)
Rc≥min(Ra,Rb)

Question 7

Continuité

Answer 7

∑anz^n tq Ra ≠ 0
Alors CVN sur tout compact inclus dans le disque ouvert de conv
Donc z->∑(∞)anz^n continue sur le disque de conv

Question 8

Dérivation

Answer 8

∑anx^n de rayon de conv R non nul
Alors ∑nanx^(n-1) est de rayon R
Et est C1 sur ]-R,R[
Et x->∑nanx^(n-1) est sa dérivée
X-> ∑anx^n est C∞]-R,R[.

Question 9

Caractéristiques des an

Answer 9

F(x)=∑(∞)anx^n
Alors an = Hn(0)/n! Où Hn est la dérivée n-ième de F
F admet un DLN(0) pour tout n et la partie régulière est ∑(N)anx^n

Question 10

Égalité de série entière

Answer 10

Si deux séries entières de rayons non nul coïncide sur un intervalle non vide, alors elles sont =.

Question 11

Intégration

Answer 11

∑anx^n de rayon R. Alors ∑an(x^(n+1))/(n+1) a un rayon de R

S’il est non nul, x-> ∑(∞)anx^n admet une primitive sur ]-R,R[ qui est ∑(∞)an(x^(n+1))/(n+1)

Question 12

Problème de bord

Answer 12

Si ∑anx^n de rayon non nul R et
si ∑anR^n CVA
Alors f(x)=∑(∞)anx^n est continue sur [-R,R]

Question 13

Fonction DSE

Answer 13

f est DSE si elle est def sur un ouvert contenant I et s’il existe ∑anx^n de R non nul et 0<p≤R tq f(x)=∑(∞)anx^n sur ]-p,p[

Question 14

F DSE implique ?

Answer 14

f est C∞ sur un voisinage de 0
La série entière de f est unique.
Les dérivées et primitives successifs sont DSE
Les CL de f sont DSE
Le produit de cauchy est DSE

Question 15

DSE pratique

Answer 15

Toute fraction rationnel dont 0 n’est pas pôle est DSE sur le disque de rayon le plus petit des modules des pôles.

Question 16

Série double thm de fubini

Answer 16

Suite double u(p,q)
Si pour tout p ∑(q)u(p,q) CVA
Si ∑(p)Up cv où Up=∑(q)(∞)|u(p,q)|
Alors on peut inverser la somme suivant p avec celle suivant q