EVN3 Flashcards
Convexité
C est convexe si pour tout (x,y) de C, pour tout t de [0,1], (1-t)x+ty appartient à C
Propriété de convexité
Soit N une norme sur E, alors toute boule de E pour N est convexe.
C convexe => C connexe par arc
Connexité par arcs
C est cpa si pour tout x,y de C, il existe f de [0,1] dans E telle que f(0)=x, f(1)=y, f est continue sur [0,1] et pour tout t de [0,1], f(t) appartient à C
Propriété de connexité
L’image par une application continue d’une partie connexe par arcs est connexe par arcs.
Soit C une partie de R. Alors :
C convexe ssi C intervalle ssi C connexe par arc. Donc l’image par une fonction de E dans R d’une partie cpa est un intervalle.
Continuité et linéarité
Soit E et E’ deux evn de norme N et N’
Soit u de L(E,E’), alors :
u continue u continue en 0 u est bornée sur la boule fermée unité il existe k tel que N’( u(x))≤kN(x) u est lipschitzienne
Norme sur LC(E,E’)
L(E,E’) est un ev.
||u||L=sup{N’(u(x)),x tq N(x)≤1} est une norme sur L(E,E’) appelée norme subordonnée aux normes N et N’.
Propriété de ||.||L
||u||L=sup{N’(u(x))/N(x), x≠0}
||u||L est le plus petit des réel de continuité de u.
||v∘u||L≤||v||L.||u||L
||IdE||=1
B bilinéaire, alors :
B continue ssi il existe k de R tq pour tout (x1,x2) de E1xE2, N’(B(x1,x2)≤kN1(x1)N2(x2)
En dim finie
E de dim finie et E’ evn
E1,E2 deux evn de dim finie
u de L(E)
L(E,E’)=LC(E,E’)
L((E1,E2),E’)=LC((E1,E2),E’)
||u||L=sup{|(u(x)|y)|, N(x)≤1 et N(y)≤1}
||u||L=||u*||L
E euclidien
u endo auto adjoint positif de E
Alors ||u||L est la plus grande des valeurs propres de u. Soit u de L(E) quelconque u*∘u est auto adjoint positif ||u||L²=||u*∘u||L ||u||L² est la plus grande vp de u*∘u
||.|| est une norme d’algèbre sur A de dim finie.
Série géométrique dans A
||a^k||≤||a||^k
Si ||a||inverse 1-a
Exponentielle dans A
exp(a)=∑(+∞)(1/k!)a^k exp est continue. ea : t->exp(ta) est dérivable et ea'(t)=a.exp(ta)=exp(ta).a exp(ta)^-1=exp(-ta) Si ab=ba, exp(a+b)=exp(a)exp(b)
