Espaces Euclidiens 2

Question 1

symétrie orthogonal

Answer 1

s est une symétrie orthogonal
ssi s est un opérateur orthogonal
ssi s est auto-adjoint

Question 2

reflexion

Answer 2

Une reflexion est une symétrie ortho par rapport à un hyperplan // à une droite.
une reflexion est dans O-(E)={u de SO(E) tq det(u)= -1}

Question 3

projection orthogonal

Answer 3

Soit p une projection, alors

p auto-adjoint p orthogonal

Question 4

produit mixte

Answer 4

Soit E euclidien orienté par B0 de dim n.
Soit (x1,..,xn) de E.
le produite mixte de ces vecteurs est le scalaire det(BOND)(x1,..,xn) qui est le même dans toutes les BOND.

Question 5

produit vectoriel

Answer 5

Soit E euclidien de dimension n.
Soit (x1..xn-1) n-1 vecteurs de E.
La forme linéaire x->det(BOND)(x1,..,xn-1,x) admet un unique vecteur y tel qu’elle soit égal à (y|.) y est le produit vectoriel de x1,..,xn-1

Question 6

Matrice de SO(2)

Matrice de O-(2)

Answer 6

[[cos,-sin],[sin,cos]]

[[cos,sin],[sin,-cos]]

Question 7

En dimension 2, élément de SO(E) et de O-(E).

Answer 7

u esr dans SO(E) ssi u est une rotation
u est dans O-(E) ssi u est une reflexion
la matrice d’une rotation est la même dans toutes les BOND.

Question 8

Matrice réduite d’un opérateur orthogonal

Answer 8

Soit E euclidien de dim n, soit u dans O(E). Alors les seules vp possibles de u sont
1 et -1. Si x est un vecteur propre de u, alors ortho(vect(x)) est stable par u.

Question 9

En dimension impaire

Answer 9

Soit E de dim impaire et soit u dans O(E).
alors det(u)=+/-1 est une valeur propre de u.

Question 10

En dimension 3

Answer 10

Il existe une BON dans laquelle un opérateur orthogonal u aura une matrice de la forme
[[det(u),0,0],[0,cos,-sin],[0,sin,cos]]

Question 11

Rotation en dim 3

Answer 11

Soit u de SO(E3). u différent de id, Alors :
ker(u-id) est une droite de E3 ( u est la rot d’axe (ker(u-id)) )
ortho(ker(u-id)) est stable par u
l’endo de ortho(ker(u-id)) induit par u est une rotation dans ce plan.

Question 12

Coniques

Answer 12

Soit D une droite ne passant pas par F

C={M tq d(M,F)=e*d(M,D)} est la conique de foyer F, de direction D et d’excentricité e

Question 13

elipse

Answer 13

x²/a²+y²/b²=1 a>b>0
c=(a²-b²)^(1/2) alors les foyers sont (+/-c,0)
l’excentricité est e=c/a

Question 14

hyperbole

Answer 14

x²/a²-y²/b²=1
c=(a²+b²)^(1/2) alors les foyers sont (+/-c,0)
l’excentricité est e=c/a

Question 15

Parabole

Answer 15

x²=2py le foyer est (0,p/2) la direction est d’equation y=-p/2²

Question 16

recherche de l’equation réduite

Answer 16

ax²+by²+2cxy+a1x+b1y=d
Soit A=[[a,c],[c,b]] sym réelle donc il existe une BON (e1,e2) tq 
ax²+by²+2cxy=v1x1²+v2x2² avec v1 et v2 les vp de A et (x,y)=P(x1,x2), P de passage de (i,j) à (e1,e2)
si det(A)=v1*v2>0 ellipse
si det(A)=v1*v2<0 hyperbole
si v1 non nul et v2 nul parabole

Question 17

Quadrique

Answer 17

ellipsoïde (les 3 vp non nul et du même signe)
x²/a²+y²/a²+z²/c²= 1
hyperboloïde à une nappe(vp non nul signe dif)
x²/a²+y²/a²-z²/c²= 1
hyperboloïde à deux nappes(idem)
x²/a²+y²/a²-z²/c²= -1
paraboloïde elliptique(1 vp nul, les 2 autres du même signe)
x²/a² + y²/a²= z
paraboloïde hyperbolique(1 vp nul, les 2 autres de signe contraire)
x²/a² - y²/a²= z