algèbre 1

Question 1

Soit G non vide muni d’une lci

G est un groupe si ?

Answer 1

• est associative, possède un neutre et est tel que pour tout x de G, x est symétrisable.

Question 2

Sous groupe

Answer 2

H est un sous groupe de G pour la loi * si
H est non vide
H est stable par *
H est stable par le passage au sym

Question 3

morphisme de groupe

Answer 3

Soit (G,) et (H,+) deux groupes.
Soit f de G dans H.
f est un morphisme de groupe si pour tout (x,y) de G, on a :
f(xy)=f(x)+f(y)

Question 4

si f est un morphisme de groupe de G dans H

Answer 4

Alors l’élément neutre de H est l’image par f de l’élément neutre de G.
Le sym de f(x) est l’image par f du sym de x.
ker(f) est un sous groupe de G
Im(f) est un sous groupe de F

Question 5

sous groupe engendré par un élément

Answer 5

Soit (G,*) un groupe et a un élément de G. On note<a> le sous groupe engendré par a l’ensemble des itérés de a.
<a>={a^n,n dans Z}
un groupe G est monogène s’il existe un élément a de G tel que <a>=G, il est cyclique s’il est monogène et fini</a></a></a>

Question 6

sous groupe engendré par une partie

Answer 6

Soit A une partie non vide d’un groupe G
<a> est l’ensemble des x de G tels que :
x= a1…an avec ai ou son sym dans A
A est une partie gen de G si <a>=G
<a> est le plus petit sous groupe de G contenant A.
<a> est l’intersection de tous les sous groupe de G contenant A.</a></a></a></a>

Question 7

anneaux et corps

Answer 7

(A,+,*) est un anneau si
(A,+) est un groupe abélien
* est associative et possède un neutre
* est distributive sur +
A est un corps si c'est un anneau commutatif dont tous les éléments non nuls sont inversibles.

Question 8

Groupe des inversible d’un anneau

Answer 8

Soit U(A) l'ensemble des éléments inversible de A.
(U(A),*) est un groupe

Question 9

Progression géométrique

Answer 9

Si a et b commutent, alors :
b^(n+1)-a^(n+1)=
(b-a)(a^n+ba^(n-1)+b²a^(n-2)+…+b^n)

Question 10

Formule du binôme

Answer 10

Si a et b commutent, alors :

a+b)^n=sum(k=0..n)(k parmi n)a^k*b^(n-k

Question 11

Sous-anneau, sous corps

Answer 11

soit B une partie de A
B est un sous anneau de A si :
(B,+) est un sous groupe de (A,+)
1 est inclue dans B
B est stable par *
K est un sous corps si c'est un sous anneau dont les éléments non nuls sont inversibles.

Question 12

Morphisme d’anneau

Answer 12

f est un morphisme d'anneau si :
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(xy)=f(x)f(y)
f(1)=1
ker(f) n'est pas un sous anneau de l'anneau de départ. Si l'anneau est commutatif, alors ker(f) est un idéal de l'anneau.

Question 13

Idéal d’un anneau commutatif

Answer 13

soit A un anneau commutatif. Soit I une partie de A.
I est un idéal de A si (I,+) est un sous groupe de (A,+) et si pour tout x de I et pour tout a de A ax appartient à I.
L’intersection de 2 idéaux de A est un idéal de A. Pour tout x de A, l’ensemble xA={xa,a de A} est l’idéal engendré par x.
xA+yA={xa+yb,(a,b) dans A²} est l’idéal engendré par a et b.

Question 14

intégrité

Answer 14

Soit A un anneau commutatif.
A est dit intègre si le produit de 2 éléments non nuls de A est non nul.
Tout corps est intègre.

Question 15

divisibilité

Answer 15

Soit A un anneau intègre.
a divise b dans A si il existe x dans A tel que b=ax.
a divise b bA est inclue dans aA