EVN2

Question 1

Limite d’une fonction

Answer 1

Soit f def sur D et soit x0 dans D|
lim(x0)(f)=l existe si
pour tout e>0, il existe a>0 tq
pour tout x tq d(x,x0)<a><e</a>

Question 2

continuité

Answer 2

f est continue en a si lim(a)(f(x))=f(a)

Question 3

limite d’appli et de suite

Answer 3

Si lim(a)(f(x)) existe et si x(n) cv vers a
alors lim(f(x(n)))=lim(a)(f(x))

Question 4

caract seq de la limite

Answer 4

si pour toute suite x(n) cv vers a, f(x(n)) cv

vers b, alors lim(a)(f(x))=b

Question 5

Critère de Cauchy

Answer 5

Si l’espace d’arrivé de f est complet,
f admet une limite en x0 ssi
pour tout e>0 il existe a>0 tq
pour tout x,y tq d(x,x0)<a><a><e</a></a>

Question 6

Si f continue en a

Answer 6

pour toute suite x(n) cv vers a, f(x(n)) cv vers f(a)

Question 7

Equivalence des normes en dim finie

Answer 7

toute norme sont eq en dimension finie

Question 8

Suite et fonction def par leur coordonnée

Answer 8

Soit x(n)=(x1(n)...xp(n))
alors x cv ssi les xi cv
idem, lim(a)(f(x)) existe ssi les p limites en a des fonction coordonné existent.

Question 9

Sev de E en dim finie

Answer 9

si E est de dim finie, tout sev de E est fermée.

Question 10

Compacité en dimension finie

Answer 10

Soit E de dim finie, une partie de E est compacte ssi elle est fermée bornée.

Question 11

Bolzano

Answer 11

toute suite bornée de E admet une sous suite cv.

Question 12

Soit E de dim finie et soit une suite x(n) cv vers a, alors…

Answer 12

{x(n),n dans N}U{a} est un compacte de E.

Question 13

DL(1) de f

Answer 13

f dérivable en t0 et f ‘(t0)=a ssi

f(t)=f(t0)+(t-t0)a1+(t-t0)e(t) avec lim(t0)(e)=0

Question 14

Soit u linéaire en dimension finie

Answer 14

alors u est continue

Question 15

soit u linéaire et f dérivable en t0.

Answer 15

alors x -> u(f(x)) est dérivable en t0 et sa dérivée vaut u(f ‘(t0))

Question 16

Soit B bilinéaire et f et g dérivable en t0.

Answer 16

alors x -> B(f(x),g(x)) est dérivable en t0 et sa dérivée vaut B(f ‘(t0),g(t0))+B(f(t0),g’(t0))

Question 17

Leilniz

Answer 17

si f,g n fois dérivable en t0 alors, fg aussi est sa dérivée n-ième en t0 est
sum(k=0..n)((k parmi n)(f^(k)(t0)g^(n-k)(t0))

Question 18

dérivée d’une reciproque

Answer 18

soit x0= f(t0)

inv(f) ‘ (x0)=1/(f ‘(t0))=1/(f ‘(inv(f)(x0)))

Question 19

Rolle

Answer 19

Soit [a,b] un segment de R. Si f est 
continue sur [a,b]
dérivable sur ]a,b[ 
et tq f(a)=f(b)
alors il existe c dans ]a,b[ tel que f '(c)=0

Question 20

Thm des accroissements finis

Answer 20

Soit [a,b] un segment de R. Si f est 
continue sur [a,b]
dérivable sur ]a,b[ 
alors il existe c de ]a,b[ tel que
f '(c)(b-a)=f(b)-f(a)

Question 21

thm de prolongement C1

Answer 21

Si f C1(I{t0}) et que lim(t0) f ‘(t) existe, alors f est C1(I).

Question 22

Fonctions convexes

Answer 22

f convexe ssi pour tout (x,y) et t dans [0,1]
f(tx+(1-t)y)=0
f convexe alors pour tout n-uplet de ai dont la somme fait 1, pour tout n-uplet xi f(a1x1+…anxn)<=a1f(x1)+…+anf(xn)

Question 23

IAF pour une fonction à valeur dans un ev

Answer 23

Rolle ne passe pas au ev
Soit [a,b] un segment de R. Si f est
continue sur [a,b]
dérivable sur ]a,b[
et si il existe k tq ||f ‘(t)||=||f(b)-f(a)||
f k-lip et dérivable sur I° ssi ||f ‘(t)||<=k sur I°