EVN2 Flashcards
Limite d’une fonction
Soit f def sur D et soit x0 dans D|
lim(x0)(f)=l existe si
pour tout e>0, il existe a>0 tq
pour tout x tq d(x,x0)<a><e</a>
continuité
f est continue en a si lim(a)(f(x))=f(a)
limite d’appli et de suite
Si lim(a)(f(x)) existe et si x(n) cv vers a alors lim(f(x(n)))=lim(a)(f(x))
caract seq de la limite
si pour toute suite x(n) cv vers a, f(x(n)) cv
vers b, alors lim(a)(f(x))=b
Critère de Cauchy
Si l’espace d’arrivé de f est complet,
f admet une limite en x0 ssi
pour tout e>0 il existe a>0 tq
pour tout x,y tq d(x,x0)<a><a><e</a></a>
Si f continue en a
pour toute suite x(n) cv vers a, f(x(n)) cv vers f(a)
Equivalence des normes en dim finie
toute norme sont eq en dimension finie
Suite et fonction def par leur coordonnée
Soit x(n)=(x1(n)...xp(n)) alors x cv ssi les xi cv idem, lim(a)(f(x)) existe ssi les p limites en a des fonction coordonné existent.
Sev de E en dim finie
si E est de dim finie, tout sev de E est fermée.
Compacité en dimension finie
Soit E de dim finie, une partie de E est compacte ssi elle est fermée bornée.
Bolzano
toute suite bornée de E admet une sous suite cv.
Soit E de dim finie et soit une suite x(n) cv vers a, alors…
{x(n),n dans N}U{a} est un compacte de E.
DL(1) de f
f dérivable en t0 et f ‘(t0)=a ssi
f(t)=f(t0)+(t-t0)a1+(t-t0)e(t) avec lim(t0)(e)=0
Soit u linéaire en dimension finie
alors u est continue
soit u linéaire et f dérivable en t0.
alors x -> u(f(x)) est dérivable en t0 et sa dérivée vaut u(f ‘(t0))
Soit B bilinéaire et f et g dérivable en t0.
alors x -> B(f(x),g(x)) est dérivable en t0 et sa dérivée vaut B(f ‘(t0),g(t0))+B(f(t0),g’(t0))
Leilniz
si f,g n fois dérivable en t0 alors, fg aussi est sa dérivée n-ième en t0 est
sum(k=0..n)((k parmi n)(f^(k)(t0)g^(n-k)(t0))
dérivée d’une reciproque
soit x0= f(t0)
inv(f) ‘ (x0)=1/(f ‘(t0))=1/(f ‘(inv(f)(x0)))
Rolle
Soit [a,b] un segment de R. Si f est continue sur [a,b] dérivable sur ]a,b[ et tq f(a)=f(b) alors il existe c dans ]a,b[ tel que f '(c)=0
Thm des accroissements finis
Soit [a,b] un segment de R. Si f est continue sur [a,b] dérivable sur ]a,b[ alors il existe c de ]a,b[ tel que f '(c)(b-a)=f(b)-f(a)
thm de prolongement C1
Si f C1(I{t0}) et que lim(t0) f ‘(t) existe, alors f est C1(I).
Fonctions convexes
f convexe ssi pour tout (x,y) et t dans [0,1]
f(tx+(1-t)y)=0
f convexe alors pour tout n-uplet de ai dont la somme fait 1, pour tout n-uplet xi f(a1x1+…anxn)<=a1f(x1)+…+anf(xn)
IAF pour une fonction à valeur dans un ev
Rolle ne passe pas au ev
Soit [a,b] un segment de R. Si f est
continue sur [a,b]
dérivable sur ]a,b[
et si il existe k tq ||f ‘(t)||=||f(b)-f(a)||
f k-lip et dérivable sur I° ssi ||f ‘(t)||<=k sur I°
