Matrices Flashcards
Matrices élémentaires
Eij*Ejk=Eik. A par ce cas là, la
multiplication de 2 matrices élémentaires est nul.
Produit matricielle
AB=C avec C[i,k]=sum(j=1..p)A[i,j]B[j,k]
Propriétés
trans(inv(A))=inv(trans(A))
tr(AB)=tr(BA)
Poly matriciel
K[A]={P(A),P décrit K[X]} est l’algèbre commutative engendré par A.
I(A)={P, P(A)=0} est l’idéal annulateur de A. I(A) est différent de {0}.
Donc il existe un poly M tq I(A)=MK[X].
M est le poly minimal de A (deg(M)<n+1)
thm du rang matricielle
Soit A dans Mn,p(K)
p=dim(ker(A))+rg(A)
CNS d’inversibilité pour une matrice carré de taille n.
A inversible det(A) est non nul (ou plutot inversible dans K).
rg(A)=n
ker(A)={0}
il existe B tq AB=In
Matrice de passage
Ba (ancienne base) et Bn (nouvelle base)
P la mat de passage de Ba à Bn est la matrice de Bn exprimer dans Ba.
Soit x un vecteur dont Xn est x dans Bn et Xa est x dans Ba. Alors PXn=Xa.
P est inversible.
Matrice eq
A et B sont eq si il existe P,Q inversible tq B=inv(Q)AP.
Deux matrice sont eq ssi elles ont le même rang.
Matrice semblable
A et B sont semblables si il existe P inv tq
B=inv(P)AP. Deux matrices semblable ont même rang même trace même det et même poly caract.
toutes matrice d’un endo dans toutes les bases sont semblables. On def donc la trace d’un endo.
Par exemple, la trace d’une projection est = à son rang.
spectre d’une matrice de taille n
le spectre de A est l’ensemble des valeurs propres. A admet au plus n vp distincts.
soit a une vp de A. On note E(a)=ker(A-aI) le sep asso à a.
A diagonalisable ssi…
ssi il existe une base propre pour A
ssi il existe un annulateur de A scindé à racines simple.
ssi sont polynôme mini est scindé à racines simples.
ssi son poly caract est scindé et chaque sep est de dimension l’ordre de multiplicité de sa vp.
a vp de A ssi…
ssi (A-aI) est non inv
ssi det(A-aI)=0
ssi ker(A-aI) contient un vecteur propre
ssi a est racine du polynôme mini de A.
Si a est vp de A, alors
a est racine de tout polynôme annulateur de A.
si A admet n vp distinct, n la taille de A.
Alors A est diagonalisable et les sep sont de dimension 1.
Si A admet une seule valeur propre a
A diagonalisable ssi A=aI
Soit deux endomorphisme u et v tq u et v commutent, alors…
ker(u), Im(u) et les sep de u sont stable par v.
Si un endomorphisme admet n valeurs propres distincts…
Le sep asso sont en somme directe et donc une famille de n vecteurs propres asso à des valeurs propres distincts est libre.
endomorphisme diagonalisable
u est diago ssi u admet une base propre.
Diagonalisation en dim finie n
Si u admet m valeurs propres distincts a1..am, alors
u est diagonalisable la sommes des m sep est directe est vaut E.
Si u diago, on peut donc def les projecteurs spectraux pj sur E(aj) // au reste. Dans ce cas, u = a1p1+a2p2+…appm
tout vecteur de E est propre pour u
ssi il existe a tq u=a*id (u est une homotétie)
ssi le poly minimal de u est de deg 1
Soit a une valeur propore de u et P un poly.
Alors P(a) est valeur propre de P(u). Si a est de multiplicité m, alors le sep asso est de dimention au plus m.
Si u admet un poly minimal
Alors u a un nombre fini de vp.
En particulier, en dim finie, u admet un poly minimal.
Lemme des Noyaux
E un K-ev quelconque.
Soit u un endo de E.
Soit P1 et P2 deux polys premiers entre eux et soit P=P1*P2, alors :
ker(P(u))=ker(P1(u))+ker(P2(u)) et la somme est directe.
On peut généraliser à n polynôme premiers entres eux.
Appli du lemme des noyau à une proj
p proj donc p(p(x))=p(x) donc X²-X=X(X-1) est un annulateur de p. X et X-1 sont premier entre eux donc :
ker(p(p-id))=ker(p)+ker(p-id) et la somme et directe. comme p(p-id)=0, on a :
E=ker(p)+ker(p-id).
Si u est diago…
Son polynôme minimal est
(X-a1)(X-a2)…(X-ap) avec a1, a2,…ap les vp de u deux à deux distinctes.
Soit E de dim finie. Soit u un endo de E. Soit F un sev de E stable par u. Alors ?
Soit v l’endo de F induit par u. Le poly
minimal de v divise celui de u. Si u est
diago, v l’est aussi. Le poly caract de v divise celui de u.
a vp de A ssi
ssi a racine du poly caract de A det(A-XIn)
Coef du poly caract
coef dominant : (-1)^n
coef n-1 : (-1)^(n-1)tr(A)
coef constant : det(A)
le produit des vp de A = det(A) et la somme de vp de A = tr(A).
comatrice
transp(com(A)) commute avec A et transp(com(A))A=det(A)In
Si A inversible,
inv(A) =1/det(A)*transp(com(A))
si rg(A)<(n-1) alors com(A)=0
Cayley-Hamilton
le polynome caractéristique de A est un annulateur de A.
A trigonalisable ssi
ssi son poly caract est scindé
ssi il existe un annulateur scindé
A nilpotente de taille n ssi
A est semblable à une matrice strictement triangulaire
L’indice de nilpotence est inférieur ou égal à n.
