Matrices

Question 1

Matrices élémentaires

Answer 1

Eij*Ejk=Eik. A par ce cas là, la

multiplication de 2 matrices élémentaires est nul.

Question 2

Produit matricielle

Answer 2

AB=C avec C[i,k]=sum(j=1..p)A[i,j]B[j,k]

Question 3

Propriétés

Answer 3

trans(inv(A))=inv(trans(A))

tr(AB)=tr(BA)

Question 4

Poly matriciel

Answer 4

K[A]={P(A),P décrit K[X]} est l’algèbre commutative engendré par A.
I(A)={P, P(A)=0} est l’idéal annulateur de A. I(A) est différent de {0}.
Donc il existe un poly M tq I(A)=MK[X].
M est le poly minimal de A (deg(M)<n+1)

Question 5

thm du rang matricielle

Answer 5

Soit A dans Mn,p(K)

p=dim(ker(A))+rg(A)

Question 6

CNS d’inversibilité pour une matrice carré de taille n.

Answer 6

A inversible det(A) est non nul (ou plutot inversible dans K).
rg(A)=n
ker(A)={0}
il existe B tq AB=In

Question 7

Matrice de passage

Answer 7

Ba (ancienne base) et Bn (nouvelle base)
P la mat de passage de Ba à Bn est la matrice de Bn exprimer dans Ba.
Soit x un vecteur dont Xn est x dans Bn et Xa est x dans Ba. Alors PXn=Xa.
P est inversible.

Question 8

Matrice eq

Answer 8

A et B sont eq si il existe P,Q inversible tq B=inv(Q)AP.

Deux matrice sont eq ssi elles ont le même rang.

Question 9

Matrice semblable

Answer 9

A et B sont semblables si il existe P inv tq
B=inv(P)AP. Deux matrices semblable ont même rang même trace même det et même poly caract.
toutes matrice d’un endo dans toutes les bases sont semblables. On def donc la trace d’un endo.
Par exemple, la trace d’une projection est = à son rang.

Question 10

spectre d’une matrice de taille n

Answer 10

le spectre de A est l’ensemble des valeurs propres. A admet au plus n vp distincts.
soit a une vp de A. On note E(a)=ker(A-aI) le sep asso à a.

Question 11

A diagonalisable ssi…

Answer 11

ssi il existe une base propre pour A
ssi il existe un annulateur de A scindé à racines simple.
ssi sont polynôme mini est scindé à racines simples.
ssi son poly caract est scindé et chaque sep est de dimension l’ordre de multiplicité de sa vp.

Question 12

a vp de A ssi…

Answer 12

ssi (A-aI) est non inv
ssi det(A-aI)=0
ssi ker(A-aI) contient un vecteur propre
ssi a est racine du polynôme mini de A.

Question 13

Si a est vp de A, alors

Answer 13

a est racine de tout polynôme annulateur de A.

Question 14

si A admet n vp distinct, n la taille de A.

Answer 14

Alors A est diagonalisable et les sep sont de dimension 1.

Question 15

Si A admet une seule valeur propre a

Answer 15

A diagonalisable ssi A=aI

Question 16

Soit deux endomorphisme u et v tq u et v commutent, alors…

Answer 16

ker(u), Im(u) et les sep de u sont stable par v.

Question 17

Si un endomorphisme admet n valeurs propres distincts…

Answer 17

Le sep asso sont en somme directe et donc une famille de n vecteurs propres asso à des valeurs propres distincts est libre.

Question 18

endomorphisme diagonalisable

Answer 18

u est diago ssi u admet une base propre.

Question 19

Diagonalisation en dim finie n

Answer 19

Si u admet m valeurs propres distincts a1..am, alors
u est diagonalisable la sommes des m sep est directe est vaut E.
Si u diago, on peut donc def les projecteurs spectraux pj sur E(aj) // au reste. Dans ce cas, u = a1p1+a2p2+…appm

Question 20

tout vecteur de E est propre pour u

Answer 20

ssi il existe a tq u=a*id (u est une homotétie)

ssi le poly minimal de u est de deg 1

Question 21

Soit a une valeur propore de u et P un poly.

Answer 21

Alors P(a) est valeur propre de P(u).
Si a est de multiplicité m, alors le sep asso est de dimention au plus m.

Question 22

Si u admet un poly minimal

Answer 22

Alors u a un nombre fini de vp.

En particulier, en dim finie, u admet un poly minimal.

Question 23

Lemme des Noyaux

Answer 23

E un K-ev quelconque.
Soit u un endo de E.
Soit P1 et P2 deux polys premiers entre eux et soit P=P1*P2, alors :
ker(P(u))=ker(P1(u))+ker(P2(u)) et la somme est directe.
On peut généraliser à n polynôme premiers entres eux.

Question 24

Appli du lemme des noyau à une proj

Answer 24

p proj donc p(p(x))=p(x) donc X²-X=X(X-1) est un annulateur de p. X et X-1 sont premier entre eux donc :
ker(p(p-id))=ker(p)+ker(p-id) et la somme et directe. comme p(p-id)=0, on a :
E=ker(p)+ker(p-id).

Question 25

Si u est diago…

Answer 25

Son polynôme minimal est

(X-a1)(X-a2)…(X-ap) avec a1, a2,…ap les vp de u deux à deux distinctes.

Question 26

Soit E de dim finie. Soit u un endo de E. Soit F un sev de E stable par u. Alors ?

Answer 26

Soit v l’endo de F induit par u. Le poly
minimal de v divise celui de u. Si u est
diago, v l’est aussi. Le poly caract de v divise celui de u.

Question 27

a vp de A ssi

Answer 27

ssi a racine du poly caract de A det(A-XIn)

Question 28

Coef du poly caract

Answer 28

coef dominant : (-1)^n
coef n-1 : (-1)^(n-1)tr(A)
coef constant : det(A)
le produit des vp de A = det(A) et la somme de vp de A = tr(A).

Question 29

comatrice

Answer 29

transp(com(A)) commute avec A et transp(com(A))A=det(A)In
Si A inversible,
inv(A) =1/det(A)*transp(com(A))
si rg(A)<(n-1) alors com(A)=0

Question 30

Cayley-Hamilton

Answer 30

le polynome caractéristique de A est un annulateur de A.

Question 31

A trigonalisable ssi

Answer 31

ssi son poly caract est scindé

ssi il existe un annulateur scindé

Question 32

A nilpotente de taille n ssi

Answer 32

A est semblable à une matrice strictement triangulaire

L’indice de nilpotence est inférieur ou égal à n.