EVN1 Flashcards
Norme
une norme sur un ev E est une aplication N de E dans R tq :
N(x)>0 si x est non nul et N(0)=0.
N(ax)=|a|N(a*x)
N(x+y)<=N(x)+N(y)
deuxième inégalité triangulaire
|N(x)-N(y)|<=N(x-y)
Norme de ref
N1(x)=|x1|+…+|xn|
N2(x)=( |x1|²+…+|xn|² )^(1/2)
Ninf(x)=max(|x1|,…,|xn|)
Norme de la CVU
soit B(X,E) l'algèbre des fonction de X dans E bornées.
Alors ||.||inf def par
||f||inf=sup{N(f(x)),x dans X} est une norme d'algèbre sur B(X,E).Convergence
Soit un suit (x(n)) de E, (x(n)) converge vers a si : pour tout e>0 il existe n0 tq pour tout n>=n0 N(x(n)-a)<=e
Si (x(n)) converge vers a alors…
(x(n)) est bornée.
N(x(n)) cv vers N(a)
a est la seule valeur d’adhérence
(x(n)) est de Cauchy
(x(n)) converge vers a dans E ssi
limN(x(n)-a)=0 dans R.
Si x(2n) et x(2n+1) ont la même limite a…
Alors x(n) converge vers a.
Suites réelles adjacentes
Deux suites sont adjacentes si
l’une est croissante, l’autre décroissante
la différence des deux tend vers 0.
Deux suites adjacentes cv vers la même limite
Boule ouverte
Boule fermée
B(a,r)={x tq N(x-a)<=r} est la boule fermée de centre a et de rayon r.
Partie ouverte, Partie fermée de E
A est ouvert non vide ssi pour tout x dans
A, il existe une boule ouverte de centre x
incluse dans A.
F est fermée si son complémentaire (E\F) est ouvert. l’ensemble vide et E sont ouvert et fermée.
Voisinage
un voisinage V de a est une partie contenant un ouvert contenant lui-même a.
Intersection et union d’ouverts et de fermés
Une union d’ouverts est ouverte et une intersection de fermés est fermée.
Une intersection finie d’ouverts est ouverte et une union finie de fermés est fermée.
Intérieur d’une partie de E
x est dit intérieur à A si il existe une boule
ouverte de centre x contenue dans A.
On note A° l’ensemble des x intérieur à A.
A° est le plus grand ouvert contenu dans A. A ouvert A=A°
Adhérence d’une partie de E
x est dit adhérent à A si toute boule ouverte
de centre x est non disjointe de A.
On note A| l’ensemble des x adhérent à A.
A| est le plus petit fermé contenant A.
A fermée A|=A
Caractérisation seq de l’adhérence
x est dans A| ssi il existe une suite de A convergeant vers x dans E.
densité
A est dense dans B
si A inclue dans B inclue dans A|
Si B=E, A est dense dans E si
A|=E. Par exemple R=Q|
Soit A une partie non vide et majorée de R.
Alors sup(A) est inclus dans A|
Complet
A est complete si toute suite de Cauchy de A est convergente dans A. u est de Cauchy si
pour tout e>0
il existe n0 tq pour tout n,p>n0
N(u(n)-u(p))inf)(sup{N(u(n)-u(p)),p,n>n0})=0
Toute ev de dim finie est complet
A complete implique
A fermée
Toute partie fermée de A est complete.
Une partie A de R est compacte ssi
elle est fermée bornée.
Compacte
Un partie A est compacte si toute suite de A admet une sous suite cv dans A.
A compacte implique
A fermée bornée
toute partie fermée de A est compacte.
Produit de compacte
Tout produit de compacte est un compacte.
Normes equivalentes
N1 et N2 sont eq ssi pour tout x de E
il existe a et b des scalaires POSITIFS tq
aN1(x)>=N2(x)>=bN1(x)
Deux normes sont eq implique…
toutes notion topo pour l’une passe à
l’autre
(fermés, dense compact, complet, ouvert, cv,…)
distance
d est une distance sur E si d(x,y)=d(y,x) d(x,y)>0 si x différent de y et d(x,x)=0 d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y) (E,d) est un espace métrique.
distance asso à une norme
x,y -> N(x-y) est une distance asso à N.
Toute partie non vite d’un evn est un espace métrique.
Toute espace affine de direction euclidienne
est métrique avec d(A,B)=||AB||
On peut généraliser les notion topo aux espaces métriques.
Ouvert relatif, fermé relatif
A partie de E, A est donc métrique.
X est un ouvert de A si
X est l’intersection de A et d’un ouvert de E.
X est un fermé de A si
X est l’intersection de A et d’un fermé de E.
Continuité, uniforme continuité
f est continue en x0 si pour tout e>0 il existe a>0 tq pour tout x tq d(x,x0)<a>0 il existe a>0 tq pour tout x,y tq d(x,y)<a><e
lipchitzienne
f est k-lip si
pour tout x,y, d(f(x),f(y))<=kd(x,y)
f lipschitzienne implique f continue uniformément implique f continue.
distance entre x est une partie
d(x,A)=inf({N(x-a), a dans A}).
L’application x -> d(x,A) de E dans R
est 1-lip.
THM de Heine
Toute fonction définit sur un compact est uniformément continue.
fonctions continues et suites récurrente
si u(n+1)=f(u(n)) et u(0) dans D avec f continue et D fermé stable par f, alors si u converge, la limite est un point fixe de f.
fonctions continues et parties denses.
Si deux fonctions continues def sur E dans
E’ coincident sur une partie de E dense
dans E, alors elles coincide sur E tout entier.
fonctions continues et parties ouvertes/fermées
l’image réciproque d’un ouvert (resp fermé)
par une fonction continue
est un ouvert(resp fermé).
Fonction continue et partie compacte
L’image par un fonction continue d’un compact est un compact.
