EVN1

Question 1

Norme

Answer 1

une norme sur un ev E est une aplication N de E dans R tq :
N(x)>0 si x est non nul et N(0)=0.
N(ax)=|a|N(a*x)
N(x+y)<=N(x)+N(y)

Question 2

deuxième inégalité triangulaire

Answer 2

|N(x)-N(y)|<=N(x-y)

Question 3

Norme de ref

Answer 3

N1(x)=|x1|+…+|xn|
N2(x)=( |x1|²+…+|xn|² )^(1/2)
Ninf(x)=max(|x1|,…,|xn|)

Question 4

Norme de la CVU

Answer 4

soit B(X,E) l'algèbre des fonction de X dans E bornées.
Alors ||.||inf def par 
||f||inf=sup{N(f(x)),x dans X} est une norme d'algèbre sur B(X,E).

Question 5

Convergence

Answer 5

Soit un suit (x(n)) de E,
(x(n)) converge vers a si :
pour tout e>0
il existe n0 tq pour tout n>=n0
N(x(n)-a)<=e

Question 6

Si (x(n)) converge vers a alors…

Answer 6

(x(n)) est bornée.
N(x(n)) cv vers N(a)
a est la seule valeur d’adhérence
(x(n)) est de Cauchy

Question 7

(x(n)) converge vers a dans E ssi

Answer 7

limN(x(n)-a)=0 dans R.

Question 8

Si x(2n) et x(2n+1) ont la même limite a…

Answer 8

Alors x(n) converge vers a.

Question 9

Suites réelles adjacentes

Answer 9

Deux suites sont adjacentes si
l’une est croissante, l’autre décroissante
la différence des deux tend vers 0.
Deux suites adjacentes cv vers la même limite

Question 10

Boule ouverte

Boule fermée

Answer 10

B(a,r)={x tq N(x-a)<=r} est la boule fermée de centre a et de rayon r.

Question 11

Partie ouverte, Partie fermée de E

Answer 11

A est ouvert non vide ssi pour tout x dans
A, il existe une boule ouverte de centre x
incluse dans A.
F est fermée si son complémentaire (E\F) est ouvert. l’ensemble vide et E sont ouvert et fermée.

Question 12

Voisinage

Answer 12

un voisinage V de a est une partie contenant un ouvert contenant lui-même a.

Question 13

Intersection et union d’ouverts et de fermés

Answer 13

Une union d’ouverts est ouverte et une intersection de fermés est fermée.
Une intersection finie d’ouverts est ouverte et une union finie de fermés est fermée.

Question 14

Intérieur d’une partie de E

Answer 14

x est dit intérieur à A si il existe une boule
ouverte de centre x contenue dans A.
On note A° l’ensemble des x intérieur à A.
A° est le plus grand ouvert contenu dans A. A ouvert A=A°

Question 15

Adhérence d’une partie de E

Answer 15

x est dit adhérent à A si toute boule ouverte
de centre x est non disjointe de A.
On note A| l’ensemble des x adhérent à A.
A| est le plus petit fermé contenant A.
A fermée A|=A

Question 16

Caractérisation seq de l’adhérence

Answer 16

x est dans A| ssi il existe une suite de A convergeant vers x dans E.

Question 17

densité

Answer 17

A est dense dans B
si A inclue dans B inclue dans A|
Si B=E, A est dense dans E si
A|=E. Par exemple R=Q|

Question 18

Soit A une partie non vide et majorée de R.

Answer 18

Alors sup(A) est inclus dans A|

Question 19

Complet

Answer 19

A est complete si toute suite de Cauchy de A est convergente dans A. u est de Cauchy si
pour tout e>0
il existe n0 tq pour tout n,p>n0
N(u(n)-u(p))inf)(sup{N(u(n)-u(p)),p,n>n0})=0
Toute ev de dim finie est complet

Question 20

A complete implique

Answer 20

A fermée

Toute partie fermée de A est complete.

Question 21

Une partie A de R est compacte ssi

Answer 21

elle est fermée bornée.

Question 22

Compacte

Answer 22

Un partie A est compacte si toute suite de A admet une sous suite cv dans A.

Question 23

A compacte implique

Answer 23

A fermée bornée

toute partie fermée de A est compacte.

Question 24

Produit de compacte

Answer 24

Tout produit de compacte est un compacte.

Question 25

Normes equivalentes

Answer 25

N1 et N2 sont eq ssi pour tout x de E
il existe a et b des scalaires POSITIFS tq
aN1(x)>=N2(x)>=bN1(x)

Question 26

Deux normes sont eq implique…

Answer 26

toutes notion topo pour l’une passe à
l’autre
(fermés, dense compact, complet, ouvert, cv,…)

Question 27

distance

Answer 27

d est une distance sur E si
d(x,y)=d(y,x)
d(x,y)>0 si x différent de y et d(x,x)=0
d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)
(E,d) est un espace métrique.

Question 28

distance asso à une norme

Answer 28

x,y -> N(x-y) est une distance asso à N.
Toute partie non vite d’un evn est un espace métrique.
Toute espace affine de direction euclidienne
est métrique avec d(A,B)=||AB||

Question 29

On peut généraliser les notion topo aux espaces métriques.

Ouvert relatif, fermé relatif

Answer 29

A partie de E, A est donc métrique.
X est un ouvert de A si
X est l’intersection de A et d’un ouvert de E.
X est un fermé de A si
X est l’intersection de A et d’un fermé de E.

Question 30

Continuité, uniforme continuité

Answer 30

f est continue en x0 si
pour tout e>0
il existe a>0 tq
pour tout x tq d(x,x0)<a>0
il existe a>0 tq
pour tout x,y tq d(x,y)<a><e

Question 31

lipchitzienne

Answer 31

f est k-lip si
pour tout x,y, d(f(x),f(y))<=kd(x,y)
f lipschitzienne implique f continue uniformément implique f continue.

Question 32

distance entre x est une partie

Answer 32

d(x,A)=inf({N(x-a), a dans A}).
L’application x -> d(x,A) de E dans R
est 1-lip.

Question 33

THM de Heine

Answer 33

Toute fonction définit sur un compact est uniformément continue.

Question 34

fonctions continues et suites récurrente

Answer 34

si u(n+1)=f(u(n)) et u(0) dans D avec f continue et D fermé stable par f, alors si u converge, la limite est un point fixe de f.

Question 35

fonctions continues et parties denses.

Answer 35

Si deux fonctions continues def sur E dans
E’ coincident sur une partie de E dense
dans E, alors elles coincide sur E tout entier.

Question 36

fonctions continues et parties ouvertes/fermées

Answer 36

l’image réciproque d’un ouvert (resp fermé)
par une fonction continue
est un ouvert(resp fermé).

Question 37

Fonction continue et partie compacte

Answer 37

L’image par un fonction continue d’un compact est un compact.